Formules de Binet

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En physique, en mécanique classique, les formules de Binet sont des expressions de la vitesse et de l'accélération d'un corps soumis à une force centrale telle que la gravitation ou un champ électrostatique.

Elles permettent d'exprimer, en coordonnées polaires, la position d'un mobile en fonction de l'angle formé par celui-ci. En effet, l'expression en fonction du temps est beaucoup plus difficile à établir. En particulier, les formules de Binet permettent de démontrer que, dans un champ de force centrale en , les trajectoires sont des coniques.

Formules de Binet[modifier | modifier le code]

On considère tout d'abord le cas attractif. En posant , en notant , , et en exprimant la constante des aires, d'après la seconde loi de Kepler, on peut montrer que :

 ;
.

L'accélération est donc radiale comme la force à laquelle est soumise le corps. Dans le cas répulsif, les composantes selon er seraient positives, le corps étudié s'éloignerait du centre de force.

Trajectoires coniques[modifier | modifier le code]

On considère ici le cas attractif, le cas répulsif donnant exactement le même résultat. En utilisant la seconde loi de Newton, on a :

.

En insérant l'expression de l'accélération et en remplaçant par , puis enfin en projetant selon , on a :

, soit encore :
.

Cette équation différentielle s'intègre facilement : c'est un oscillateur harmonique. On obtient :

, avec

En revenant à l'expression de r, on a :

.

En exprimant le paramètre et l'excentricité on obtient :

.

C'est bien l'expression d'une conique en coordonnées polaires, dont la nature exacte - parabole, hyperbole ou ellipse - dépend des conditions initiales.

Voir aussi[modifier | modifier le code]