Espace d'ordres
Un espace d’ordres est un concept mathématique qui généralise la notion d’ordre sur un ensemble. Il s’agit d’un couple formé d’un groupe multiplicatif d’exposant fini et d’un sous-ensemble fermé de son dual topologique qui vérifie certains axiomes.
Définitions
[modifier | modifier le code]On se donne un groupe multiplicatif d'exposant , c’est-à-dire , on a (on note le neutre).
On distingue un élément remarquable de , dit élément distingué. On munit de la topologie discrète.
On note le groupe topologique dual de , qui est compact.
Par la nilpotence des éléments de que avec vu comme groupe multiplicatif.
On se donne maintenant un sous-ensemble non vide .
Le couple est dit un pré-espace d'ordre si les trois axiomes suivants (« axiomes de Marshall ») sont vérifiés[1] :
est un fermé de
.
L'axiome est dit axiome de séparation, i.e. sépare les éléments de .
Exemples
[modifier | modifier le code]Dans le cas où est le groupe multiplicatif .
L'unique pré-espace d'ordre associé à ce groupe est l'espace trivial constitué d'un seul élément.
Bibliographie
[modifier | modifier le code]- (en) Carlos Andradas, Ludwig Bröcker et Jesus M. Ruiz, Constructible Sets in Real Geometry, Berlin/Heidelberg/New York, Springer, coll. « Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete » (no 33), , 3e éd., 270 p. (ISBN 3-540-60451-0), p. 85-123, chapitre IV : Spaces of Orderings
- (en) Murray A. Marshall, Spaces of Orderings and Abstract Real Spectra, Springer, coll. « Lecture Notes in Mathematics » (no 1636),
- (en) Murray Marshall, « Classification of Finite Spaces of Orderings », Canad. J. Math., vol. 31, , p. 320-330 (lire en ligne)
Référence
[modifier | modifier le code]- Andradas, Bröcker et Ruiz 1996, p. 85-86