Fonction elliptique de Jacobi

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En mathématiques, les fonctions elliptiques de Jacobi sont des fonctions elliptiques d'une grande importance historique.

Introduites par Carl Gustav Jakob Jacobi vers 1830, elles ont des applications directes, par exemple dans l'équation du pendule. Elles présentent aussi des analogies avec les fonctions trigonométriques, qui sont mises en valeur par le choix des notations $sn$ , $cn$ et $dn$ , qui rappellent $cos$ et $sin$ . Si les fonctions elliptiques thêta de Weierstrass semblent mieux adaptées aux considérations théoriques, les problèmes physiques pratiques font plus appel aux fonctions de Jacobi.

Introduction

Construction auxiliaire : le rectangle de Jacobi.

Il existe 12 fonctions elliptiques de Jacobi. Chacune correspond à une flèche reliant un sommet du rectangle à un autre. Ces sommets sont, par convention, notés $s$ , $c$ , $d$ et $n$ .

Le rectangle peut être considéré dans le plan complexe, en plaçant $s$ à l'origine, $c$ à un point $K$ sur l'axe des réels, $d$ à un point $K + i K'$ et $n$ à un point $i K'$ sur l'axe imaginaire. Les nombres $K$ et $K'$ sont appelés « quarts de période ».

Les 12 fonctions elliptiques de Jacobi sont alors $sc$ , $sd$ , $sn$ , $cd$ , $cn$ , $cs$ , $dn$ , $ds$ , $dc$ , $ns$ , $nc$ et $nd$ .

Plus formellement, les fonctions elliptiques de Jacobi sont les seules fonctions doublement périodiques et méromorphes vérifiant les propriétés suivantes :

Il existe un zéro simple au coin $p$ , et un pôle simple au coin $q$ .
La distance de $p$ à $q$ est égale à la moitié de la période de la fonction $pq$ $u$ ; c'est-à-dire que la fonction $pq$ $u$ est périodique dans la direction $pq$ , de période double de la distance de $p$ à $q$ . Il en est de même dans les deux autres directions.
Si la fonction $pq$ $u$ est étendue à l'un des sommets, le terme principal de l'expansion est multiplié par un coefficient 1.

Dans le cas général, on peut travailler à partir d'un parallélogramme. Cependant, si $K$ et $K'$ restent sur l'axe réel et imaginaire respectivement, alors la fonction elliptique de Jacobi $pq$ $u$ sera réelle si $u$ est réel.

Intégrale elliptique complète de première espèce

Soit $k$ positif inférieur à l'unité, appelé « module ». Soit $k'={\sqrt {1-k^{2}}}$ , appelé « comodule ».

Soit la fonction impaire croissante $u = F (A, k)$ :

F(A,k)=\int _{0}^{A}{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}x}}}

c'est l' « intégrale elliptique de première espèce ».

Soit $A (u, k)$ la fonction réciproque de cette fonction croissante u : c'est l'« amplitude » de u. Il s'agit d'une fonction impaire et croissante, qui augmente de π lorsque u augmente de 2K(k), avec :

K(k)=u(\pi /2,k)=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}

K(k) est l'« intégrale elliptique complète de première espèce de Legendre ». Elle intervient dans nombre de problèmes de physique mathématique.

pour les petites valeurs de k, $K(k)={\frac {\pi }{2}}\left(1+k^{2}\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}(1+k^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}(1+\ldots ))\right)$ .
quand k tend vers 1, K tend vers l'infini, comme 4 ln (4/k')
$K(k)={\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{AGM(1,k')}}$ , avec AGM(a,b) désignant la moyenne arithmético-géométrique de a et b : on peut faire efficacement des calculs numériques.

Une table des valeurs de K(k) pourra être trouvée dans l'article « pendule pesant ».

Signification de K

Il est pratique, mnémotechniquement, de retenir que le module k est $\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}$ dans le cas du pendule simple, et que K joue le rôle de $π/2$ , le « K-Quart de tour », si bien que « l'amplitude du temps » A(t,k), fonction croissante de t, joue le rôle d'« échelle de temps » (voir mesure en physique) adaptée au problème : à chaque période de temps 4K, le « temps en radians » aura augmenté de $2π$ , c’est-à-dire d'un aller-retour du pendule.

L'anisochronicité du mouvement est patente, puisque 4K = 4K(k) dépend du module k, donc de $θ 0$ et devient infinie comme 4 ln(4/k'); c'est-à-dire en amplitude : $T=T_{0}\cdot {\frac {2}{\pi }}(\ln 8-\ln(\pi -\theta _{0}))$ .

Remarques d'ordre général

Les tables de K(k) ne sont établies que pour k < 0,5 car on donne simultanément la valeur de K'(k) = K(k'), et le « nome » q(k) = exp(-πK'/K). Il existe des cas où le nome se calcule exactement à l'aide de la fonction gamma.

La variation de K(k) est tout à fait inhabituelle : très plate au début (K' = K = 1,18 pour k = 0,707, soit une corde BB' = 21) elle n'augmente vers l'infini logarithmiquement que pour des angles très proches de 180°, si bien que l'on manque expérimentalement le phénomène si l'on n'y est pas attentif.

La donnée d'un point de cette courbe est une indication utile : pour K = 5,43, dont le rapport à K(0) est 3,45, $θ$ = 178° ( k' ~ π/180) On peut aussi retenir des rapports particuliers : K'/K = √3, pour une corde BB'= 1 ; K'/K = √7 pour une corde BB' = 1/8.

Les trois fonctions de base de Jacobi (1827)

la fonction sinus de Jacobi : sn (u,k) = sin A(u,k), de période 4K
la fonction cosinus de Jacobi : cn (u,k) = cos A(u,k), de période 4K
la fonction dn de Jacobi : dn (u,k) = $\sqrt 1 - k 2 sn 2 (u, k)$ , de période 2K

Si k = 0, on retrouve la trigonométrie ordinaire. Si k = 1, on voit apparaître les fonctions de la trigonométrie hyperbolique

sn(u,1) = th(u) ;
cn(u,1) = 1/ch(u) ;
dn(u,1) = 1/ch(u) ;
tan(A/2) = th (u/2) (formule de Gudermann).

Gudermann (1838), puis Glaisher (1882) introduiront les neuf autres fonctions avec les notations « modernes ».

Fonctions réciproques

$\mathrm {Arcsn} \,(x,k)=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}$
$\mathrm {Arccn} \,(x,k)=\int _{x}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}+k^{2}t^{2})}}}$

Dérivées

{\frac {\mathrm {d} ({\text{sn}})}{\mathrm {d} u}}(u)={\text{cn}}(u){\text{dn}}(u)

{\frac {\mathrm {d} ({\text{cn}})}{\mathrm {d} u}}(u)=-{\text{sn}}(u){\text{dn}}(u)

{\frac {\mathrm {d} ({\text{dn}})}{\mathrm {d} u}}(u)=-k^{2}{\text{sn}}(u){\text{cn}}(u)

Relations trigonométriques

Addition

${\text{sn}}(u+v)={\frac {{\text{sn}}(u){\text{cn}}(v){\text{dn}}(v)+{\text{sn}}(v){\text{cn}}(u){\text{dn}}(u)}{1-k^{2}{\text{sn}}^{2}(u){\text{sn}}^{2}(v)}}$
${\text{cn}}(u+v)={\frac {{\text{cn}}(u){\text{cn}}(v)-{\text{sn}}(u){\text{dn}}(u){\text{sn}}(v){\text{dn}}(v)}{1-k^{2}{\text{sn}}^{2}(u){\text{sn}}^{2}(v)}}$
${\text{dn}}(u+v)={\frac {{\text{dn}}(u){\text{dn}}(v)-k^{2}sn(u){\text{dn}}(u){\text{sn}}(v){\text{dn}}(v)}{1-k^{2}{\text{sn}}^{2}(u){\text{sn}}^{2}(v)}}$

Carrés

${\text{sn}}^{2}(u)+{\text{cn}}^{2}(u)=1\,$
$k^{2}{\text{sn}}^{2}(u)+{\text{dn}}^{2}(u)=1\,$
$k^{2}{\text{cn}}^{2}(u)+k'^{2}={\text{dn}}^{2}(u)\,$
${\text{cn}}^{2}(u)+k'^{2}{\text{sn}}^{2}(u)={\text{dn}}^{2}(u)\,$ avec $k'={\sqrt {1-k^{2}}}$ le complément du module k.

Valeurs remarquables

pour u = 0, on a ${\text{sn}}(0)=0,\,{\text{cn}}(0)=1,\,{\text{dn}}(0)=1.$
pour u = K, on a ${\text{sn}}(K)=1,\,{\text{cn}}(K)=0,\,{\text{dn}}(K)=k'$
pour u = K/2, on a ${\text{sn}}\left({\frac {K}{2}}\right)={\frac {1}{\sqrt {1+k'}}},\,{\text{cn}}\left({\frac {K}{2}}\right)={\sqrt {\frac {k'}{1+k'}}},\,{\text{dn}}\left({\frac {K}{2}}\right)={\sqrt {k'}}.$

Translation de K

${\text{sn}}(u+K)={\frac {{\text{cn}}(u)}{{\text{dn}}(u)}}\,$
${\text{cn}}(u+K)=-k'{\frac {{\text{sn}}(u)}{{\text{dn}}(u)}}$
${\text{dn}}(u+K)={\frac {k'}{{\text{dn}}(u)}}\,$

Transformées des carrés en arc double

${\text{sn}}^{2}(u)={\frac {1-{\text{cn}}(2u)}{1+{\text{dn}}(2u)}}$
${\text{cn}}^{2}(u)={\frac {{\text{dn}}(2u)+{\text{cn}}(2u)}{1+{\text{dn}}(2u)}}$
${\text{dn}}^{2}(u)={\frac {{\text{dn}}(2u)+{\text{cn}}(2u)}{1+{\text{cn}}(2u)}}$

Équations différentielles

Le formulaire précédent - assez succinct - permet alors de montrer que cn, dn et sn sont liées aux équations différentielles suivantes :

${\ddot {x}}+(1+k^{2})x-2k^{2}x^{3}=0$ (ressort mou)
${\ddot {x}}+(1-2k^{2})x+2k^{2}x^{3}=0$ (ressort dur)
${\ddot {x}}-(2-k^{2})x+2x^{3}=0$ (origine instable)

Équation différentielle du pendule

On a :

\sin \left({\frac {x}{2}}\right)=k\,{\text{sn}}(x,k)

; donc

\cos \left({\frac {x}{2}}\right)={\text{dn}}(x,k)

.

En dérivant cette relation, on trouve :

\cos \left({\frac {x}{2}}\right){\dot {x}}=2k\cdot {\text{cn}}(x,k)\cdot {\text{dn}}(x,k)

: c'est bien

{\dot {x}}

.

En dérivant à nouveau :

{\ddot {x}}=-2k\cdot {\text{sn}}(x,k)\cdot {\text{dn}}(x,k)=-2\sin \left({\frac {x}{2}}\right)\cos \left({\frac {x}{2}}\right)=-\sin(x)

.

Démonstration des formules du pendule simple

Partant de $v^{2}+2gh=2gH=2gl\cdot k^{2}$ , il existe deux cas :

k<1 : le pendule oscille ;
k>1 : le pendule tournoie.

Oscillations

Soit A le point le plus bas, et B le point le plus haut. Il se trouve que la « bonne fonction inconnue » est la corde AM, rapportée à AB. On peut la trouver à partir de u(t), sa racine carrée, qui vérifie l'équation différentielle :

{\frac {\mathrm {d} u^{2}}{\mathrm {d} t}}=\omega _{0}^{2}(1-u^{2})(1-k^{2}u^{2})

la solution est :

u(t)={\text{sn}}(\omega _{0}t,k)

La vitesse v(t) s'obtient par dérivation de sin(θ/2) :

v^{2}(t)=2g(H-h)=2gH\cdot {\text{cn}}^{2}(\omega _{0}t,k)

Une autre manière de retrouver ce résultat est de remarquer que 2hl = AM².

Tournoiements

La corde est rapportée à 2l, et sa racine carrée est posée égale à y(t). On trouve :

{\frac {\mathrm {d} y^{2}}{\mathrm {d} t}}=k^{2}\omega _{0}^{2}(1-y^{2})(1-y^{2}/k^{2})

La solution est :

y(t)={\text{sn}}(k\omega _{0}t,1/k)

.

La vitesse v(t) s'obtient par dérivation de $\sin(\theta /2)$ : $v^{2}(t)=2g(H-h)=2gH\cdot {\text{dn}}^{2}(k\omega _{0}t,1/k)$ ,

De même, une autre manière de le retrouver est de noter que h × 2l = AM².

La fonction dn(t,k) ne s'annulant jamais et variant de 1 à k', v² varie bien de 2gH à 2g(H-l).

Fascination expérimentale

^{[non neutre]} En prenant deux pendules de Mach identiques, et en lançant les deux boules de telle sorte que k1 > 1 > k2, avec K(1/k1)/k1 = K(k2), si les deux plateaux sont maintenus horizontaux et éclairés par une lumière rasante de sorte à projeter sur un écran l'ombre des deux boules, on observe la différence entre cn²(t) et dn²(t).

Ces « chutes ralenties » auraient vraisemblablement ravi Galilée^{[réf. nécessaire]}.

Autres utilisations

La fonction cn(B(x-Ct))² permet de modéliser la surélévation de la surface de l'eau au passage d'un soliton, tel qu'un tsunami par exemple (solutions de l'équation de Korteweg et de Vries).
La fonction sn permet de modéliser la déplétion de la pompe dans le mélange à trois ondes optique^[1], qui est utilisé dans les Oscillateurs paramétriques optiques

Notes et références

↑ (en) Paul Elwyn Britton, Fibre laser pumped periodically poled lithium niobate based nonlinear devices, PhD, Optoelectronics Research Centre of the University of Southampton, 2000, chap. 5 (« Parametric amplification and generation »).

Hermann Laurent, Théorie élémentaire des fonctions elliptiques (Gauthier-Villars, Paris, 1880)
Alfred George Greenhill, Les fonctions elliptiques et leurs applications (G. Carré, Paris, 1895)
Paul Appell et Émile Lacour, Principes de la théorie des fonctions elliptiques et applications (Gauthier-Villars et fils, Paris, 1897)

Portail de l'analyse

[1] (en) Paul Elwyn Britton, Fibre laser pumped periodically poled lithium niobate based nonlinear devices, PhD, Optoelectronics Research Centre of the University of Southampton, 2000, chap. 5 (« Parametric amplification and generation »).

[1]