Formule de la co-aire

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La formule de la co-aire est un théorème de théorie géométrique de la mesure qui exprime l'intégrale du Jacobien d'une fonction sur n comme l'intégrale de la mesure de Hausdorff de ses ensembles de niveau. Elle généralise le théorème de Fubini. Elle joue un rôle décisif dans l'approche moderne des problèmes isopérimétriques.

Pour les fonctions lisses, la formule est un résultat d'analyse à plusieurs variables qui résulte d'un simple changement de variable. Elle a été généralisée aux fonctions lipschitziennes par Herbert Federer[1] puis aux fonctions à variation bornée par Fleming (en) et Rishel[2].

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soit u une fonction de ℝn dans ℝ, lipschitzienne donc dérivable presque partout. Alors,

pour toute partie mesurable A de ℝn,\int_A\|\nabla u(x)\|~\mathrm dx=\int_\R H^{n-1}(A\cap u^{-1}(t))~\mathrm dt

où ║∇u║ est la norme euclidienne du gradient de u et H n – 1 est la mesure de Hausdorff de dimension n – 1

ou, ce qui est équivalent :

pour toute fonction mesurable g de ℝn dans [0, +∞],

\int_{\R^n}g(x)\|\nabla u(x)\|~\mathrm dx=\int_\R\left(\int_{u^{-1}(t)}g(x)~dH^{n-1}(x)\right)~\mathrm dt.

Généralisation[modifier | modifier le code]

Soit u une fonction lipschitzienne de ℝn dans ℝk avec k ≤ n. Alors,

pour toute partie mesurable A de ℝn,\int_AJ_ku(x)~\mathrm dx=\int_{\R^k}H^{n-k}(A\cap u^{-1}(t))~\mathrm dt

Jku est le Jacobien k-dimensionnel de u : J_ku(x)=\sqrt{\det\left(J_u(x)^{\operatorname t}\!J_u(x)\right)}. ou, ce qui est équivalent :

pour toute fonction mesurable g de ℝn dans [0, +∞],\int_{\R^n}g(x)J_ku(x)~\mathrm dx=\int_{\R^k}\left(\int_{u^{-1}(t)}g(x)~\mathrm dH^{n-k}(x)\right)~\mathrm dt.

Remarques

  • Dans la première de ces deux formules, le fait préalable (implicite ici) que pour presque tout t dans ℝk, la dimension de Hausdorff de l'ensemble A ∩ u−1(t) vaut n – k, peut s'interpréter comme une généralisation du théorème de Sard.
  • Dans la seconde on retrouve, pour u égal à la projection sur les k premières coordonnées, le théorème classique de Fubini-Tonelli sur ℝk × ℝn – k.
  • Ce théorème se généralise encore[1], en une formule de la co-aire pour les variétés (en), en prenant u lipschitzienne, d'une variété riemannienne de classe C1, de dimension n, dans une autre, de dimension k ≤ n.
  • La « formule de l'aire[3] », plus classique, concerne le cas k ≥ n et le Jacobien n-dimensionnel,J_nu(x)=\sqrt{\det\left(^{\operatorname t}\!J_u(x)J_u(x)\right)}.

Applications[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a et b (en) H. Federer, « Curvature measures », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 93, no 3,‎ 1959, p. 418-491 (lire en ligne)
  2. (en) Wendel H. Fleming et Raymond Rishel, « An integral formula for the total gradient variation », Archiv Math., vol. 11, no 1,‎ 1960, p. 218-222 (lire en ligne)
  3. (en) Mariano Giaquinta (it) et Giuseppe Modica, Mathematical Analysis: An Introduction to Functions of Several Variables, Springer,‎ 2009 (ISBN 9780817645090, lire en ligne), p. 117-118
  4. (en) Herbert Federer, Geometric Measure Theory, Springer, coll. « Grundlehren math. Wiss. (de) » (no 153),‎ 1969, xiv+676 p. (ISBN 978-3-540-60656-7), § 3.2.43
  • (en) Jan Malý, David Swanson et William P. Ziemer, « The co-area formula for Sobolev mappings », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 355, no 2,‎ 2002, p. 477-492 (lire en ligne)

Article connexe[modifier | modifier le code]

Théorème de Brothers-Ziemer (it)