Fonction d'une variable complexe différentiable au sens réel

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Cet article constitue essentiellement une introduction à l'article sur les équations de Cauchy-Riemann qu'il permet d'aborder directement. Il définit, pour les fonctions d'une variable complexe et à valeurs complexes, les dérivées partielles (par rapport à ou ) et la différentiabilité au sens réel.

On considère une fonction d'une variable complexe, définie sur un sous-ensemble ouvert U du plan complexe . On utilisera les notations suivantes :

  • la variable complexe sera notée , où x, y sont réels ;
  • les parties réelle et imaginaire de seront notées respectivement et , c'est-à-dire : , où sont deux fonctions réelles de deux variables réelles.

Dérivées partielles d'une fonction d'une variable complexe[modifier | modifier le code]

Dérivées partielles par rapport à x et y[modifier | modifier le code]

Définition  : soit , où sont réels.

  • on dit que f admet une dérivée partielle (d'ordre 1) au point par rapport à la variable x, notée si la limite (finie) existe
  • on dit que f admet une dérivée partielle (d'ordre 1) au point par rapport à la variable y, notée si la limite (finie) existe

Propriété :

  • la dérivée partielle existe si et seulement si les dérivées partielles , existent, et alors
  • la dérivée partielle existe si et seulement si les dérivées partielles , existent, et alors

Dérivées partielles d'ordre supérieur :

  • si, par exemple, existe en tout point , on définit la fonction
  • si, de plus, la fonction admet une dérivée partielle d'ordre 1 au point par rapport à la variable x, on la note  : . De manière analogue, si existe, on la note , etc.

Dérivées partielles par rapport à et [modifier | modifier le code]

Définition  : on suppose que f admette des dérivées partielles d'ordre 1 par rapport à x et y au point . Alors, on définit :

Propriété : en conservant les hypothèses précédentes

Différentiabilité au sens réel des fonctions d'une variable complexe[modifier | modifier le code]

On dit qu'une fonction d'une variable complexe est différentiable au sens réel, ou -différentiable en un point si on peut l'approcher localement (au voisinage de ce point) par la somme d'une constante et d'une fonction -linéaire ; cette dernière est alors unique, et s'appelle différentielle de la fonction au point considéré.

Plus précisément, cela veut dire que , en tant que fonction de deux variables réelles, admet au voisinage du point considéré un développement limité d'ordre 1, dont la différentielle est la partie linéaire.

  • Définition  : on dit qu'une application est -linéaire si : .
    • (alors  : )
  • Définition  : on dit que la fonction est -différentiable en un point s'il existe une application -linéaire et une fonction d'une variable complexe telles que lorsque et (en supposant que , où r est le rayon d'une boule ouverte telle que ).
    • Lorsqu'elle existe, l'application L est unique (ceci résulte de la propriété suivante) ; on l'appelle -différentielle ou différentielle de en et on la note habituellement .
    • On dit que est -différentiable sur U si elle est -différentiable en tout point de U.
  • Propriété : si est -différentiable en un point , alors :
    • elle est continue en  ;
    • elle admet des dérivées partielles d'ordre 1 en , et , .

Démonstration :

  • continuité : lorsque parce que (la -différentielle L est un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie, donc elle est continue) et .
  • existence et expression des dérivées partielles d'ordre 1 :
    • pour tout u réel tel que ,  ; donc, si , lorsque  : ceci prouve l'existence de la dérivée partielle de la fonction en par rapport à , et la relation
    • pour tout v réel tel que ,  ; donc, si , lorsque  : ceci prouve l'existence de la dérivée partielle de la fonction en par rapport à , et la relation .
  • Théorème : une condition suffisante (non nécessaire) de -différentiabilité en un point, ou sur un ouvert.
    • Soit . Si admet des dérivées partielles d'ordre 1 par rapport à x et y (ou à et ) en tout point d'un voisinage de , et si , (ou , ) sont continues en , alors est -différentiable en
    • En particulier, si admet des dérivées partielles d'ordre 1 par rapport à x et y (ou à et ) définies et continues en tout point de l'ouvert U, la fonction est -différentiable sur U. Dans ce cas, on dit que est -continûment différentiable sur U, ou de classe sur U.

Lien externe[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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