Ellipsoïde de révolution

Ellipsoïdes, allongé (oblong ou prolate), et aplati (oblate).

En mathématiques, un ellipsoïde de révolution ou sphéroïde est une surface de révolution obtenue par rotation dans l'espace d'une ellipse autour de l'un de ses axes. Comme tout ellipsoïde, il s'agit d'une surface quadrique, c'est-à-dire qu'elle est décrite par une équation de degré 2 en chaque coordonnée dans un repère cartésien.

L'expression peut aussi parfois désigner le volume borné délimité par cette surface, notamment pour décrire des objets physiques tels que la Terre ou des noyaux atomiques.

Un ellipsoïde de révolution peut être :

• allongé (ou oblong, en anglais : prolate) si l'axe de rotation est l'axe principal (le grand axe), ce qui lui donne une forme de ballon de rugby ;
• aplati (en anglais : oblate) dans le cas contraire (comme la surface de la Terre, approximativement) ;
• sphérique, dans le cas particulier où l'ellipse génératrice est un cercle.

Propriétés

Paramétrisation

Dans un plan de coupe contenant l'axe de rotation, la trace de l'ellipsoïde est une ellipse paramétrée en coordonnées cylindriques par un angle au centre θ variant entre 0 et 2π sous la forme :

$\left\{{\begin{array}{l}r(\theta )=q\cos(\theta )\\z(\theta )=p\sin(\theta )\end{array}}\right.$

où p est le rayon polaire (longueur du demi-axe de rotation) et q le rayon équatorial.

L'ellipsoïde de révolution est donc paramétré en coordonnées cartésiennes dans un repère orthonormal approprié par : $\left\{{\begin{array}{l}x(\theta ,\phi )=q\cos(\theta )\cos(\phi )\\y(\theta ,\phi )=q\cos(\theta )\sin(\phi )\\z(\theta ,\phi )=p\sin(\theta )\end{array}}\right.$ où l'angle de rotation ϕ varie entre 0 et π.

Cette paramétrisation n'est pas unique.

Équation cartésienne

La paramétrisation proposée ci-dessus fournit l'équation cartésienne : ${\frac {x^{2}}{q^{2}}}+{\frac {y^{2}}{q^{2}}}+{\frac {z^{2}}{p^{2}}}=1$ qui montre que l'ellipsoïde de révolution est une surface quadrique.

Avec ces notations, un ellipsoïde de révolution apparaît comme l'image d'une sphère de rayon q par une affinité de rapport p/q parallèlement à l'axe de rotation.

Volume intérieur

La propriété précédente permet d'en déduire une expression du volume intérieur délimité par un ellipsoïde de révolution : $V={\frac {4}{3}}\pi pq^{2}$ où p est le rayon polaire et q le rayon à l'équateur.

Aire

L'aire d'un ellipsoïde de révolution est donnée par deux formules différentes selon que l'axe de rotation de l'ellipse est son grand axe ou son petit axe. Pour lever les ambiguïtés, les notations choisies sont les notations usuelles pour les ellipses : la demi-longueur du grand axe est notée a, celle du petit axe est notée b, l'excentricité e étant donnée par la formule : $e={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}.$

• Si a = b, l'aire se calcule avec la formule suivante :$A=4\pi R^{2},$où R = a = b.
• Lorsque l'axe de rotation est le petit axe, l'ellipsoïde est aplati, son rayon polaire étant strictement inférieur à son rayon équatorial, et l'aire est donnée par la formule :$A=2\pi a^{2}+{\frac {\pi b^{2}}{e}}\ln \left({\frac {1+e}{1-e}}\right).$
• Lorsque l'axe de rotation est le grand axe, l'ellipsoïde est allongé, son rayon polaire étant strictement supérieur à son rayon équatorial, et l'aire est donnée par la formule :$A=2\pi b^{2}+{\frac {2\pi ab}{e}}\arcsin(e).$

L'utilisation d'une des deux dernières formules dans le cas où a = b mène à une division par zéro de la forme 0/0 puisque l'excentricité e est égale à 0. On remarque que quand e tend vers 0, ces deux expressions tendent vers 4πR².

Démonstration

L'aire est donnée par la formule : $A=2\int _{0}^{\pi /2}2\pi q\cos(\theta ){\sqrt {q^{2}\sin ^{2}(\theta )+p^{2}\cos ^{2}(\theta )}}\mathrm {d} \theta$ donc à l'aide du changement de variable $u=\sin(\theta )$ avec $\mathrm {d} u=\cos(\theta )\mathrm {d} \theta$, $A=4\pi q\int _{0}^{1}\!\!{\sqrt {q^{2}u^{2}+p^{2}(1-u^{2})}}\ \mathrm {d} u=4\pi q\int _{0}^{1}\!\!{\sqrt {(q^{2}-p^{2})u^{2}+p^{2}}}\ \mathrm {d} u.$ La suite des calculs dépend du signe de la différence q² – p² pour appliquer les formules des primitives de fonctions irrationnelles.

• Si q > p : avec les égalités q = a et p = b, l'intégrale s'écrit :$\int _{0}^{1}\!\!{\sqrt {b^{2}+(a^{2}-b^{2})u^{2}}}\ \mathrm {d} u={\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}}}+{\frac {b^{2}}{2{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{b}}\right)$donc l'aire se réécrit :$A=2\pi a^{2}+{\frac {2\pi b^{2}}{e}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{b}}\right).$Or les relations entre fonctions hyperboliques réciproques permettent d'écrire :$\operatorname {arsinh} \left({\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{b}}\right)=\operatorname {artanh} \left({\frac {\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{b}}{\sqrt {{\frac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}}}+1}}}\right)=\operatorname {artanh} (e)={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+e}{1-e}}\right).$Donc l'aire est donnée par la formule :$A=2\pi a^{2}+{\frac {\pi b^{2}}{e}}\ln \left({\frac {1+e}{1-e}}\right).$
• Si q < p : avec les égalités p = a et q = b, l'intégrale s'écrit :$\int _{0}^{1}\!\!{\sqrt {a^{2}-(a^{2}-b^{2})u^{2}}}\ \mathrm {d} u={\frac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}}}+{\frac {a^{2}}{2{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}}\arcsin \left({\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}\right)$donc l'aire se réécrit :$A=2\pi b^{2}+{\frac {2\pi ab}{e}}\arcsin(e).$

Applications

Plusieurs exemples d'ellipsoïdes de révolution apparaissent en physique. Par exemple, une masse fluide soumise à sa propre attraction gravitationnelle et en rotation sur elle-même forme un ellipsoïde aplati. Un autre exemple est donné par la déformation de la Terre et surtout du niveau des océans en un ellipsoïde allongé sous l'action d'un champ gravitationnel extérieur, donnant lieu au phénomène des marées.

Bibliographie

• (en) S. Chandrasekhar, « Ellipsoidal figures of equilibrium: an historical account », Comm. Pure Appl. Math., vol. 20,‎ 1967, p. 251-265 (DOI 10.1002/cpa.3160200203, lire en ligne)
• (en) S. Chandrasekhar, « The Equilibrium and the Stability of the Dedekind Ellipsoids », Astrophys. J., vol. 141,‎ 1965, p. 1043-1054 (lire en ligne)