Discussion:Treillis (ensemble ordonné)

2004 à 2007

Visiblement, d'après Structure algébrique, un treillis admet une définition en termes de structure algébrique (en considérant les opérations borne supérieure et borne inférieure comme des lois internes).

Ce serait intéressant que quelqu'un qui connaisse bien cette caractérisation d'un treillis développe ce point de vue dans l'article Treillis (ensemble ordonné).

Autre remarque : est-il utile de définir un treillis par un quadruplet (E, ⋁, ∧, ≤), alors que ≤ se déduit de ⋁ et ∧ (obtenir l'ordre à partir de la structure algébrique) et réciproquement (on déduit la structure algébrique de l'ordre) ?

--Ąļḋøø 27 nov 2004

Est il pertinent que les exemples soient placés avant les cas particuliers ? Ces derniers indiquent ce qu'est un treillis complet, donc implicitement ce que signifie incomplet, utilisé plus haut dans les exemples.

Une algèbre qui est un treillis distributif borné et avec complement est une algèbre de Boole. Il serait peut être intéressant de définir ces termes (borné, avec complément) et de lier l'information avec l'algèbre de Boole ?

Blustuff 31 mars 2007

idempotence ne suffit pas

Dans la définition algébrique, l'article dit :

Un treillis est un ensemble E muni de deux lois internes habituellement notées $\vee$ et $\wedge$ vérifiant :

• les deux lois sont commutatives et associatives
• pour tout a de E, $a\vee a=a$ et $a\wedge a=a$ (idempotence)
• pour tout a et b de E: $a\wedge (a\vee b)=a$ et $a\vee (a\wedge b)=a$ (absorption)

Pour démontrer que E est un treillis en tant qu'ensemble ordonné, il faut définir une relation d'ordre généralement notée $\subseteq$ de la manière suivante :

$a\subseteq b\Leftrightarrow a\vee b=b$

(...)

Grâce à l'idempotence, on peut aussi montrer que : $a\subseteq b\Leftrightarrow a\wedge b=a$

Or, je ne vois pas comment l'idempotence pourrait suffire à montrer cette thèse. Il faut aussi l'absorption. (Et peut-être d'autres ?) Sans l'absorption, on pourrait avoir $\wedge =\vee$, par exemple, ce qui respecte les hypothèses sans satisfaire la thèse.

Je ne prends pas la liberté de changer au cas où je me tromperais. Que le premier qui me donne raison le fasse !--OlivierMiR (d) 22 mai 2008 à 18:49 (CEST)

J'avais mal compris ta question d'abord, mais tu as raison : la démonstration de la seconde équivalence utilise aussi l'absorption. J'imagine que le rédacteur voulait dire que l'hypothèse d'idempotence était importante pour cela, mais la formulation est ambiguë. Il vaudrait mieux dire « avec ces seules hypothèses, on peut aussi montrer… » Ambigraphe, le 22 mai 2008 à 21:27

C'est seulement les deux lois d'absorption (un lapsus du rédacteur plutôt, je dirais). Proz (d) 22 mai 2008 à 22:47

Complétude

Dans la fin du 5^e et dernier exemple, pourquoi, dans L¹, [f,g] est-il un treillis complet ? (je sais bien que c'est un espace métrique complet, mais y a-t-il un rapport ?) Anne 30 mai 2010

Voir https://math.stackexchange.com/questions/2262384/does-the-essential-supremum-esssupf-omega-omega-in-omega-of-a-collec. Anne, 21/1/2018

Définition formelle , exemple et accessibilité

Il me semble que dans le mesure du possible, il vaut mieux donner les exemples (souvent plus accessibles) avant les définitions formelles (pour spécialistes) .Dans cet article, la définition donnée en introduction suffisait à donner un sens aux exemples. Une personne peu douée en mathématiques va s'arrêter à la définition algébrique des treillis (très abstraite) sans se rendre compte que la notion est en réalité assez simple. Les exemples, placés en tête, lui auraient permis d'en comprendre le principe. Je suis donc très favorable au retour des exemples avant la définition algébrique. HB (d) 26 juin 2012 à 19:18 (CEST)

(pas de réponse) Je remets donc les exemples les plus simples en introduction et répartis les autres dans le glossaire. HB (d) 2 juillet 2012

Demi-treillis et treillis modulaire ?

Bonjour, est-il utile d'ajouter une définition de "demi-treillis" ? Je crois me souvenir que dans le livre des Dubreil, on en parle. On pourrait aussi ajouter la notion de "treillis modulaire" ? Bonne fin de journée. -- ManiacParisien (discuter) 9 juin 2014

Exemples, notations etc.

La version actuelle ne peut être conservée,

• le discours sur les notations (noté généralement) est faux : on a longtemps noté l'inclusion large par ⊂ et ça se lit encore dans de nombreux livres. L'autre notation utilisée pour l'inclusion, qui n'est pas un ordre total, est ⊆. La notation < est utilisée habituellement pour l'ordre strict associé à l'ordre ≤, c'est pour le moins peu courant comme notation pour un ordre partiel. Il existe d'autres notations par ailleurs ≼ et ≺
• un ordre (sous-entendu large) est réflexif (total ou non, aucune raison de le préciser dans ce cas), un ordre strict ("ordre strict" ne désigne pas un ordre qui est strict, c'est une autre axiomatisation) ne l'est pas mais lui est associé trivialement un ordre large. Les avertissements sur les ordres stricts sont dénués de sens et propres à engendrer la confusion.
• Le commentaire sur le diagramme de Hasse est assez incompréhensible, mais manifestement la convention de représentation n'est pas comprise, mais confondue avec celle d'un graphe de relation (faudrait-il d'ailleurs être plus explicite ?)
• le terme majorant d'un ensemble signifie élément supérieur ou égal à chaque élément de l'ensemble , il n'y a pas à préciser commun.
• Le but d'exemples en début d'article et d'introduire, il faut rester simple.

Pour ces raisons, je reviens à une version saine, celle du 27 janvier 2016, même si celle du 6 mars 2016 à 11:01 serait acceptable, et qu'il est possible de faire évoluer en indiquant les problèmes à résoudre ici, et en réfléchissant aux bonnes façons de le faire, des erreurs de lecture peuvent souvent révéler des défauts de l'article, mais là le résultat est bien pire que le point de départ. Proz (discuter) 6 mars 2016 à 18:18

Terminologie

J'approuve les remarques de Proz, Mais un point à corriger, peut-être, est qu'en français les ordres sont partiels par défaut, et qu'on précise ordre total si c'est le cas. C'est le contraire dans les pays anglo-saxons, mais je ne vois pas de raison de s'y plier. S'il faut vraiment écrire partiel, autant le mettre entre parenthèses. JC.Raoult (discuter) 4 février 2024 à 10:20 (CET)

Stabilité par borne inférieure et supérieure

Il est dit dans cet article que si F est un sous ensemble d'un treillis stable par borne inférieure et supérieure (j'entends par là qu'il possède une borne sup et une borne inf et qu'elles lui appartiennent) il est lui même un treillis. Or considérons le sous ensemble F du treillis P(N) défini par: X appartient à F si et seulement si X=Ø ou X={1} ou X={2} ou X est une partie de N qui contient 1 et ,2 et au moins un troisième élément. F a une borne inférieure Ø et une supérieure N, elles lui appartiennent. Pourtant la paire {{a},{b}} n'a pas de borne supérieure (toutes les parties de la forme {1,2,k} avec k>2 la majore mais aucune n'est plus petite que toutes les autres... Me tromperai-je ? NB: si quelqu'un répond à mes soucis, comment trouverai-je sa réponse ? — Le message qui précède, non signé, a été déposé par 2A01:CB0C:1010:9800:C075:955E:3210:E0B4 (discuter), le 5 mars 2024 à 16:11

Il s'agit des bornes inférieures et supérieures de 2 éléments, comme à la définition juste au dessus. Proz (discuter) 6 mars 2024 à 14:19 (CET)