Ensemble de sous-niveau

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En mathématiques, en particulier en analyse, en analyse convexe, en optimisation et en topologie différentielle (théorie de Morse), un ensemble de sous-niveau d'une fonction définie sur un ensemble à valeurs dans la droite réelle achevée est l'ensemble des points où elle prend une valeur inférieure à un niveau donné :

Un ensemble de sous-niveau particulier est l'ensemble arg min des minimiseurs de .

Propriétés

  • Une fonction définie sur un espace topologique à valeurs dans est fermée (on dit aussi semi-continue inférieurement) si, et seulement si, tous ses ensembles de sous-niveaux sont fermés.
  • Une fonction est quasi convexe si, et seulement si, tous ses ensembles de sous-niveau sont convexes.

Bibliographie