Forme de Liouville

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En géométrie différentielle, la forme de Liouville est une 1-forme différentielle naturelle sur les variétés cotangentes. Sa différentielle est une forme symplectique Elle joue un rôle central en mécanique classique. L'étude de la géométrie des variétés cotangentes a son importance en géométrie symplectique, importance qui réside dans l'utilisation du théorème de Weinstein.

Définition formelle[modifier | modifier le code]

Si M est une variété différentielle de dimension n, T^*M désigne l'espace total du fibré cotangent de M et peut être regardé comme une variété différentielle de dimension 2n. La projection naturelle \pi:T^*M\rightarrow M permet de définir la forme de Liouville :

\lambda(p)=p\circ d\pi.

p est un élément de T^*M, c'est-à-dire un élément de la fibre de T^*M issue du projeté q=\pi(p), élément de M. p induit donc une forme linéaire sur l'espace tangent en q à la variété M. d\pi est la différentielle de la projection canonique \pi. Cette différentielle transforme tout vecteur tangent en p à T^*M en un vecteur tangent en q à la variété M. On applique alors sur ce dernier vecteur précisément la forme linéaire induite par p. Pour tout p, \lambda(p) est donc une forme linéaire définie sur l'espace tangent en p à T^*M, et \lambda est donc une forme différentielle définie sur T^*M.

Caractérisation[modifier | modifier le code]

Une 1-forme différentielle \alpha sur M est une section de \pi et donc une application différentiable \alpha:M\rightarrow T^*M. Le tiré en arrière de \lambda par l'application \alpha est la forme \alpha :

\alpha^*\lambda=\alpha.

Cette dernière propriété caractérise uniquement \lambda.

Expression dans une carte locale[modifier | modifier le code]

Si q est une carte locale de M définie sur un ouvert U et (p,q) les coordonnées correspondantes définies sur T^*U, alors, la projection canonique \pi est l'application qui, à (p,q) associe q. p désigne ici la forme linéaire qui s'applique sur l'espace tangent en q à M. La différentielle de \pi n'est autre que dq, et \lambda s'exprime dans ces coordonnées sous la forme :

\lambda=p.dq=\sum_{i=1}^np_i\, dq_i.

La différentielle de \lambda est :

\omega=\pm d\lambda=\pm dp\wedge dq=\pm \sum_{i=1}^n dp_i\wedge dq_i.

Le signe dépend des auteurs. Toutefois, l'expression locale montre que \omega est une forme symplectique sur T^*M.