Forme de Liouville

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En géométrie différentielle, la forme de Liouville est une 1-forme différentielle naturelle sur les variétés cotangentes. Sa différentielle est une forme symplectique. Elle joue un rôle central en mécanique classique. L'étude de la géométrie des variétés cotangentes a son importance en géométrie symplectique, importance qui réside dans l'utilisation du théorème de Weinstein.

Définition formelle[modifier | modifier le code]

Si M est une variété différentielle de dimension n, désigne l'espace total du fibré cotangent de M et peut être regardé comme une variété différentielle de dimension 2n. La projection naturelle permet de définir la forme de Liouville :

.

p est un élément de , c'est-à-dire un élément de la fibre de issue du projeté , élément de M. p induit donc une forme linéaire sur l'espace tangent en q à la variété M. est la différentielle de la projection canonique . Cette différentielle transforme tout vecteur tangent en p à en un vecteur tangent en q à la variété M. On applique alors sur ce dernier vecteur précisément la forme linéaire induite par p. Pour tout p, est donc une forme linéaire définie sur l'espace tangent en p à , et est donc une forme différentielle définie sur .

Caractérisation[modifier | modifier le code]

Une 1-forme différentielle sur M est une section de et donc une application différentiable . Le tiré en arrière de par l'application est la forme  :

.

Cette dernière propriété caractérise uniquement .

Expression dans une carte locale[modifier | modifier le code]

Si q est une carte locale de M définie sur un ouvert U et (p,q) les coordonnées correspondantes définies sur , alors, la projection canonique est l'application qui, à (p,q) associe q. p désigne ici la forme linéaire qui s'applique sur l'espace tangent en q à M. La différentielle de n'est autre que dq, et s'exprime dans ces coordonnées sous la forme :

.

La différentielle de est :

.

Le signe dépend des auteurs. Toutefois, l'expression locale montre que est une forme symplectique sur .