Fermeture transitive

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 Ne pas confondre avec la clôture transitive d'un ensemble.

La fermeture transitive est une opération mathématique pouvant être appliquée sur des relations binaires sur un ensemble, autrement dit sur des graphes orientés.

Relation binaire[modifier | modifier le code]

La clôture transitive, ou fermeture transitive Rtrans d'une relation binaire[1],[2],[3] R sur un ensemble X est la relation

ce qui peut également se traduire ainsi :

C'est la plus petite relation transitive sur X contenant R.

On définit de même la clôture réflexive transitive[1] Rréfl-trans de R comme la relation

ce qui peut également se traduire ainsi : C'est donc la clôture réflexive de Rtrans, mais aussi la clôture transitive de Rréfl. C'est la plus petite relation réflexive et transitive sur X contenant R.

Théorie des graphes[modifier | modifier le code]

La fermeture transitive C(G) du graphe G est construite par ajout d'arcs au graphe G.
La fermeture transitive C(G) du graphe G est construite par ajout d'arcs au graphe G.

Un graphe orienté G = (V, A) est une relation binaire A sur l'ensemble V de ses sommets. Sa clôture transitive, ou fermeture transitive[3] est le graphe C(G) = (V, Atrans). Les arcs de C(G) sont donc les couples de sommets entre lesquels il existe un chemin dans G. Ceci s'exprime également ainsi :

La fermeture transitive peut se calculer au moyen de matrice binaire. On privilégie souvent la notation B = {1, 0}. Quand on programme des algorithmes utilisant ces matrices, la notation {VRAI, FAUX} peut coexister avec la notation {1, 0} car de nombreux langages acceptent ce polymorphisme.

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. a et b Jean-Pierre Ramis et André Warusfel, Mathématiques Tout-en-un pour la Licence - Niveau L1, Dunod, , 2e éd. (lire en ligne), p. 31.
  2. Jiří Matoušek et Jaroslav Nešetřil (en), Introduction aux mathématiques discrètes, Springer, (ISBN 978-2-28720010-6, lire en ligne), p. 43.
  3. a et b (en) Eric W. Weisstein, « Transitive closure », MathWorld.