Fermeture transitive

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Page d'aide sur l'homonymie Ne pas confondre avec la clôture transitive d'un ensemble.

La fermeture transitive est une opération mathématique pouvant être appliquée sur des relations binaires sur un ensemble, autrement dit sur des graphes orientés.

Relation binaire[modifier | modifier le code]

La clôture transitive, ou fermeture transitive Rtrans d'une relation binaire[1],[2] R sur un ensemble X est la relation

R^{trans}=\cup_{n\ge1}R^n,

ce qui peut également se traduire ainsi : \forall (a,b) \in X^2\quad a R^{trans} b\Leftrightarrow\exists n\in\N^*~\exists (c_0,\ldots,c_n)\in X^{n+1}\quad c_0=a,c_n=b\text{ et }c_0Rc_1,c_1 R c_2,\ldots,c_{n-1}Rc_n.

C'est la plus petite relation transitive sur X contenant R.

Théorie des graphes[modifier | modifier le code]

La fermeture transitive C(G) du graphe G est construite par ajout d'arcs au graphe G.
La fermeture transitive C(G) du graphe G est construite par ajout d'arcs au graphe G.

Un graphe orienté G = (V, A) est une relation binaire A sur l'ensemble V de ses sommets. Sa clôture transitive, ou fermeture transitive[2] est le graphe C(G) = (V, Atrans). Les arcs de C(G) sont donc les couples de sommets entre lesquels il existe un chemin dans G. Ceci s'exprime également ainsi : \forall (a,b)\in V^{2}\quad a\to b{\text{ dans }}C(G)\Leftrightarrow \exists n\in \mathbb{N} ^{*}~\exists (c_{0},\ldots ,c_{n})\in V^{{n+1}}\quad c_{0}=a,c_{n}=b{\text{ et }}c_{0}\to c_{1}\to \ldots \to c_{{n-1}}\to c_{n}{\text{ dans }}G.

La fermeture transitive peut se calculer au moyen de matrice binaire. On privilégie souvent la notation B = {1, 0}. Quand on programme des algorithmes utilisant ces matrices, la notation {VRAI, FAUX} peut coexister avec la notation {1, 0} car de nombreux langages acceptent ce polymorphisme.

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. Jiří Matoušek et Jaroslav Nešetřil (en), Introduction aux Mathématiques Discrètes, Springer, 2004 (ISBN 978-2-28720010-6), p. 43.
  2. a et b (en) Eric W. Weisstein, « Transitive closure », MathWorld.