Enveloppe supérieure

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En mathématiques, l'enveloppe supérieure d'une famille de fonctions définies sur un même ensemble et à valeurs réelles est la fonction dont la valeur en un point est le supremum (ou borne supérieure) des valeurs prises par ces fonctions en ce point.

Définition[modifier | modifier le code]

Soient un premier ensemble utilisé comme espace de définition de fonctions, un second ensemble utilisé comme ensemble (quelconque) d'indices et la droite réelle achevée. Pour tout , on suppose donnée une fonction . On peut alors introduire la fonction définie pour par

Cette fonction s'appelle l'enveloppe supérieure des fonctions . Autrement dit, prend en le supremum (ou borne supérieure) des valeurs prises par les fonctions en .

La notation est justifiée par le fait[1] que n'est autre que la borne supérieure de la famille des fonctions , dans l'ensemble ordonné réticulé des applications de dans  ; l'ordre étant donné par [] [ pour tout ].

Propriétés[modifier | modifier le code]

On note ci-dessous l'épigraphe d'une fonction .

Épigraphe, convexité, fermeture — Soit une famille quelconque de fonctions définies sur un ensemble à valeurs dans . Alors

On en déduit que :

  • est convexe si est un espace vectoriel et si les sont convexes,
  • est fermée si est un espace topologique et si les sont fermées.

Il se peut cependant que l'enveloppe supérieure de fonctions convexes soit identiquement égale à , même si les fonctions sont convexes et propres (par exemple l'enveloppe supérieure des fonctions constantes).

Annexes[modifier | modifier le code]

Note[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) J. M. Borwein, A. S. Lewis (2000). Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Springer, New York.
  • (en) Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemaréchal (2001). Fundamentals of Convex Analysis. Springer. ISBN 3-540-42205-6.
  • (en) R.T. Rockafellar (1970). Convex Analysis. Princeton Mathematics Ser. 28. Princeton University Press, Princeton, New Jersey.