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Formule de Crofton

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La droite de paramètres intersecte deux fois la courbe donc .

En mathématiques, la formule de Crofton, nommée d'après Morgan Crofton (de) (1826-1915), est un résultat de géométrie intégrale qui relie la longueur d'une courbe plane avec le nombre moyen de ses points d'intersections avec une droite quelconque du plan.

Soit γ une courbe plane rectifiable de longueur finie. Soit une droite orientée l, et soit nγ(l) le nombre de points où γ et l s'intersectent. On peut paramétrer la droite l par sa direction φ composée d'un angle et de coordonnées par rapport à l'origine. La formule de Crofton permet d'exprimer la longueur de la courbe γ en termes d'intégrale sur l'espace de toutes les droites orientées :

La forme différentielle

est invariante par rapport aux transformations rigides ; il s'agit donc d'une mesure naturelle pour intégrer, ce qui permet de parler de nombre « moyen » d'intersection.

Articles connexes

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(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Crofton formula » (voir la liste des auteurs).