Exponentiation rapide

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En informatique, l'exponentiation rapide est un algorithme utilisé pour calculer rapidement, de grandes puissances entières. En anglais, cette méthode est aussi appelée square-and-multiply (« mettre au carré et multiplier »).

Écriture mathématique[modifier | modifier le code]

La première façon de calculer une puissance np est de multiplier n par lui-même p fois. Cependant, il existe des méthodes bien plus efficaces, où le nombre d'opérations nécessaires n'est plus de l'ordre de p mais de l'ordre de log(p), pour le logarithme en base 2.

Par exemple, si l'on écrit pour , on constate que

.

Il faut ainsi d opérations pour calculer tous les , puis d opérations supplémentaires pour former le produit des . Le nombre total d'opérations est donc 2d, qui est bien de l'ordre du logarithme de p. Cette simple remarque algébrique conduit à l'algorithme présenté dans la section suivante.

Algorithme[modifier | modifier le code]

Soit n un entier strictement supérieur à 1, supposons que l'on sache calculer, pour chaque réel x, toutes les puissances xk de x, pour tout k, tel que 1 ≤ k < n.

  • Si n est pair alors xn = (x2)n/2. Il suffit alors de calculer yn/2 pour y = x2.
  • Si n est impair et n > 1, alors xn = x(x2)(n – 1)/2. Il suffit de calculer y(n – 1)/2 pour y = x2 et de multiplier le résultat par x.

Cette remarque nous amène à l'algorithme récursif suivant qui calcule xn pour un entier strictement positif n :

En comparant à la méthode ordinaire qui consiste à multiplier x par lui-même n – 1 fois, cet algorithme nécessite de l'ordre de O(log n) multiplications et ainsi accélère le calcul de xn de façon spectaculaire pour les grands entiers.

La méthode fonctionne dans tout semi-groupe et est souvent utilisée pour calculer des puissances de matrices, et particulièrement en cryptographie, mais aussi pour calculer les puissances dans un anneau d'entiers modulo q. Elle peut être aussi utilisée pour calculer des puissances d'un élément dans un groupe, en utilisant pour les puissances négatives la règle : puissance(x, –n) = (puissance(x, n))−1. C'est cette méthode que l'on applique lorsque l'on effectue la multiplication de deux nombres chiffre par chiffre en base 2 : le groupe est .

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]