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Transmission et réflexion partielle d'une onde à une interface entre deux milieux. Les coefficients de Fresnel sont des quantités sans dimension qui donnent les fractions réfléchie et transmises de l'amplitude du champ électrique d'une onde électromagnétique à l'interface entre deux milieux de permittivités diélectriques ou perméabilités magnétiques distinctes. Ils sont valables lorsqu'il y a réflexion partielle ; dans le cas du passage d'un milieu d'indice de réfraction faible à un autre d'indice plus élevé, il y a réflexion totale en incidence rasante, au-delà de l'angle de réflexion totale.
Il sont nommés d'après Augustin Jean Fresnel (1788 -1827 ).
Transmission et réflexion d'une onde dans un dioptre : vecteurs d'onde et amplitudes du champ électrique On considère une onde plane se propageant dans un dioptre composé de deux matériaux homogènes et isotropes de permittivités relatives ε 1r et ε 2r , et de perméabilités magnétiques relatives μ 1r et μ 2r . Les ondes incidente et réfléchie ont pour nombre d'onde k 1 et font un angle i 1 avec la normale, l'onde transmise a pour nombre d'onde k 2 et forme un angle i 2 avec la normale. Les amplitudes du champ électrique sont reliées entre elles par les coefficients de Fresnel r et t :
E i pour l'onde incidente ;E r = rE i pour l'onde réfléchie ;E t = tE i pour l'onde transmise.Les coefficients de Fresnel sont des nombres complexes , dont l'argument donne le déphasage au niveau de l'interface.
[ modifier le code ] Transmission et réflexion d'une onde de polarisation électrique transverse : vecteurs d'onde, champs électriques et magnétiques. Pour une onde de polarisation électrique transverse, les équations de continuité sont :
n
×
(
E
i
+
E
r
−
E
t
)
=
0
{\displaystyle \mathbf {n} \times (\mathbf {E} _{\text{i}}+\mathbf {E} _{\text{r}}-\mathbf {E} _{\text{t}})=0}
n
⋅
(
H
i
+
H
r
−
H
t
)
=
0
{\displaystyle \mathbf {n} \cdot (\mathbf {H} _{\text{i}}+\mathbf {H} _{\text{r}}-\mathbf {H} _{\text{t}})=0}
où
E i , E r et E t sont les champs électriques totaux (incident, réfléchi et transmis) ;H i , H r et H t sont les champ magnétiques imposés (incident, réfléchi et transmis) ;n est la normale à l'interface du dioptre.En utilisant H = (1/ωμ) k × E , les équations de continuité deviennent :
1
+
r
s
=
t
s
{\displaystyle 1+r_{\text{s}}=t_{\text{s}}}
(
k
1
/
μ
r1
)
(
1
+
r
s
)
=
(
k
2
/
μ
2r
)
t
s
{\displaystyle (k_{1}/\mu _{\text{r1}})(1+r_{\text{s}})=(k_{2}/\mu _{\text{2r}})t_{\text{s}}}
Il en résulte que :
r
s
=
k
1
−
(
μ
1r
/
μ
2r
)
k
2
k
1
+
(
μ
1r
/
μ
2r
)
k
2
{\displaystyle r_{\text{s}}={\frac {k_{1}-(\mu _{\text{1r}}/\mu _{\text{2r}})k_{2}}{k_{1}+(\mu _{\text{1r}}/\mu _{\text{2r}})k_{2}}}}
t
s
=
2
k
1
k
1
+
(
μ
1r
/
μ
2r
)
k
2
{\displaystyle t_{\text{s}}={\frac {2k_{1}}{k_{1}+(\mu _{\text{1r}}/\mu _{\text{2r}})k_{2}}}}
[ modifier le code ] Transmission et réflexion d'une onde de polarisation magnétique transverse : vecteurs d'onde, champs électriques et magnétiques. Pour une onde de polarisation magnétique transverse, les équations de continuité sont :
n
⋅
(
D
i
+
D
r
−
D
t
)
=
0
{\displaystyle \mathbf {n} \cdot (\mathbf {D} _{\text{i}}+\mathbf {D} _{\text{r}}-\mathbf {D} _{\text{t}})=0}
n
×
(
B
i
+
B
r
−
B
t
)
=
0
{\displaystyle \mathbf {n} \times (\mathbf {B} _{\text{i}}+\mathbf {B} _{\text{r}}-\mathbf {B} _{\text{t}})=0}
où
D i , D r et D t sont les champs électriques imposés (incident, réfléchi et transmis) ;B i , B r et B t sont les champ magnétiques totaux (incident, réfléchi et transmis) ;n est la normale à l'interface du dioptre.En utilisant D = εE et B = (1/ω) k × E , les équations de continuité deviennent :
ϵ
1r
(
1
+
r
p
)
=
ϵ
2r
t
p
{\displaystyle \epsilon _{\text{1r}}(1+r_{\text{p}})=\epsilon _{\text{2r}}t_{\text{p}}}
k
1
(
1
+
r
p
)
=
k
2
t
p
{\displaystyle k_{1}(1+r_{\text{p}})=k_{2}t_{\text{p}}}
Il en résulte que
r
p
=
k
1
−
(
ϵ
1r
/
ϵ
2r
)
k
2
k
1
+
(
ϵ
1r
/
ϵ
2r
)
k
2
{\displaystyle r_{\text{p}}={\frac {k_{1}-(\epsilon _{\text{1r}}/\epsilon _{\text{2r}})k_{2}}{k_{1}+(\epsilon _{\text{1r}}/\epsilon _{\text{2r}})k_{2}}}}
t
p
=
2
k
1
k
1
+
(
ϵ
1r
/
ϵ
2r
)
k
2
{\displaystyle t_{\text{p}}={\frac {2k_{1}}{k_{1}+(\epsilon _{\text{1r}}/\epsilon _{\text{2r}})k_{2}}}}
On élimine la permittivité , l'angle de réfraction et les nombres d'ondes des formules précédentes.
Coefficients de Fresnel pour les deux polarisations de la lumière en fonction de l'angle d'incidence i1 indices de réfraction (n 1 et n 2 ) complexes et de perméabilités magnétiques (μ1 et μ2 ) distinctes.
Transmission
Réflexion
Polarisation s
t
s
=
2
n
1
cos
i
1
n
1
cos
i
1
+
(
μ
1
/
μ
2
)
n
2
2
−
n
1
2
sin
2
i
1
{\displaystyle t_{s}={\frac {2\mathbf {n} _{1}\cos {i_{1}}}{\mathbf {n} _{1}\cos {i_{1}}+(\mu _{1}/\mu _{2}){\sqrt {\mathbf {n} _{2}^{2}-\mathbf {n} _{1}^{2}\sin ^{2}{i_{1}}}}}}}
r
s
=
n
1
cos
i
1
−
(
μ
1
/
μ
2
)
n
2
2
−
n
1
2
sin
2
i
1
n
1
cos
i
1
+
(
μ
1
/
μ
2
)
n
2
2
−
n
1
2
sin
2
i
1
{\displaystyle r_{s}={\frac {\mathbf {n} _{1}\cos {i_{1}}-(\mu _{1}/\mu _{2}){\sqrt {\mathbf {n} _{2}^{2}-\mathbf {n} _{1}^{2}\sin ^{2}{i_{1}}}}}{\mathbf {n} _{1}\cos {i_{1}}+(\mu _{1}/\mu _{2}){\sqrt {\mathbf {n} _{2}^{2}-\mathbf {n} _{1}^{2}\sin ^{2}{i_{1}}}}}}}
Polarisation p
t
p
=
2
n
1
n
2
cos
i
1
n
2
2
(
μ
1
/
μ
2
)
cos
i
1
+
n
1
n
2
2
−
n
1
2
sin
2
i
1
{\displaystyle t_{p}={\frac {2\mathbf {n} _{1}\mathbf {n} _{2}\cos {i_{1}}}{\mathbf {n} _{2}^{2}(\mu _{1}/\mu _{2})\cos {i_{1}}+\mathbf {n} _{1}{\sqrt {\mathbf {n} _{2}^{2}-\mathbf {n} _{1}^{2}\sin ^{2}{i_{1}}}}}}}
r
p
=
n
2
2
(
μ
1
/
μ
2
)
cos
i
1
−
n
1
n
2
2
−
n
1
2
sin
2
i
1
n
2
2
(
μ
1
/
μ
2
)
cos
i
1
+
n
1
n
2
2
−
n
1
2
sin
2
i
1
{\displaystyle r_{p}={\frac {\mathbf {n} _{2}^{2}(\mu _{1}/\mu _{2})\cos {i_{1}}-\mathbf {n} _{1}{\sqrt {\mathbf {n} _{2}^{2}-\mathbf {n} _{1}^{2}\sin ^{2}{i_{1}}}}}{\mathbf {n} _{2}^{2}(\mu _{1}/\mu _{2})\cos {i_{1}}+\mathbf {n} _{1}{\sqrt {\mathbf {n} _{2}^{2}-\mathbf {n} _{1}^{2}\sin ^{2}{i_{1}}}}}}}
[ modifier le code ]
Coefficients de Fresnel pour les deux polarisations de la lumière en fonction de l'angle d'incidence i 1 et de celui de réfraction i 2 . Cas de matériaux de perméabilité magnétique égale et d'indices de réfraction complexes (n 1 et n 2 .
Transmission
Réflexion
Polarisation s
t
s
=
2
n
1
cos
i
1
n
1
cos
i
1
+
n
2
cos
i
2
{\displaystyle t_{s}={\frac {2\mathbf {n} _{1}\cos {i_{1}}}{\mathbf {n} _{1}\cos {i_{1}}+\mathbf {n} _{2}\cos {i_{2}}}}}
r
s
=
n
1
cos
i
1
−
n
2
cos
i
2
n
1
cos
i
1
+
n
2
cos
i
2
{\displaystyle r_{s}={\frac {\mathbf {n} _{1}\cos {i_{1}}-\mathbf {n} _{2}\cos {i_{2}}}{\mathbf {n} _{1}\cos {i_{1}}+\mathbf {n} _{2}\cos {i_{2}}}}}
Polarisation p
t
p
=
2
n
1
cos
i
1
n
2
cos
i
1
+
n
1
cos
i
2
{\displaystyle t_{p}={\frac {2\mathbf {n} _{1}\cos {i_{1}}}{\mathbf {n} _{2}\cos {i_{1}}+\mathbf {n} _{1}\cos {i_{2}}}}}
r
p
=
n
2
cos
i
1
−
n
1
cos
i
2
n
2
cos
i
1
+
n
1
cos
i
2
{\displaystyle r_{p}={\frac {\mathbf {n} _{2}\cos {i_{1}}-\mathbf {n} _{1}\cos {i_{2}}}{\mathbf {n} _{2}\cos {i_{1}}+\mathbf {n} _{1}\cos {i_{2}}}}}
Coefficients de Fresnel pour une réflexion externe : indice du milieu incident n 1 = 1 (air) et indice du milieu de transmission n 2 = 1,5 (verre ordinaire). Coefficients de Fresnel pour une réflexion interne : indice du milieu incident n 1 = 1,5 (verre) et indice du milieu de transmission n 2 = 1 (air).
Coefficients de Fresnel pour les deux polarisations de la lumière en fonction de l'angle d'incidence i1 et de celui de réfraction 2 . Cas de diélectriques .
Transmission
Réflexion
Polarisation s
t
s
=
2
sin
i
2
cos
i
1
sin
(
i
1
+
i
2
)
{\displaystyle t_{s}={\frac {2\sin {i_{2}}\cos {i_{1}}}{\sin {(i_{1}+i_{2})}}}}
r
s
=
sin
(
i
2
−
i
1
)
sin
(
i
2
+
i
1
)
{\displaystyle r_{s}={\frac {\sin {(i_{2}-i_{1})}}{\sin {(i_{2}+i_{1})}}}}
Polarisation p
t
p
=
2
sin
i
2
cos
i
1
sin
(
i
1
+
i
2
)
cos
(
i
1
−
i
2
)
{\displaystyle t_{p}={\frac {2\sin {i_{2}}\cos {i_{1}}}{\sin {(i_{1}+i_{2})}\cos {(i_{1}-i_{2})}}}}
r
p
=
tan
(
i
2
−
i
1
)
tan
(
i
1
+
i
2
)
{\displaystyle r_{p}={\frac {\tan {(i_{2}-i_{1})}}{\tan {(i_{1}+i_{2})}}}}
Coefficients de transmission et de réflexion en fonction des coefficients de Fresnel, de l'angle d'incidence i 1 et de réfraction i 2 .
Transmission
Réflexion
Polarisation s
T
i
=
tan
i
1
tan
i
2
t
i
2
{\displaystyle T_{i}={\frac {\tan {i_{1}}}{\tan {i_{2}}}}t_{i}^{2}}
R
i
=
r
i
2
{\displaystyle R_{i}=r_{i}^{2}}
Polarisation p
Catégorie: Électromagnétisme
Catégorie: Grandeur sans dimension
