Fonction d'appui

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En analyse mathématique, et plus spécialement en analyse convexe, la fonction d'appui d'une partie P d'un espace normé réel E est la fonction convexe qui à toute forme linéaire continue sur E associe la borne supérieure de s(P) dans .

Définition[modifier | modifier le code]

La fonction d'appui d'une partie d'un espace normé est la fonction notée et définie par

est le dual topologique de et est la valeur de la forme linéaire continue en .

En particulier, (sup(∅) = –∞)[1].

Exemples[modifier | modifier le code]

La fonction d'appui se présente naturellement dans un certain nombre de constructions en analyse et en analyse convexe.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • La fonction d'appui d'une partie quelconque est convexe car sous-linéaire.
  • Elle est de plus « fermée », c'est-à-dire semi-continue inférieurement.
  • Toute partie P a même fonction d'appui que son enveloppe convexe fermée co(P). Plus précisément :
    .
  • A fortiori, toute partie a même fonction d'appui que son adhérence et que son enveloppe convexe :
    .

Règles de calcul[modifier | modifier le code]

Somme pondérée d'ensembles
Pour toutes parties de et tous réels positifs ,
.
Transformation par une application linéaire
Soient un autre espace normé, une fonction linéaire continue, son adjointe et une partie de .
Alors s'écrit
.

Référence[modifier | modifier le code]

  1. Aliprantis et Border 2007, p. 288 et 291.

Bibliographie[modifier | modifier le code]