Enveloppe supérieure

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En mathématiques, l'enveloppe supérieure d'une famille de fonctions définies sur un même ensemble et à valeurs réelles est la fonction dont la valeur en un point est le supremum (ou borne supérieure) des valeurs prises par ces fonctions en ce point.

Définition[modifier | modifier le code]

Soient \mathbb{E} un premier ensemble utilisé comme espace de définition de fonctions, I un second ensemble utilisé comme ensemble (quelconque) d'indices et \bar{\R} la droite réelle achevée. Pour tout i \in  I, on suppose donnée une fonction f_i: \mathbb{E} \to \bar{\R}. On peut alors introduire la fonction f = \sup_{i \in I} f_i définie pour x\in \mathbb{E} par

f(x) = \sup_{i \in I} \Bigl(f_i(x)\Bigr).

Cette fonction s'appelle l'enveloppe supérieure des fonctions f_i. Autrement dit, f: \mathbb{E} \to \bar{\R} prend en x\in\mathbb{E} le supremum (ou borne supérieure) des valeurs prises par les fonctions f_i en x.

La notation f=\sup_{i\in I}f_i est justifiée par le fait[1] que f n'est autre que la borne supérieure de la famille des fonctions f_i, dans l'ensemble ordonné réticulé des applications de \mathbb{E} dans \bar{\R} ; l'ordre étant donné par [f\leqslant g] \Leftrightarrow [f(x)\leqslant g(x) pour tout x\in\mathbb{E}].

Propriétés[modifier | modifier le code]

On note ci-dessous \operatorname{epi}\,f:=\{(x,\alpha)\in \mathbb{E}\times \R: f(x)\leqslant \alpha\} l'épigraphe d'une fonction f:\mathbb{E}\to\bar{\R}.

Épigraphe, convexité, fermeture — Soit \{f_i\}_{i\in I} une famille quelconque de fonctions définies sur un ensemble \mathbb{E} à valeurs dans \bar{\R}. Alors


\operatorname{epi}\left(\sup_{i\in I}f_i\right)=\bigcap_{i\in I}\;\;\left(\operatorname{epi}\,f_i\right).

On en déduit que :

  • \textstyle\sup_{i\in I}f_i est convexe si \mathbb{E} est un espace vectoriel et si les f_i sont convexes,
  • \textstyle\sup_{i\in I}f_i est fermée si \mathbb{E} est un espace topologique et si les f_i sont fermées.

Il se peut cependant que l'enveloppe supérieure de fonctions convexes soit identiquement égale à +\infty, même si les fonctions f_i sont convexes et propres (par exemple l'enveloppe supérieure des fonctions constantes).

Annexes[modifier | modifier le code]

Note[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) J. M. Borwein, A. S. Lewis (2000). Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Springer, New York.
  • (en) Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemaréchal (2001). Fundamentals of Convex Analysis. Springer. ISBN 3-540-42205-6.
  • (en) R.T. Rockafellar (1970). Convex Analysis. Princeton Mathematics Ser. 28. Princeton University Press, Princeton, New Jersey.