Division par zéro

La division par zéro consiste à chercher le résultat qu'on obtiendrait en prenant zéro comme diviseur. Ainsi, une division par zéro s'écrirait $x / 0$ , où $x$ serait le dividende (ou numérateur).

Dans les définitions usuelles de la multiplication, cette opération n'a pas de sens : elle contredit notamment la définition de la multiplication en tant que seconde loi de composition d'un corps, car zéro (l'élément neutre de l'addition) est un élément absorbant pour la multiplication.

Dans les diverses branches des mathématiques

L'infini

La division par zéro donne l'infini. Cette convention a d'ailleurs été défendue par Louis Couturat dans son livre De l'infini mathématique^[1].

Cette convention est assez cohérente avec les règles de la droite réelle achevée, dans laquelle n'importe quel nombre, divisé par l'infini, donne 0.

La convention de Louis Couturat est cependant assez difficile à comprendre. Elle donne l'infini non signé comme résultat de la division de tout nombre par 0. Or, l'infini non signé est un concept encore plus difficile à saisir que « plus l'infini » et « moins l'infini ». De plus, Couturat est assez flou sur le statut qu'il faut alors donner à des expressions comme $\infty \times 0$ .

Abbas Edalat et Peter John Potts proposèrent pour leur part d'introduire en même temps que l'infini comme inverse de zéro un second élément^[2], qui lui représente les formes indéterminées, y compris celles qui apparaissent à cause de l'introduction de l'infini. En fait, ces propositions sont postérieures aux conventions informatiques.

En informatique, pour le calcul en nombres flottants, c'est un tel système qui est utilisé, en utilisant dans le calcul les éléments $+\infty$ , $-\infty$ et NaN, ce dernier étant utilisé pour les formes indéterminées (voir #En informatique).

Si l'on emploie une telle convention, il faut se souvenir que certaines propriétés des nombres réels ne sont plus vraies dans l'ensemble formé par les nombres réels et les nouveaux éléments introduits. En effet, comme on a pour deux nombres différents $n$ et $m$ les égalités $n /0 = \infty$ et $m /0 = \infty$ , la division n'est plus réversible par multiplication ( $\infty \times 0$ ne peut valoir simultanément $n$ et $m$ ), et n'est donc plus définie comme son opération réciproque.

Il faut bien rappeler que par définition des nombres réels, l'infini, signé ou non, et les formes indéterminées n'en sont pas. L'ajout de ces éléments constitue donc une extension de l'ensemble des réels, comme l'est la construction des nombres complexes.

Justification par les limites

Mais en analyse, on peut essayer de donner un sens à la limite de la fonction inverse en 0, c'est-à-dire du quotient $1 / x$ lorsque $x$ tend vers zéro. Ainsi, si $x$ désigne un nombre réel non nul, le quotient $1 / x$ peut avoir une valeur absolue aussi grande qu'on veut, à condition de prendre $x$ suffisamment proche de zéro. On écrit cela :

\lim _{x\to 0}\left|{\frac {1}{x}}\right|=+\infty

et on dit que la valeur absolue de ce quotient admet pour limite « plus l'infini » lorsque $x$ tend vers zéro.
Si l'on veut se passer de la valeur absolue, il faut distinguer deux cas, selon que $x$ tend vers zéro par valeurs négatives (dans ce cas, le quotient tend vers $\scriptstyle -\infty$ ) ou positives (le quotient tend alors vers $+\infty$ ).

On écrit : $\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x}}=+\infty$ ,
et : $\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x}}=-\infty$ .

En termes vulgarisés, quand $x$ est très petit, $1 / x$ est très grand, ce qui peut pousser à convenir que 1/0 vaudrait l'infini. Le problème est que quand $x$ est très petit mais inférieur à 0, $1 / x$ devient très important en dessous de zéro. On ne peut donc définir si 1/0 vaudrait plus l'infini ou moins l'infini.

Même dans la droite réelle achevée, qui comprend $-\infty$ et $+\infty$ comme éléments, on ne peut donc pas définir la division par zéro (alors que l'on a, par exemple, $1/\infty = 0$ ).

Analyse non standard

Articles détaillés : nombre hyperréel et analyse non standard.

Sans autoriser la division par zéro, les nombres hyperréels admettent des nombres « infiniment petits ». Dans ce domaine des mathématiques, un nombre infinitésimal (plus petit que tout réel positif, sauf 0) a pour inverse un « infiniment grand » (plus grand que tout réel).

Algèbre

En algèbre, l'impossibilité de diviser tout nombre par zéro se démontre dans le cadre plus général de la théorie des anneaux.

En effet, on démontre en règle générale que l'élément neutre de la première loi de l'anneau (l'addition pour les nombres réels) est un élément absorbant pour la seconde loi (la multiplication).

Démonstration : $\forall x,y\in A,x\times y=(x+0)\times y$ (parce que $x=(x+0)$ ) et $(x+0)\times y=x\times y+0\times y$ (par distributivité à droite), d'où $x\times y=x\times y+0\times y$ , d'où $0=0\times y$ . De même pour l'autre côté si l'anneau n'est pas commutatif.

Donc pour tout nombre $a$ , $a \times 0 = 0$ . Or, la division s'entend comme l'opération réciproque de la multiplication. Donc diviser par zéro reviendrait à multiplier par l'inverse de zéro. Or, zéro n'a pas d'inverse.

C'est pourquoi la division par zéro n'a non seulement pas de sens dans les ensembles de nombres usuels (entiers, réels ou complexes), mais plus généralement dans tout ensemble de nombres vérifiant les propriétés algébriques usuelles vis-à-vis de l'addition et de la multiplication (ce qu'on appelle un anneau). Il n'y a donc pas d'espoir de construire un nouvel ensemble de nombres qui donnerait un sens à l'inverse de zéro (comme celui des nombres complexes donne un sens à la racine carrée de $-1$ ), sauf si l'on accepte de perdre des propriétés essentielles du calcul algébrique usuel (notamment la distributivité de la multiplication sur l'addition).

Pseudo-inverse

Article détaillé : pseudo-inverse.

Le problème général de la division impossible a amené en algèbre linéaire à inventer un objet conservant certaines propriétés de l'inverse : le pseudo-inverse.

Dans le cas matriciel, la définition est la suivante :

Étant donné une matrice A avec $n$ lignes et p colonnes, son pseudo-inverse A⁺ vérifie (entre autres, on ne met que les plus simples) les conditions suivantes :

$AA^{+}A=A\,$ ;
$A^{+}AA^{+}=A^{+}\,$

Donc, en considérant les nombres comme matrices à une seule ligne et une seule colonne, le pseudo-inverse de 0 est 0.

Bien entendu, la notion de pseudo-inverse est beaucoup plus importante pour les matrices de taille supérieure. La définition d'un nouvel objet ne se justifierait pas pour donner seulement une réponse à la division par zéro pour les nombres réels.

Analyse

En analyse, dans certains cas, il est possible de calculer la limite d'un quotient dont le dénominateur est une suite ou une fonction de limite nulle.

Par exemple, un cas évident est celui de la fonction $f:x\longrightarrow {\frac {x^{2}}{x}}$ . En principe, on devrait dire que $ƒ(0)$ ne peut être calculé car implique une division par 0. Mais pour tout $x$ autre que 0, on peut simplifier l'expression en $ƒ(x) = x$ . Il est alors évident qu'on peut écrire ƒ(0) = 0 en tant que limite (valeur dont ƒ(x) devient « infiniment proche » quand $x$ devient « infiniment proche » de 0, pour donner une idée du concept).

Bien entendu, le problème n'apparaît pas forcément en approchant la valeur 0 pour l'argument de la fonction. Par exemple, pour la fonction $g:x\longrightarrow {\frac {1}{x-3}}$ , c'est quand $x$ vaut 3 qu'on a un problème de type « division par zéro ».

Suivant les expressions que l'on trouve au numérateur et au dénominateur, une expression comprenant une division par zéro peut avoir pour limite 0, un autre nombre, +∞ (plus l'infini), -∞, ou ne pas avoir de limite. Quelques exemples :

$f_{1}:x\longrightarrow {\frac {x^{2}}{x}}$ a 0 pour limite en 0 (déjà vu)
$f_{2}:x\longrightarrow {\frac {\cos(x)-1}{x^{2}}}$ a ${\frac {-1}{2}}$ pour limite en 0 (exercice courant pour étudiants en mathématiques ; utilise le développement limité)
$f_{3}:x\longrightarrow {\frac {1}{x^{2}}}$ a +∞ comme limite en 0
$f_{4}:x\longrightarrow \sin(1/x)$ n'a pas de limite en 0

Comme piège de raisonnement

Dans les pseudo-démonstration d'égalité entre nombres, la méthode la plus courante consiste à démontrer que $x = y$ , alors que c'est trivialement faux (exemple : $x = 1$ , $y = 2$ ) en démontrant en fait que $0 \times x = 0 \times y$ (ce qui, on l'a dit plus haut, est vrai pour tous les nombres), puis en divisant par zéro des deux côtés pour simplifier (il est vrai que $z \times x = z \times y$ implique que $x = y$ pour tout nombre $z$ autre que 0).

L'astuce consiste à compliquer les expressions de telles manières qu'on effectue la « simplification par zéro » en divisant par une expression si compliquée que le lecteur ne s'aperçoit pas qu'elle vaut 0.

Tentatives plus poussées

Le docteur en mathématiques Jesper Carlström a fait l'inventaire des méthodes proposées pour étendre les ensembles mathématiques en autorisant la division par zéro. En généralisant les constructions précédemment proposées, il obtient une structure appelée wheel, c'est-à-dire « roue », allusion au fait que cette structure s'obtient en complétant un anneau.

Comme déjà dit, l'ensemble autorisant la division par zéro n'est même plus un anneau. Et dans cet ensemble, si l'égalité $x - x = 0 \times x 2$ reste vraie, cela ne signifie pas forcément que $x - x = 0$ ^[3].

Le professeur d'informatique James Anderson proposa pour sa part d'ajouter les deux infinis et un nouveau nombre appelé nullity (qu'on obtient, par exemple, en faisant 0/0) pour autoriser la division par zéro dans tous les cas. Les critiques remarquèrent que cela revenait à peu près au même que la convention déjà utilisée en informatique (voir plus bas), à cela près que la réponse des ordinateurs pour une forme indéterminée, NaN (ce qui signifie : « pas un nombre ») est appelée un nombre, et que quelques-unes de ses propriétés conventionnelles changent^[4].

En informatique

En informatique, suivant le standard IEEE 754, un résultat est prévu pour la division par 0.

Tout nombre positif non nul divisé par 0 donne Inf (l'infini), tandis qu'un nombre négatif donne -Inf. Cependant il est aussi prévu que le diviseur ait une valeur de zéro, tout en ayant son signe négatif (-0). Dans ce cas, le signe de l'infini est inversé. Techniquement, cela vient du fait que dans le codage des nombres à virgule flottante en informatique, un bit indique si le nombre est positif ou négatif, les autres bits représentant la valeur absolue. En fait, excepté quand on calcule avec des nombres complexes, la division par zéro est quasiment le seul cas où la distinction +0/-0 prend une importance^[5].

De plus, il faut noter qu'on peut trouver zéro comme produit de deux nombres non nuls, s'ils sont si petits que leur produit est inférieur au plus petit nombre représentable, ou comme résultat d'autres opérations pour lesquelles la précision des nombres tels qu'évalués par l'ordinateur joue. La division par zéro en informatique peut donc se produire même quand le modèle prédit qu'une variable ne peut pas faire zéro.

0/0 donne pour sa part NaN (« Not a Number », ce qui signifie en anglais « pas un nombre »), tout comme de multiplier Inf ou -Inf par 0, ou de soustraire Inf à Inf. Donc si on a quelque part effectué une division par zéro, on trouve ensuite souvent une variable qui vaut NaN.

Ce qui arrive après une division par zéro dépend des choix faits par le programmeur, mais il est assez souvent préférable de prévoir que le programme interrompe son exécution dès qu'une variable vaut Inf, -Inf ou NaN, plutôt que de le laisser continuer à se dérouler en se basant sur de telles valeurs, qui sont relativement inutilisables pour prendre des décisions.

Par exemple, supposons que l'on souhaite comparer deux nombres x et y ; on obtient en fait les quantités $z \times x$ et $z \times y$ . On les redivise par $z$ . Finalement, si $z$ valait en fait 0, on obtient NaN pour les deux valeurs, ce qui ne permet pas de déterminer laquelle des deux est la plus grande. Même si les ordinateurs ont des réponses conventionnelles pour ces comparaisons, il est souvent préférable que le programme envoie un message d'alerte pour signaler qu'en raison d'une division par zéro, les résultats sont inutilisables.

D'autres calculateurs ont comme convention de renvoyer l'erreur spécifique « division par zéro ». C'est généralement le cas des calculatrices de poche. Exemple particulier, le logiciel de mathématiques Maple renvoie une erreur si la division est faite sous forme symbolique (par exemple $1/0$ ou $π/0$ ), mais « l'infini des flottants » (ou moins l'infini) si un des nombres est à virgule flottante.

Certaines des plus grandes destructions de matériels causées par des plantages informatiques ont pour cause un comportement catastrophique en cas de division par zéro, parce que le programmeur pensait à tort que la variable utilisée comme diviseur ne vaudrait jamais 0^[6].

Annulation catastrophique

Pour comprendre les raisons d'une division par zéro, il faut mentionner la notion d'« annulation catastrophique » (Catastrophic cancellation). Pour des nombres enregistrés dans la mémoire d'un ordinateur, on utilise généralement la représentation en virgule flottante. Or, cela signifie que les nombres ne peuvent être connus qu'avec une précision relative limitée. L'annulation catastrophique est la soustraction de deux nombres qui ne sont pas formellement égaux, mais le sont dans la limite de la précision utilisée^[7].

Donc, bien que d'un pur point de vue mathématique l'exponentielle d'un nombre strictement supérieur à 0 est strictement supérieure à 1, en informatique 1/(exp(x)-1) provoquera une division par zéro, non seulement si x est nul, mais aussi quand x est non nul mais que exp(x) est un nombre trop peu différent de 1 pour être distingué en représentation flottante. Or en virgule flottante, la précision est relative. Ce qui signifie que ce format permet de représenter des nombres très petits (par exemple, le format « simple précision » permet de représenter des valeurs de l'ordre de 10^-38), mais qu'il ne peut pas représenter une différence par rapport à 1 aussi faible (toujours en « simple précision », le plus faible écart à 1 représentable est de l'ordre de 10^-8).

Voir aussi

Notes et références

[1] Extrait du livre dans Google livres

[2] New Representation for Exact Real Numbers

[Wheels-3] ttp://www2.math.su.se/reports/2001/11/2001-11.pdf

[4] Nullity – the Nonsense Number

[5] The pitfalls of verifying floating-point computations David Monniaux

[6] Sunk by Windows NT

[7] ttp://docs.sun.com/app/docs/doc/800-7895/6hos0aou8?a=view

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