Distance d'un point à une droite

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
La distance entre le point A et la droite (d ) est la distance AAh

En géométrie euclidienne, la distance d'un point à une droite est la plus courte distance séparant ce point et un point courant de la droite. Le théorème de Pythagore permet d'affirmer que la distance du point A à la droite (d ) correspond à la distance séparant A de son projeté orthogonal Ah sur la droite (d ). On peut ainsi écrire :

Dans le plan[modifier | modifier le code]

Si le plan est muni d'un repère orthonormal, si la droite (d) a pour équation ax + by + c = 0 et si le point A a pour coordonnées (xA ; yA), alors la distance entre A et (d ) est donnée par la formule

où |r | représente la valeur absolue du réel r.

En effet, si M(x, y ) est un point quelconque de la droite (d ), et si on note le vecteur normal à la droite (d ) de composantes (a ; b ), alors la valeur absolue du produit scalaire des vecteurs et est donnée par les deux expressions :

( ax + by = - c car M est un point de (d))
.

En particulier,

  • si la droite a pour équation y = mx + p alors
  • si la droite a pour équation x = a alors  ;
  • si la droite a pour équation y = b alors .

Dans l'espace[modifier | modifier le code]

Si l'espace est muni d'un repère orthonormé, si la droite (d ) passe par le point B et a pour vecteur directeur , la distance entre le point A et la droite (d) est donnée par la formule

représente le produit vectoriel des vecteurs et et où représente la norme du vecteur .

En effet, si l'on note C le point de (d ) tel que alors l'aire du triangle ABC est donnée par les deux expressions

.

Cette distance est supérieure ou égale à toute distance séparant le point A d'un plan contenant la droite (d ). Si la droite (d ) est définie comme l'intersection de deux plans perpendiculaires et si l'on note d₁ et d₂ les distances du point A à ces deux plans, on a :

.

En dimension n[modifier | modifier le code]

Si l'espace est muni d'un repère orthonormal, si la droite (d) passe par le point B et a pour vecteur directeur . Tout point peut être écrit ainsi

La distance entre le point A et la droite (d) se trouve en calculant la distance AM avec M le point de (d) le plus proche de A. Cela revient à trouver t

représente le produit scalaire des vecteurs et . On a donc

Démonstration :

Cela revient à trouver qui minimise . Minimiser revient au même (la fonction carrée est strictement croissante du côté positif).

On cherche , pour trouver ce minimum.

Voir aussi[modifier | modifier le code]