Ensembles disjoints

En mathématiques, deux ensembles sont dits disjoints s'ils n'ont pas d'éléments en commun. Par exemple, $\{1;2;3\}$ et $\{4;5;6\}$ sont deux ensembles disjoints.

Explication et généralisation[modifier | modifier le code]

De manière formelle, deux ensembles $A$ et $B$ sont disjoints si leur intersection est l'ensemble vide, c'est-à-dire si

A\cap B=\varnothing

.

(Dans le cas contraire, on dit que $A$ et $B$ « se rencontrent ».)

Cette définition s'étend à une famille d'ensembles. Les ensembles d'une famille sont dits disjoints deux à deux ou mutuellement disjoints si deux ensembles quelconques de cette famille sont disjoints.

Plus précisément, soient $I$ un ensemble d'indices, et pour chaque $i\in I$ , un ensemble $A_{i}$ . Alors les ensembles de la famille $(A_{i})_{i\in I}$ sont mutuellement disjoints si

\forall (i,j)\in I^{2}\qquad (\ i\neq j\Rightarrow \ A_{i}\cap A_{j}=\varnothing )

.

Par exemple, les singletons de la famille $(\{1\},\{2\},\{3\})$ sont mutuellement disjoints.

Si $(A_{i})_{i\in I}$ est une famille d'ensembles mutuellement disjoints et s'il y a au moins deux indices dans $I$ , alors l'intersection de la famille est vide :

\cap _{i\in I}A_{i}=\varnothing

.

La réciproque est fausse : l'intersection de la famille $(\{1,2\},\{2,3\},\{3,4\})$ est vide, mais ces trois ensembles ne sont pas mutuellement disjoints.