Fonction d'appui

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En analyse mathématique, et plus spécialement en analyse convexe, la fonction d'appui d'une partie d'un espace normé est la fonction convexe qui à une forme linéaire continue sur associe la borne supérieure de dans .

Définition[modifier | modifier le code]

La fonction d'appui d'une partie d'un espace normé est la fonction notée et définie par

est le dual topologique de et est la valeur de la forme linéaire continue en .

Exemples[modifier | modifier le code]

La fonction d'appui se présente naturellement dans un certain nombre de constructions en analyse et en analyse convexe.

  • La fonction conjuguée de la fonction indicatrice d'une partie de est la fonction d'appui de .
  • La fonction d'appui de la boule unité de est la norme canonique du dual .
  • Si est un espace euclidien et si est une fonction convexe propre définie sur à valeurs dans , sa dérivée directionnelle en un point dans l'intérieur relatif de son domaine est la fonction d'appui du sous-différentiel de en (voir Formule du max).

Propriétés[modifier | modifier le code]

Que l'ensemble soit convexe ou pas, sa fonction d'appui est toujours convexe et fermée.

Sous-linéarité et fermeture — La fonction d'appui est sous-linéaire et fermée.

On note ci-dessous l'enveloppe convexe fermée de .

Ensemble inclus — Soient et des parties non vides de . Alors

On note ci-dessous l'adhérence de et son enveloppe convexe.

Invariance par prise d'enveloppe convexe et de fermeture — Soit une partie non vide de . Alors

Règles de calcul[modifier | modifier le code]

Somme pondérée d'ensembles — Pour , on suppose donnés des parties non vides de et des scalaires . Alors

Transformation par une application linéaire — Soient un autre espace normé, une fonction linéaire continue, son adjointe et une partie non vide de . Alors s'écrit

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) J. M. Borwein, A. S. Lewis (2000). Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Springer, New York.
  • (en) Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemaréchal (2001). Fundamentals of Convex Analysis. Springer. ISBN 978-3-540-42205-1.
  • (en) R.T. Rockafellar (1970). Convex Analysis. Princeton Mathematics Ser. 28. Princeton University Press, Princeton, New Jersey.