Fonction de Clausen

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Graphe des fonctions de Clausen (rouge) et (vert).

En mathématiques, la fonction de Clausen est définie par l'intégrale suivante :

.

Plus généralement, on définit

.

Elle est reliée au polylogarithme par

.

Kummer et Rogers (en) donnent la relation

valide pour ,

où ζ est la fonction zêta de Riemann (Lewin 1991, p. 8).

Pour les valeurs rationnelles de (c’est-à-dire, pour pour certains entiers p et q), la fonction peut être comprise comme représentant une orbite périodique d'un élément dans le groupe cyclique, et ainsi peut être exprimé comme une simple somme impliquant la fonction zêta de Hurwitz.

Accélération du calcul de la série[modifier | modifier le code]

Une des accélérations de série de la fonction de Clausen est donnée par :

qui est valable pour | θ | < 2π.

Une forme convergeant plus rapidement est donnée par :

.

La rapidité de la convergence de cette série est due au fait que ζ(n) tend rapidement vers 1 quand n tend vers l'infini. Ces deux formes sont générées grâce aux techniques de somme utilisées pour obtenir la série zêta rationnelle (Borwein, Bradley et Crandall 2000).

Valeurs spéciales[modifier | modifier le code]

On peut noter l'évaluation suivante :

K est la constante de Catalan. Plus généralement :

est la fonction bêta de Dirichlet.

Références[modifier | modifier le code]