Fonction de Clausen

Graphe des fonctions de Clausen Cl₂ (rouge) et Cl₄ (vert).

En mathématiques, la fonction de Clausen, étudiée par Clausen puis (entre autres) Kummer et Rogers (en), est définie par l'intégrale suivante :

$\operatorname {Cl} _{2}(\theta )=-\int _{0}^{\theta }\ln |2\sin(t/2)|\,\mathrm {d} t$.

Plus généralement, on définit, pour Re(s) > 1 :

$\operatorname {Cl} _{s}(\theta )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(n\theta )}{n^{s}}}$.

Propriétés

• Les fonctions de Clausen sont impaires et 2π-périodiques, donc nulles sur πℤ.
• $\operatorname {Cl} _{2}(\theta )=\int _{0}^{\pi -\theta }\ln |2\cos(s/2)|\,\mathrm {d} s$.
• La fonction Cl_n pour n ∈ ℕ* est reliée au polylogarithme Li_n par :
  • $\forall m\in \mathbb {N} ^{*}\quad \operatorname {Cl} _{2m}(\theta )=\operatorname {Im} (\operatorname {Li} _{2m}(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }))$ ;
  • $\forall m\in \mathbb {N} \quad \operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )=\operatorname {Re} (\operatorname {Li} _{2m+1}(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }))$.
• Pour tout entier m ≥ 2, $\operatorname {Cl} _{m}(2\theta )=2^{m-1}{\Bigl (}\operatorname {Cl} _{m}(\theta )-(-1)^{m}\operatorname {Cl} _{m}(\pi -\theta ){\Bigr )}$.
• $\operatorname {Li} _{2}(\exp(\mathrm {i} \theta ))=\zeta (2)-\theta (2\pi -\theta )/4+\mathrm {i} \operatorname {Cl} _{2}(\theta )$

  pour 0 ≤ θ ≤ 2π, où ζ est la fonction zêta de Riemann.

Accélération du calcul de la série

Une des accélérations de série de la fonction de Clausen est donnée par :

${\frac {\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}{\theta }}=1-\ln |\theta |+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)}{n(2n+1)}}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right)^{2n}$,

pour |θ| < 2π.

Une forme convergeant plus rapidement est donnée par :

${\frac {\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}{\theta }}=3-\ln \left[|\theta |\left(1-{\frac {\theta ^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\right]-{\frac {2\pi }{\theta }}\ln \left({\frac {2\pi +\theta }{2\pi -\theta }}\right)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n(2n+1)}}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right)^{2n}$.

La rapidité de la convergence de cette série est due au fait que ζ(n) tend rapidement vers 1 quand n tend vers l'infini. Ces deux formes sont générées grâce aux techniques de somme utilisées pour obtenir la série zêta rationnelle.

Valeurs particulières

$\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=K$

où K est la constante de Catalan. Plus généralement :

$\operatorname {Cl} _{s}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=\beta (s)$

où β est la fonction bêta de Dirichlet.

La valeur maximale de Cl₂ est la constante de Gieseking (de) :

$\mathrm {G} =\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{3}}\right)={\frac {3}{2}}\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {2\pi }{3}}\right)\approx 1{,}015$.

Le volume hyperbolique (en) du complément du nœud en huit (en) est le double de cette constante :

$V=2\mathrm {G} =2{\sqrt {3}}\,\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n{\binom {2n}{n}}}}\sum _{k=n}^{2n-1}{\frac {1}{k}}\approx 2{,}03$ ( A091518).

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Clausen function » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

• (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne), 27.8
• (en) Eric W. Weisstein, « Clausen Function », sur MathWorld