Factorielle alternée

En mathématiques, la factorielle alternée d'un entier strictement positif $n$ est la valeur absolue de la somme alternée des $n$ premières factorielles.

Définition

La factorielle alternée de $n\geqslant 1$ est définie par :

$\operatorname {fa} (n)=n!-(n-1)!+(n-2)!-\cdots +(-1)^{n-1}=\sum _{i=0}^{n-1}(-1)^{i}(n-i)!=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{n-i}i!\,$,

d'où la relation de récurrence :

$\operatorname {fa} (n)=n!-\operatorname {fa} (n-1)$.

Quelle que soit la parité de $n$, $n!$ est affecté du signe plus, $(n-1)!$ du signe moins, etc. Par exemple $\operatorname {fa} (3)=1!-2!+3!$ tandis que $\operatorname {fa} (6)=-1!+2!-3!+4!-5!+6!$.

Les premières factorielles alternées sont données par :

n	1	2	2	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
fa(n)	1	1	5	19	101	619	4 421	35 899	326 981	3 301 819	36 614 981	442 386 619	5 784 634 181	81 393 657 019

Propriétés

En 1999, Miodrag Zivkovic prouve qu'il n'existe qu'un nombre fini de factorielles alternées qui sont également des nombres premiers, puisque 3 612 703 divise $\operatorname {fa} (3612702)$ et divise donc $\operatorname {fa} (n)$ pour tout $n\geqslant$ 3 612 703. La factorielle alternée $\operatorname {fa} (n)$ est première pour : $n$ = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 15, 19, 41, 59, 61, 105, 160, 661; A noter qu'il existe probablement d'autres valeurs premières qui n'ont pas encore été trouvées.

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Alternating factorial » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

Bibliographie

• (en) Eric W. Weisstein, « Alternating Factorial », sur MathWorld
• Yves Gallot, « On the Number of Primes in a Sequence », revue scientifique,‎ 2015 (lire en ligne [PDF])
• (en) Terence Tao et Ben Joseph Green, « The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions », revue scientifique,‎ 2005 (lire en ligne)
• suite A001272 de l'OEIS de Paul Jobling

Articles connexes

• Série alternée des factorielles