Graphe biparti complet

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Graphe biparti complet
Image illustrative de l'article Graphe biparti complet

Notation
Nombre de sommets
Nombre d'arêtes
Distribution des degrés m sommets de degré n
n sommet de degré m
Diamètre 2

En théorie des graphes, un graphe est dit biparti complet (ou encore est appelé une biclique) s'il est biparti et contient le nombre maximal d'arêtes.

En d'autres termes, il existe une partition de son ensemble de sommets en deux sous-ensembles et telle que chaque sommet de est relié à chaque sommet de .

Si est de cardinal m et est de cardinal n le graphe biparti complet est noté .

Propriétés[modifier | modifier le code]

Inclusions de famille de graphe[modifier | modifier le code]

  • Le graphe biparti complet est un graphe de Moore et une -cage.
  • Les graphes bipartis complets et sont des graphes de Turán.
  • Le graphe biparti complet est un graphe symétrique : il est arête-transitif, sommet-transitif et arc-transitif.

Invariants[modifier | modifier le code]

  • Le polynôme caractéristique du graphe biparti complet est : . Ce polynôme caractéristique n'admet que des racines entières si, et seulement si, mn est un carré parfait. Le graphe biparti complet n'est donc un graphe intégral que dans ce cas.

Utilisations[modifier | modifier le code]

Le théorème de Kuratowski, qui caractérise les graphes planaires utilise le graphe [1],[2].

Exemples[modifier | modifier le code]

Si m=1 le graphe complet biparti Km,n est un arbre et est appelé une étoile. En tant qu'étoile, K1,n est notée . Tous les graphes bipartis complets qui sont des arbres sont des étoiles.

Le graphe K3,3 est le plus petit graphe cubique non planaire. Il sert dans les caractérisation des graphes planaires de Kazimierz Kuratowski et de Klaus Wagner. C'est lui qui réside derrière l'énigme des trois maisons.

Les étoiles S3, S4, S5 et S6.

Aspects algorithmiques et applications[modifier | modifier le code]

Étant donné un graphe G, trouver le sous-graphe induit biparti complet de G avec le plus possible d'arêtes (donc avec maximal) est un problème NP-complet.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Pour plus de détails voir l'article graphe planaire.
  2. Article original : Kazimierz Kuratowski, « Sur le problème des courbes gauches en topologie », Fund. Math., vol. 15,‎ , p. 271-283 (lire en ligne). Voir aussi : Carsten Thomassen, « Kuratowski's theorem », Journal of Graph Theory, vol. 5,, no 3,‎ , p. 225-241 (DOI 10.1002/jgt.3190050304).