Discussion utilisateur:Jean-Luc W/Brouillon

Cher Jean-Luc W, vos travaux sur la géométrie d'Euclide m'impressionne. Celle de Bernhard Riemann et de celle d'Hermann Minkowski ne tarderont point à venir. Toutes mes amitiés du Canada, mes travaux de recherches sont présentement traduits en mandarin, à une heure de vol de Shanghai. Continuez votre bon travail!l.e.l--74.13.176.219 (d) 26 mai 2009 à 15:29 (CEST)

Cette page est une page de brouillon pour m'aider à rédiger des articles. Je travaille sous le nom de Jean-Luc W

Quelques lignes sur ce qui guide mes pas en début d'article

En creusant un peu l'histoire et le savoir associé aux sujets algèbre linéaire et espace vectoriel, je découvre que :

• Les vecteurs n'ont pas grand chose à voir avec l'algèbre linéaire. Son histoire est le fruit d'une tentative axiomatisation de la géométrie (Euclide), de besoin de calcul numérique (les arabes), de perspective (la renaissance) de calcul analytique pour la physique (optique et astronomie). Les chinois et leur système linéaire n'ont pas grand chose à faire dans cette galère (comme disait Molière).

• L'histoire des espaces vectoriels est l'histoire de bides sur bides et d'un siècle d'échec. Grassman fait un four, Hamilton prend un four sur sa tentative de modéliser le monde physique avec ses quaternions (c'est plus discutable mais pas totalement faux) Peano pas mieux, c'est Banach qui finit par imposer le concept un siècle plus tard. La raison que donne Jean-Luc Dorier est que le saut intellectuel est trop fort pour le gain immédiat. Point n'est besoin d'une géométrie grassmannienne pour réduire les endomorphismes, calculer un déterminant, inventer des méthodes de calcul numérique ou formaliser un calcul différentiel, alors pourquoi s'embêter ? La victoire finale est remportée par Banach, car pour résoudre certaines EDP les espaces fonctionnels sont indispensables. Même avec Hilbert cela ne suffisait pas, un déterminant infini ne faisait peur à personne et était bien rodé.

• L'histoire des espaces vectoriels est très déconnectée de l'algèbre linéaire. La véritable motivation de la notion d'espace vectoriel est d'unifier des résultats vrais dans des domaines très différents (analyse, calcul diff, théorie des nombres et des anneaux, théorie de Galois etc...). Cette approche n'est intéressante que si elle débouche sur des théorème nouveaux (sinon à quoi bon s'embêter). Ces théorèmes nouveaux proviennent des besoins de la physique et des espaces fonctionnels, pas de l'algèbre linéaire. Pour l'algèbre linéaire, ils s'en passaient très bien. Un bel exemple est le produit tensoriel, il est vraiment formalisé pour les besoins de la physique. En algèbre, il faut entrer dans le XXe siècle pour que ce formalisme soit considéré comme pertinent par les mathématiciens.

• L'algèbre linéaire correspond à un regroupement de savoirs guidé par une nouvelle axiomatique une fois qu'elle s'est imposé. Une fois que les espaces vectoriels s'impose, on réécrit l'algèbre et particulièrement les résultats en dimension finie, avec un nouveau formalisme. C'est un fourre tout dans lequel on associe différents outils apparus au cours du temps (système linéaire, déterminant, réduction d'endomorphisme, forme symétrique et alternée, réduction d'un paquet d'endomorphismes avec le lemme de Schur). Ces différentes histoires sont relativement indépendantes et mérite probablement d'être insérer dans les articles idoines.

Cela ne va être de la tarte de construire un article bien articulé et qui ne soit pas un patchwork avec tout cela. Jean-Luc W (d) 27 novembre 2007 à 09:57 (CET)

Je suis pour l'essentiel d'accord avec ces remarques. Le risque de cet article c'est "qui trop embrasse mal étreint". Il faudrait peut être trouver un squelette d'organisation

• pour démarrer : décrire le principe de base de l'algèbre linéaire, commun à toute une variété de situations : le principe de superposition, comme disent les physiciens. Et un deuxième principe, qui justifie l'intérêt du champ d'étude, mais qui en même temps en fait sortir : l'idée de linéarisation.

Voilà un paragraphe bien indispensable, je ne suis pas encore prêt pour le faire car je n'ai pas recensé les différents éléments. Une fois que je l'aurai fait, je ne suis pas sur que je serai la personne la plus qualifiée. Ma vision deviendra un point de vue probablement trop marqué pour être idéal. Si je ne trouve pas de victime pour le faire, je proposerais quelque chose.

• la partie contenu pourrait être séparée en deux pôles : outils et objectifs

Cette approche me plait bien. J'imagine mettre en avant un méta-objectif : le caractère unificateur et généralisateur, raison d'être de cette théorie. L'algèbre linéaire n'existe que parce que certaines configurations analogues se produisent dans des branches et des situations très diverses des mathématiques.

• une partie histoire, racontant en effet le passage de techniques morcelées à un formalisme unifié. Vu la densité de la chose, cette histoire doit être tracée à gros traits, avec des renvois nombreux.

Pour l'instant, je préfère une histoire plus précise. Elle deviendra indigeste, mais comme il existe plusieurs articles prêt à recevoir une partie historique plus fournie : matrice, polynôme caractéristique, polynôme minimal, réduction de Jordan, diagonalisation, produit tensoriel etc... je me dis qu'il sera, in fine, plus facile de relier les morceaux en déplaçant la partie historique. cela te semble-t-il une bonne démarche ?

• les utilisations : le choix d'exiler l'analyse fonctionnelle dans un autre article est à la fois compréhensible (c'est plus une extension qu'autre chose), mais en même temps un peu frustrant.

Cette extension est beaucoup plus naturellement à classer dans l'analyse fonctionnelle ou la géométrie. Les techniques qui font la différence sont essentiellement géométriques. En revanche, cela a été la raison de la formalisation de la théorie. Enfin, l'approche par les espaces vectoriels apporte un plus suffisant (des démonstrations de conjectures ouvertes sur les équa diff et edp) pour que ce concept soit admis par la communauté. L'utilisation du Dual par Laurent Schwartz a porté le coup de grâce. L'objectif de généralisation et d'unification ont néanmoins fait de l'algèbre linéaire une théorie essentiellement sur la dimension finie.

voilà les premières réflexions de quelqu'un qui a soigneusement évité de plonger ses mains dans le cambouis sur cet article.

Peps (d) 28 novembre 2007 à 15:32 (CET) Merci encore, voilà une aide bien utile. Jean-Luc W (d) 30 novembre 2007 à 11:10 (CET)

Histoire

Cher Jean-Luc, J'ai commencé à regarder la partie histoire, comme promis, mais je bute un peu sur la conception. Par exemple, il existe des problèmes tels que ceux indiqués au début bien avant le IIIe siècle av JC. Je peux remplacer bien sûr, mais du coup ce qui est dit sur la Chine doit être remplacé aussi, etc. Une question à résoudre a priori, amha, est le fait qu'il n'y a pas à ma connaissance à cette époque de traitement systématique de problèmes linéaires (et là je ne parle même pas du problème des notations algébriques et des inconnues arbitraires etc.). Il me semble donc qu'il faut le dire ainsi dans l'introduction. Dans la période médiévale, la situation est différente et il se passe des choses en Inde, en Chine, dans les pays autour de la Méditerranée etc. A quel point veux-tu quelque chose de détaillé dans cet article, ou bien réservons-nous les détails pour l'article 'Equations linéaires', ou 'équations' tout court, et nous contentons de quelques phrase pour celui-ci jusqu'à la période où s'introduisent les déterminants, matrices, etc. ? Amitiés --Cgolds 2 décembre 2007 à 12:56 (CET)

Merci pour ton aide. Je suis pour l'instant les lignes indiquées par J. Dhombres, F. Brechenmacher et J-L. Dorier. Ce qui constitue une histoire vaste de l'algèbre linéaire. Beaucoup trop vaste pour un article. J'ai pour l'instant surtout réfléchi sur les principes de généralisations et uniformisation. Cette foutu théorie est constituée de beaucoup trop d'éléments pour permettre d'y inclure le savoir dans cet article. Ma ligne consiste donc à diviser en fragments compatibles avec le format WP. Après avoir traité le déterminant (essentiellement fait par Peps dans le passé) et le théorème spectral sur lequel je suis pour l'instant en train de travailler. Il y aura aussi la réduction des endomorphisme, l'algèbre multilinéaire etc... Dans toutes ces plus petites histoires, l'objectif à mon avis est de disséminer le gros de l'analyse dans les articles connexes et de proposer une synthèse ici qui renvoie sur les différents articles. Pour ce que j'appellerai la préhistoire, l'affaire est loin d'être simple. Une vingtaine le lignes semble raisonnable si nous visons in fine un paragraphe d'approximativement cinq pages. La Chine me semble clé car sa pratique est de loin la plus sophistiqué, avec sa formalisation de la méthode du pivot, l'ancêtre des matrices et la généralisation à des structures scalaires différentes (des anneaux de congruences). En revanche, comme tu le fais remarquer, elle est loin d'être unique, d'où mon anecdote sur les babyloniens. Comme l'essentiel en algèbre linéaire à cette époque se traduit par des équations linéaires, je partage ton opinion, c'est le meilleur candidat pour recevoir le gros de l'information.

En conclusion, j'imagine une vingtaine de lignes pour indiquer que le savoir sur la question est déjà organisé en corpus chez certains et le gros du bataillon sur équation linéaire. Sur les équations, si tu penses par exemple aux travaux de Omar Khayyam, même si le rapport est évident avec les espaces vectoriel. Cela n'a rien à voir avec l'algèbre linéaire à mon gout. Cette logique te convient-elle ?

La ligne directrice de l'article est la constitution de l'algèbre linéaire à travers de nombreuses pratiques distinctes, comme la géométrie algébrique, l'algèbre pure, le calcul numérique etc... finalement et tardivement uniformisées dans un même corpus dans les années 50 avec les conséquences en terme de généralisation. Comme le montre très bien les historiens, l'histoire des espaces vectoriel n'a pas grand chose à voir avec celle de l'algèbre linéaire avant le XXe siècle. Jean-Luc W 2 décembre 2007 à 13:29 (CET)

Oui, je suis d'accord. Est-ce que tu as déjà une idée nette des titres des différents morceaux (je pourrai assembler au passage les informations que je trouve) ? Amitiés--Cgolds 4 décembre 2007 à 02:28 (CET)