Fractale de Rauzy

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Fractale de Rauzy

La fractale de Rauzy (ou, au masculin, "le fractal de Rauzy") est une figure fractale associée à la substitution de Tribonacci : , , . Cette étude a été réalisée en 1981 par Gérard Rauzy[1], dans l'objectif de généraliser les propriétés dynamiques de la substitution de Fibonacci. Cette fractale se généralise à d'autres substitutions à trois lettres, générant d'autres figures aux propriétés intéressantes (pavage périodique du plan, auto-similarité en 3 parties homothétiques...).

Définitions[modifier | modifier le code]

Le mot infini de tribonacci se construit d'après la substitution dite de Tribonacci : , , . À partir de 1, les mots de Tribonacci successifs sont donc :

On montre que, pour , , d'où le nom "Tribonacci".

Construction

Considérons, maintenant, l'espace muni d'un référentiel orthonormé. La fractale de Rauzy se construit, alors, comme suit:

1) Interprêter la suite des lettres du mot infini de Tribonacci comme une suite de vecteurs unitaires de l'espace selon la règle: (1 = direction x, 2 = direction y, 3 = direction z).

2) Construire alors un "escalier" en traçant les points atteints par cette séquence de vecteurs. Par exemple, les premiers points sont :

etc. Chaque point peut être coloré selon la valeur de la lettre correspondante afin de mettre en lumière l'auto-similarité.

3) Projeter alors ces points sur l'espace contractant (plan orthogonal à la direction générale de propagation de ces points, aucun des points projetés ne s'échappe à l'infini). La fractale de Rauzy est la clôture de cet ensemble.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Peut être recouverte par trois copies d'elle-même, réduites de facteurs : , et avec solution de : .
  • Stable par échange de morceaux. On obtient la même figure changeant les trois copies de place.
  • Connexe et simplement connexe. N'a pas de trou.
  • Pavage périodique par translation: Peut paver le plan par translation, de manière périodique.
  • La matrice de la substitution de Tribonacci a pour polynôme caractéristique , ses valeurs propres étant un réel , appelé constante de Tribonacci, un nombre de Pisot, et deux complexes conjugués et avec .
  • Sa frontière est fractale et la dimension de Hausdorff de cette frontière égale 1,0933 (solution de [2]).

Variantes et généralisation[modifier | modifier le code]

Pour toute substitution de type Pisot et unimodulaire, qui vérifie, en plus, une condition particulière dite de coïncidences (toujours vérifiée, semble-t-il), on peut construire un ensemble du même genre appelé fractal de Rauzy de la substitution. Ils sont tous auto-similaires et engendrent, pour les exemples ci-dessous, un pavage périodique de l'espace.

Références et bibliographie[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

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