Enveloppe supérieure

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En mathématiques, l'enveloppe supérieure d'une famille de fonctions définies sur un même ensemble E et à valeurs dans est la fonction sur E dont la valeur en tout point x de E est la borne supérieure des valeurs en x de ces fonctions.

Définition[modifier | modifier le code]

L'enveloppe supérieure d'une famille d'applications d'un ensemble dans la droite réelle achevée est l'application

.

La notation est justifiée par le fait[1] que l'enveloppe supérieure de la famille n'est autre que sa borne supérieure, dans le treillis complet[2] des applications de dans .

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Avec les notations précédentes, l'épigraphe[3] de l'enveloppe supérieure de la famille est l'intersection des épigraphes des  :
    .
    On en déduit que :
    • est convexe si est un -espace vectoriel et si les sont convexes ;
    • est « fermée » (c'est-à-dire semi-continue inférieurement) si est un espace topologique et si les sont fermées.
  • Soit un espace localement convexe séparé. Une fonction de dans est convexe et fermée (si et) seulement si elle est l'enveloppe supérieure de ses minorantes affines continues[4].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. N. Bourbaki, Topologie générale, (lire en ligne), p. IV.21.
  2. L'ordre naturel sur est l'ordre produit : .
  3. L'épigraphe d'une application est l'ensemble .
  4. (en) Charalambos D. Aliprantis et Kim C. Border, Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide, Springer, , 3e éd. (1re éd. 1999) (lire en ligne), p. 251.

Bibliographie[modifier | modifier le code]