Ensemble de Multibrot

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Cliquez pour visionner la vidéo avec d allant de 0 à 8

En mathématiques, l'ensemble de multibrot est, sur le plan complexe, l'ensemble des valeurs pour lesquelles la valeur absolue reste inférieure à une valeur définie, lors d'itérations récursives par un nombre membre de la famille des polynômes unitaires[1],[2],[3].Ce nom est la contraction de "multiple" et "ensemble de Mandelbrot".

d ≥ 2. L'exposant d peut être généralisé à des valeurs négatives et fractionnelles[4]. Beaucoup de représentations graphiques sont disponibles, mais pour l'instant, aucune n'a réussi à afficher un empilement 3D de différentes images pour que l'évolution générale de la forme puisse être vue depuis un autre endroit que d'en haut.

Exemples[5][modifier | modifier le code]

Le cas de

est l'ensemble de Mandelbrot classique depuis lequel le nom est dérivé.

Les ensembles pour les autres valeurs de d présentent aussi des images fractales [6] lorsqu'ils sont tracés sur le plan complexe.

Chaque exemple des différentes puissances d ci-dessous est tracé à la même échelle. Les valeurs de c appartenant à l'ensemble sont noires. Les valeurs de c dont les valeurs ne sont pas bornées après itérations n'appartiennent pas à l'ensemble et sont représentées en différentes couleurs pour montrer leurs contours. Les couleurs dépendent du nombre d'itérations nécessaires pour que la valeur dépasse la magnitude définie.

Puissances positives[modifier | modifier le code]

L'exemple d = 2 est l'ensemble de Mandelbrot original. Les exemples pour d > 2 sont souvent appelés ensembles de multibrot. Ces ensembles incluent l'origine et ont un périmètre fractal, avec (d − 1) axes de symétrie rationnel(s).

z z2 + c
z z3 + c
z z4 + c
z z5 + c
z z6 + c
z z96 + c
z z96 + c détail x40

Puissances négatives[modifier | modifier le code]

Lorsque d est négatif, l'ensemble encercle l'origine mais ne l'inclut pas. Il y a un comportement complexe intéressant entre l'ensemble et l'origine, une zone en forme d'étoile avec (1 − d) axes de symétrie rationnel(s). L'ensemble semble avoir un périmètre circulaire, mais cette illusion est créée par le rayon maximal autorisé par l'algorithme et n'est pas la vraie limite de l'ensemble, qui s'étend en réalité dans toutes les directions jusqu'à l'infini.

z z−2 + c
z z−3 + c
z z−4 + c
z z−5 + c
z z−6 + c

Puissances fractionnelles[modifier | modifier le code]

Multibrots -2 to 2.gif

Tracer l'ensemble[modifier | modifier le code]

Toutes les images ci-dessus sont tracées avec l'algorithme d'Évasion du Temps qui identifie des points hors de l'ensemble de manière simple. On peut révéler beaucoup plus de détails fractals en traçant l'exposant de Liapounov[7] comme le montre l'exemple ci-dessous. L'exposant de Liapounov est le taux de croissance de l'erreur d'une séquence donnée. On calcule d'abord la séquence d'itération avec N itérations, puis on calcule l'exposant avec

et si l'exposant est négatif, la séquence est stable. Les pixels blancs sur l'image sont les paramètres c pour lesquels l'exposant est positif, c'est-à-dire instable. Les couleurs montrent la période des cycles auxquels les orbites sont attirées. Tous les points bleu foncé (extérieur) sont attirés par un point fixe et tous les points au milieu, en bleu plus clair, sont attirés par un cycle à deux périodes, et ainsi de suite.

Premier quadrant agrandi de l'ensemble de Multibrot pour l'itération z Modèle:Mapsto z−2 + c tracée avec l'algorithme d'évasion du Temps.
Premier quadrant agrandi de l'ensemble de Multibrot pour l'itération zz−2 + c tracée avec l'exposant de Liapounov de la séquence en tant que critère de stabilité plutôt qu'en utilisant l'algorithme d'Évasion du Temps. La coloration de l'ensemble a été réalisée avec la vérification de la périodicité selon la période du cycle de l'orbite.

Pseudocode[modifier | modifier le code]

ALGORITHME D'ÉVASION DU TEMPS
=====================
Pour chaque pixel sur l'écran, faire :
{
  x = x0 = x coordonnée du pixel
  y = y0 = y coordonnée du pixel

  itération = 0
  max_itération = 1000

  while ( x*x + y*y <= (2*2) AND itération < max_itération )
  {
    /* INSÉRER LE(S) CODE(S) POUR Z^d DEPUIS LE CODE CI-DESSOUS */

    itération = itération + 1
  }

  if ( itération == max_itération )
  then
    colour = noir
  else
    colour = itération

  plot(x0,y0,couleur)
}

La valeur complexe z a les coordonnées (x, y) sur le plan complexe et est élevée à des puissances différents dans la boucle d'itération par les codes montrés ci-dessus. Les puissances non présentes dans ce code sont obtenues en concaténant des codes montrés.

z−1 z2 (pour l'ensemble de Mandelbrot) z3 z5 zn
d=x^2+y^2
if d=0 then ESCAPE
x = x/d + a
y= -y/d + b 
xtmp=x^2-y^2 + a
y=2*x*y + b
x=xtmp 
xtmp=x^3-3*x*y^2 + a
y=3*x^2*y-y^3 + b
x=xtmp 
xtmp=x^5-10*x^3*y^2+5*x*y^4 + a
y=5*x^4*y-10*x^2*y^3+y^5 + b
x=xtmp
xtmp=(x*x+y*y)^(n/2)*cos(n*atan2(y,x)) + a
y=(x*x+y*y)^(n/2)*sin(n*atan2(y,x)) + b
x=xtmp

[8]

Notes et références[modifier | modifier le code]