Figures de Brocard

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Les figures de Brocard tirent leur nom du mathématicien français Henri Brocard. En réalité, elles ont été trouvées par Jacobi et, en 1816, par Crelle.

Points de Brocard[modifier | modifier le code]

Premier point de Brocard[modifier | modifier le code]

Brocard1.png
  • Tracer un triangle ABC
  • Tracer le cercle passant par A et B et tangent à (CB)
  • Tracer le cercle passant par B et C et tangent à (CA)
  • Tracer le cercle passant par C et A et tangent à (BA)

Ces trois cercles sont sécants en un point \beta dit premier point de Brocard du triangle ABC (sur la figure ci-dessus, c'est le point concourant des trois cercles bleus).

Second point de Brocard[modifier | modifier le code]

Brocard2.png
  • Tracer un triangle ABC
  • Tracer le cercle passant par A et B et tangent à (CA)
  • Tracer le cercle passant par B et C et tangent à (BA)
  • Tracer le cercle passant par C et A et tangent à (BC)

Ces trois cercles sont sécants en un point \beta' dit second point de Brocard du triangle ABC (sur la figure ci-dessus, c'est le point concourant des trois cercles rouges).

Angle de Brocard du triangle[modifier | modifier le code]

Brocard.png

Les segments joignant les points \beta et \beta' aux sommets du triangle constituent des isogonales particulières du triangle ABC. Leur propriété remarquable est de définir toujours le même angle \omega, dit angle de Brocard du triangle.

\omega = \widehat {\beta AB} = \widehat {\beta BC} = \widehat {\beta CA} = \widehat {\beta 'CA} = \widehat {\beta 'BA} = \widehat {\beta 'BC}

Formules pour l'angle de Brocard[modifier | modifier le code]

Si A_\Delta est l'aire du triangle ABC, on peut calculer l'angle de Brocard à l'aide d'une des formules suivantes :

  • \tan \omega = \frac {4\;A_\Delta}{a^2+b^2+c^2}
  • \cot\omega = \cot \widehat {BAC} + \cot \widehat {ABC} + \cot \widehat {ACB},
  • \sin \omega = \frac{2A_\Delta}{\sqrt{b^2c^2+a^2c^2+a^2b^2}}

Pour cet angle on a : \omega \leq 30^o.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]