Ensembles disjoints

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En mathématiques, deux ensembles sont dits disjoints s'ils n'ont pas d'éléments en commun. Par exemple, et sont deux ensembles disjoints.

Explication[modifier | modifier le code]

De manière formelle, deux ensembles A et B sont disjoints si leur intersection est l'ensemble vide, c'est-à-dire si

(Dans le cas contraire, on dit que A et B « se rencontrent ».)

Cette définition s'étend à une famille d'ensembles. Les ensembles d'une famille sont dits disjoints deux à deux ou mutuellement disjoints si deux ensembles quelconques de cette famille sont disjoints.

Plus précisément, soient un ensemble d'indices, et pour chaque , un ensemble . Alors les ensembles de la famille sont mutuellement disjoints si

Par exemple, les singletons de la famille sont mutuellement disjoints.

Si est une famille d'ensembles mutuellement disjoints, et s'il y a au moins deux indices dans I, alors l'intersection de la famille est vide :

Cependant, la réciproque est fausse : l'intersection de la famille est vide, mais ces trois ensembles ne sont pas mutuellement disjoints.

Une partition d'un ensemble X est une famille de parties non vides de X, disjointes deux à deux, dont la réunion est égale à X.

Voir aussi[modifier | modifier le code]