Discussion:Théorèmes de Sylow

Théorème: Soit G un groupe fini. N un sous groupe normal de G, alors tout p-sous groupe de G/N s'écrit sous la forme NS/N où S est un p-sous groupe de sylow de G.

Demande de réécriture

J'ai essayé de lire la preuve du (ou des) théorème de Sylow et je n'arrive pas à la suivre. Je connais bien cette preuve et je ne retrouve pourtant pas mes petits. Je me demandais si l'on ne pouvait pas la réécrire en organisant le contenu (car actuellement on ne voit qu'une suite de points et l'on ne sait pas quelle parti est montrée où), simplifiant les notations etc. Car actuellement cela ressemble à un fourbi. Je me propose bien sûr de le faire mais voulais votre avis avant. Noky (d) 2 mars 2009 à 13:43 (CET)

L'avis immédiat de quelqu'un qui compte bien te laisser faire (et qui n'a même pas jeté un oeil sur la version actuellement dans l'article avant de se précipiter ici) c'est qu'il existe plusieurs preuves qui ne sont pas de simples variantes les unes des autres, qui fonctionnent assez différemment. Idéalement, nous n'avons pas à en sélectionner une mais à donner au moins un aperçu de toutes (neutralité de point de vue !). Cela écrit, je te laisse faire, bon courage. Touriste (d) 2 mars 2009 à 13:49 (CET)

J'ai inséré une autre démonstration du premier théorème. Il faudrait donc en effet clarifier un peu la première démonstration proposée et en rajouter d'autres. Cela dit, si on décide comme le propose Touriste de donner toutes les démonstrations possibles pour tout ce qui se dit en Mathématiques, on risque d'avoir du travail, mais ça peut valoir la peine. --Xibalba (d) 18 avril 2009 à 14:23 (CEST)

Je connais cette autre démonstration, mais je trouve que dans l'article elle n'est pas compréhensible telle quelle : la définition de T n'est pas claire, et surtout la fin dernière phrase n'est pas justifiée. Il faudrait soit l'améliorer, soit la supprimer au profit d'un lien vers la même en mieux sur Wikiversité. Je penche pour la 2ème option. Anne Bauval (d) 9 novembre 2010 à 19:12 (CET)

Sur Wikipedia la plupart des théorèmes ont leur démonstration sur leur propre page. Donc si la version actuelle ne vous plait pas, améliorons-là (donnez moi juste le temps de la retravailler car ça fait longtemps que je ne l'ai pas vue) ; mais quel besoin de la suprimer ? De plus la démonstration sur Wikiversité n'est pas si proche que ça puisuq'elle n'utilise pas tout à fait les mêmes objets et ne se fait pas d'un seul tenant. --Xibalba (d) 11 novembre 2010 à 07:52 (CET)

Je me suis permis de supprimer ton ajout d'avril 2009 parce qu'il n'avait pas évolué depuis : j'en avais conclu que tu t'étais arrêté en cours de route, et je n'avais pas jugé utile de le compléter pour le rendre compréhensible : à quoi bon doublonner une page de Wikiversité ? c'est la place naturelle pour ce genre de démonstration. Est-ce qu'avec ma mise en forme d'aujourd'hui ça te semble plus acceptable ? Anne Bauval (d) 11 novembre 2010 à 11:58 (CET)

Bon j'ai corrigé la partie où j'introduit T, il y avait effectivement une erreur; la dernière partie quant à elle fait appel au lemme dont parle la page sur Wikiversité. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par Xibalba (discuter), le 11 novembre 2010 à 12:09

Je ne suis d'accord avec ça ni sur la forme (revert sans préavis), ni sur le fond (nette régression). Anne Bauval (d) 11 novembre 2010 à 13:25 (CET)

Qu'est-ce qui ne va pas dans cette nouvelle forme ? La nature de T a été éclaircie et il manque juste le lemme assurant que G est un ssgp de Gln. Si vous voulez absolument voir cette démonstration disparaître de Wikipedia faites comme bon vous semble je ne changerai plus rien mais bon cela me semble un peu obstiné.--Xibalba (d) 11 novembre 2010 à 13:54 (CET)

Si je m'obstine autant que toi, (voire plus, mais en expliquant), c'est parce que, je maintiens, c'est incompréhensible tel quel. Ce n'est pas une démonstration, car le coeur de la preuve est absent. L'essentiel n'est pas le fait (facile lui aussi) "que G est un ssgp de Gln", mais est le lemme démontré sur Wikiversité. Mises en forme méticuleuses et sourçage (que tu as détruits) sont plus conformes à l'esprit de Wikipédia que rédaction d'une démonstration, même une vraie. Anne Bauval (d) 11 novembre 2010 à 14:56 (CET)

Théorème des treillis ?

L'article dit : "D'après le théorème des treillis, il existe un unique sous-groupe K de G tel que K/H = L;"

Sur une page de Google, on peut lire : « Je n'avais jamais entendu appeler ce résultat "théorème des treillis" » et « j'ai trouvé cette utilisation de ce fameux "théorème des treillis" dans le livre de Jean-Pierre Serre: représentation linéaire des groupes finis, chez hermann. ».

Signalé à toutes fins utiles... Google ne donne rien d'autre pour "théorème des treillis". Je n'ai pas le livre de Serre, donc je ne peux pas vérifier.
Marvoir (d) 22 mars 2009 à 12:14 (CET)

Cf en:Lattice theorem Anne Bauval (d) 9 novembre 2010 à 19:15 (CET)

Je pense qu'en français, on dit "Théorème de correspondance" (qui, à vrai dire, ne semble pas très fréquent non plus). Marvoir (d) 30 novembre 2010 à 18:37 (CET)

Définition(s) d'un p-Sylow et formulation(s) du théorème 1

(Je colle ici des refs, à la fois pour en discuter et pour les coller ensuite dans l'article.)

Soit G un groupe d'ordre pⁿs où p ne divise pas s.

• Cet article-ci a pris le parti (historique) d'appeler p-Sylow les p-sous-groupes-maximaux. Mais dans ce cas leur existence est triviale, et le théorème 1 devrait plutôt s'énoncer (comme Sylow le faisait, sauf qu'évidemment il ne les appelait pas comme ça) : tout p-Sylow est d'ordre pⁿ.
  • M. L. Sylow, Théorème sur les groupes de substitutions, Mathematische Annalen, Vol. V (1872), p. 584-594

• Mes autres sources sur internet appellent p-Sylow les sous-groupes d'ordre pⁿ (ce qui implique évidemment que ce sont des p-sous-groupes-maximaux). Elles énoncent alors le théorème 1 sous la forme : il existe au moins un p-Sylow.
  • Bourbaki Algèbre Partie 1 Springer 2006 (ISBN 9783540338499) p. A.I.74 § 6 déf 10
  • Serre, Groupes finis (Cours à l'ENSJF 1978/79),
  • Szpirglas, Algèbre L3, def 6.115,
  • Wikiversité, Théorèmes de Sylow

Les 2 combinaisons sont presque équivalentes (la 1ère est un peu plus forte), mais il ne faut surtout pas les mélanger. A mon avis on est obligés d'expliciter clairement les 2 dans l'article, et de fixer une fois pour toute laquelle on prend.

Anne Bauval (d) 11 novembre 2010 à 22:48 (CET)

Rotman, 4^e éd. tirage de 1999, p. 78, consultable sur Google Livres, prend pour définition "maximal p-subgroup".

Mais je ne dis pas cela pour prôner une définition plutôt qu'une autre, je préfère ne pas m'attaquer à cette question épineuse. Je veux seulement proposer à Anne de mettre dans l'article le lien vers l'article original de Sylow. Marvoir (d) 12 novembre 2010 à 14:21 (CET)

Sylow dans les groupes infinis

Marvoir m'a fourni le superbe article de A. P. Dietzmann, A. Kurosch, A. I. Uzkow, “Sylowsche Untergruppen von unendlichen Gruppen”, Rec. Math. [Mat. Sbornik] N.S., 3(45):1 (1938), 179–185. Eux raisonnent sur des en:double cosets, mais voici une adaptation qui permettrait de modifier le moins possible la preuve des théorèmes 2 et 3, et surtout, qu'elle reste lisible en pensant seulement au cas G fini. Je pense que c'était l'intention de cette contribution sur la page anglaise traduite en 2003 pour créer la nôtre, qui était dans cet état le 9 novembre dernier.

Soient K un p-Sylow de G dont le nombre de conjugués est n_K (fini) et H un p-Sylow quelconque de G. Alors la classe de conjugaison Cl(K), orbite de K pour l'action du groupe G, est naturellement partitionnée en sous-orbites pour l'action (restreinte) du groupe H. Ainsi n_K = ∑_i |Cl_H(L_i)|, où l'on a choisi un élément L_i dans chaque sous-orbite.

Or le cardinal [H:N_H(L)] de toute sous-orbite d'un élément L de Cl(K) :

- est une puissance de p, comme indice (fini) d'un sous-groupe du p-groupe H ;

- est égal à 1 (si et) seulement si H=L. En effet, si 1 = [H:N_H(L)] = [H:H∩N(L)] alors H est inclus dans N(L), si bien que HL est un groupe dans lequel L est normal. De plus, d'après le deuxième théorème d'isomorphisme, le groupe quotient de HL par L est isomorphe au groupe H/(H∩L), donc c'est un p-groupe. Comme L est également un p-groupe, il en va de même pour HL. Par maximalité de H et L on en déduit : H = HL = L.

• En appliquant ce qui précède au cas particulier H=K on en déduit que n_K est une somme de puissances de p dont exactement une vaut 1, donc que n_K est congru à 1 modulo p.
• En particulier, n_K n'est pas divisible par p. Donc en appliquant ensuite ce qui précède à un p-Sylow H quelconque, on en déduit qu'il existe au moins un L dans Cl(K) tel que H=L, autrement dit : que H est un conjugué de K. Par conséquent, le nombre n_p de p-Sylow de G est exactement n_K.
• L'autre fait concernant n_p (si G fini) suit presque immédiatement : puisque n_p=n_K est congru à 1 modulo p, il est premier avec pⁿ. Or par ailleurs n_K = [G : N(K)] divise |G| = pⁿs. On en déduit qu'il divise s.

Anne Bauval (d) 26 novembre 2010 à 14:26 (CET)

J'essaierai de lire l'article de Dietzmann, Kurosch et A. I. Uzkow demain et je regarderai aussi la façon dont tu le rerédiges en évitant les classes doubles. Mais ça ne veut pas dire que je te demande d'attendre mon blanc-seing... Marvoir (d) 26 novembre 2010 à 19:12 (CET)

La démonstration que tu donnes ci-dessus me semble tout à fait correcte. On lit essentiellement la même dans W.R. Scott, Group Theory, 1964, rééd. Dover 1987, théor. 6.1.10, p. 133. (Par parenthèse, ce livre de Scott me semble excellent. Il va beaucoup plus loin que Calais et, contrairement à Rotman, n'est pas entaché de nombreuses petites négligences.)

Un détail : tu emploies la notation N_H(L) alors que L n'est pas forcément contenu dans H. Est-ce standard ? Scott écrit $H\cap N(L)$, où N(L) désigne $N_{G}(L)$. Il est possible qu'on rencontre ta notation, mais il me semble que si on veut l'employer, il est préférable de la définir "localement".

Serais-tu d'avis de démontrer dans l'article le théorème ci-dessus pour les groupes non forcément finis, le théorème relatif aux groupes finis s'en déduisant comme cas particulier ? C'est ce que fait Scott, donc pourquoi pas ? Marvoir (d) 27 novembre 2010 à 08:59 (CET)

Déjà ! j'avais peur que tu passes beaucoup de temps, comme moi, à éplucher Dietzman & al, puis que tu trouves que je m'en écartais trop, parce que quand j'avais écrit vouloir "modifier le moins possible la preuve des théorèmes 2 et 3", j'avais oublié de préciser "de WP". Je viens de trouver ma notation $N_{H}(A)$ dans Kurtzweil et Stellmacher p. 59 (pour A une partie -non vide, tiens, pourquoi ?- de G, et H un sous-groupe), mais je n'y tiens pas mordicus. Mon idée était, a priori, de garder le plan actuel (preuve dans le cas fini puis mentionner que certains points marchent encore dans le cas infini), donc de mieux présenter la preuve dans le cas fini pour qu'en la relisant si on veut on comprenne facilement le cas infini. Ça demande des efforts de présentation mais ça me semble plus pédago : tous les petits lemmes sur les p-groupes qu'on utilise en cours de route sont, dans le cas fini, immédiats. Bon, je prévois ta réponse - toujours très polie et conciliante - alors pour pas "perdre" (?) notre temps à se faire des politesses en PdD, je vais préciser directement dans l'article mon intention, qu'on pourra toujours modifier. Tant mieux si Scott fait comme ça ! j'"achète" ta ref Anne Bauval (d) 27 novembre 2010 à 10:53 (CET)

Je crois que tu as raison sur tout. Kurzweil et Stellmacher emploient en effet la notation en question (je ne m'en souvenais pas, bien que j'aie lu le chapitre). Le tout est qu'elle soit définie quelque part. Marvoir (d) 27 novembre 2010 à 11:06 (CET)

Toujours Sylow dans les groupes infinis

Juste un commentaire d'un béotien.

J'ai eu un peu de mal à comprendre la preuve des théorèmes 2 et 3 mais au final j'y suis parvenu ;-)

D'après ce que j'ai compris, on démontre que n_H est congru à 1(p) (en faisant K=H) et de façon totalement symétrique que n_K est congru à 1(p). Puis on revient au cas général où K et H sont dissociés pour dire qu'un des termes de la somme vaut 1.

Je trouve un peu cavalier de dire que c'est à "peu près" pareil ("une grande partie des arguments...") dans le cas infini, car on s'est servi dans la démo, non pas qu'un seul p-Sylow K devait vérifier n_K fini mais que K et H devaient vérifier cette condition (donc n'importe quel p-Sylow, ce qui est loin d'être un détail).

Mon interprétation est-elle correcte ?

--Fabrej0 (discuter) 16 octobre 2016 à 23:38

Non. On démontre que si n_K est fini alors il est congru à 1(p) (en faisant agir K sur l'ensemble de ses conjugués) puis, du fait que n_K n'est pas divisible par p, on déduit que tout p-Sylow H est un conjugué de K (de façon non symétrique : en faisant agir H sur l'ensemble des conjugués de K), si bien que n_H est fini car égal à n_K. Anne, 17/10/16

Ok, c'est bon pour moi maintenant. Merci d'avoir pris le temps de me répondre, c'est très sympa. Peut-être y-a-t-il moyen de clarifier encore davantage au niveau du français, j'essaierai de proposer qqch, histoire de payer ma dette ! Fabrej0 (discuter) 17 octobre 2016 à 09:20 (CEST)

Bon, j'ai dit que je me mouillerai un peu alors... Pour un béotien, le passage du "naturellement partitionné" n'est pas si évident (du fait que H n'est pas forcément normal) donc j'aurais précisé au début qqch du style : on partitionne G selon les classes à droite de H (g = h.l). Dans ces conditions, un conjugué de K par g s'écrit h.(lKl^{-1}).h.

Pour ce qui est du passage que je n'avais pas compris, on pourrait numéroter l'équation de base : n_k = \sum_i |Cl_H(L_i)| (1)

Les deux points deviendraient alors :

1) En remplaçant H par K lui-même dans (1), on en déduit que n_K est une somme de puissances de p dont exactement une vaut 1, donc que nK est congru à 1 modulo p.

2) En reprenant la forme générale de (1) où H peut-être distinct de K, le fait que nK soit congru à 1 modulo p implique qu'il existe au moins un L dans Cl(K) tel que H = L, autrement dit que H est un conjugué de K.

Un p-Sylow quelconque est donc un conjugué de K et l'inverse est également vrai de façon évidente. Le nombre de classes de conjugaison de K est donc égal au nombre de p-Sylow. Fabrej0 (discuter) 17 octobre 2016 à 19:49 (CEST)