English: Unfolding of six faces of a platonic dodecahedron, with notations and equalities.
KLMNP is the smallest polygon containing the six unfolded faces.
RSUVW is the central face. The side length of all the faces is
RS or
a, their diagonal length is
d or φ a, where φ denotes the golden ratio.
G is the common center of
KLMNP and
RSUVW, which are two convex regular pentagons. The symmetry with respect to
G transforms
KLMNP into
ABCEF. So
ALCNFKBMEP is a stellated regular decagon with the same center. Its drawing reveals that of a convex regular decagon with the same center. This convex decagon in thick brown line is the outline of the sheet when folded. We can imagine an animated view of the folding, where
RSUVW is fixed, and where a movable vertex of the sheet is depicted by
K, which moves on the perpendicular bisector of [
UV ]. On this straight line
H is a vertex of the decagon, it is the point of arrival of
K. On the paths of the images of two movable vertices of the sheet, two arrows are pointing to another point of arrival, another vertex of the decagon, the intersection of (
CL ), (
FK ) and (
EV ).
In
this image or in this other one, the outline of the dodecahedron is the same in the top view. The distance between two opposite sides of the outline is the real distance between two opposite edges of the solid, equal to
MN or φ d.
Français : Patron de six faces d’un dodécaèdre de Platon, avec des notations et des égalités.
KLMNP est le plus petit polygone contenant les six faces dépliées.
RSUVW est la face centrale. Toutes les faces ont des côtés de longueur
RS ou
a, et des diagonales de longueur
d ou φ a, où φ désigne
le nombre d’or. G est le centre commun de
KLMNP et
RSUVW, qui sont deux pentagones réguliers convexes. La symétrie par rapport à
G transforme
KLMNP en
ABCEF. Ainsi
ALCNFKBMEP est un décagone régulier étoilé de même centre. Son tracé révèle celui d’un décagone régulier convexe de même centre. Ce décagone convexe en trait brun épais est le contour de la feuille quand elle est pliée. On peut imaginer une vue animée du pliage, où
RSUVW est fixe, et où un sommet mobile de la feuille est représenté par
K, qui se déplace sur la médiatrice de [
UV ]. Sur cette droite
H est un sommet du décagone, c’est le point d’arrivée de
K. Sur les trajets des images de deux sommets mobiles de la feuille, deux flèches indiquent un autre point d’arrivée, un autre sommet du décagone, l’intersection de (
CL ), (
FK ) et (
EV ).
Dans
cette image-ci ou dans cette autre, le contour du dodécaèdre est le même dans la vue de dessus. La distance entre deux côtés opposés du contour est la distance réelle entre deux arêtes opposées du solide, égale à
MN ou φ d.