Discussion:Produit scalaire

Produit scalaire ou hermitien?

y'a pb: C'est déf. à val. ds R mais conjug. complexe plus loin.

• scalaire => e.v. réel.
• hermitien => e.v. complexe. MFH 27 mai 2005 à 23:48 (CEST)

Effectivement, le produit scalaire ne peut être défini que sur un espace vectoriel réel, ce qu'il faudrait préciser, et distinguer le produit hermitien.

On peut ajouter qu'un tel espace est alors appelé espace préhilbertien, et lorsqu'il est de dimension finie espace euclidien.

Tout cela nécessite malheureusement un remaniement assez important de l'article à mon sens et la création d'un nouveau pour le produit hermitien.

Ce n'est pas si simple car dans de nombreux ouvrages le produit hermitien est appelé produit scalaire (petit encyclopédie mathématiques, Didier - Dictionnaire des mathématiques moderne, Chambadal - épreuce du concours commun polytechnique 2005, ...HB 18 mai 2006 à 15:43 (CEST)

De quelle opération s'agit-il ?

"En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique supplémentaire définie dans un espace vectoriel." Bien, ça ne dit pas ce qu'est le PV, ni encore de quelle opération il s'agit.

"Elle permet de retrouver les notions de la géométrie euclidienne traditionnelle : longueurs, angles, ==orthogonalité en dimension deux et trois, mais aussi de les étendre à des espaces vectoriels réels de toute dimension, et parfois aux espaces vectoriels complexes." Bon. ça met l'eau à la bouche. Tout ça à la fois ? mais comment ?

"C'est ainsi qu'une fois qu'on aura muni un espace de polynômes d'un produit scalaire, on pourra parler de distance ou d'angle entre deux polynômes." Je veux bien munir une espace de ce qu'on veut, mais si on me demande de le munir d'un polynome de quelquechose dont j'ignore encore la nature, je ne vais pas aller loin.

"Toutefois, un même espace vectoriel peut être muni d'une multitude de produits scalaires distincts qui aboutiront à des résultats non équivalents d'angles, distances, orthogonalité. Le choix du produit scalaire adapté à un problème, notamment d'analyse fonctionnelle peut être la clef de sa résolution." Oui mais, encore... je veux simplement savoir ce qu'est un produit scalaire (le concept, donc exprimé en français si la notion est bien comprise, ce doit être possible).

"Pour le produit scalaire en géométrie élémentaire voir l'article Géométrie vectorielle" sans commentaire ! (15 avril 2006)

Vous avez raison de faire ce commentaire. La nouvelle version devrait vous convenir davantage. HB 18 mai 2006 à 15:43 (CEST)

Suppression d'information

Un sujet de discussion a lieu sur la page discuter:Espace_euclidien au sujet du contenu des articles géométrie euclidienne, espace euclidien, et produit scalaire. Mon opinion est que la page produit scalaire n'a pas à donner les propriétés uniquement valables pour la dimension finie (espacle euclidien espace hermitien). J'ai déjà déplacé ces propriétés dans espace euclidien et je souhaite les supprimer dans cet article. Qu'en pensez-vous. HB 23 mai 2006 à 13:59 (CEST)

oui, mais il faut tenir compte du lecteur : pour nous l'architecture générale est claire, mais le lecteur lambda arrivant sur cette page a des chances de chercher en priorité des infos sur le produit scalaire dans le plan usuel. Il faut mettre des liens en conséquence dans les intros pour le guider à la bonne adresse. Peps 23 mai 2006 à 14:36 (CEST)

Il ne s'agit pas de faire disparaitre les infos sur le produit scalaire dans le plan usuel (je viens de les mettre ce n'est pas pour les supprimer !) mais de faire disparaitre le paragraphe sur la dualité dont les informations ont migré dans espace euclidien. HB 27 mai 2006 à 14:35 (CEST)

Suppression

dans l'historique j'ai supprimé une phrase sur Peano qui se réfère apparemment au produit vectoriel

Il me semble que tu as eu tort : dans ce site par exemple, on montre comment Peano définit le produit scalaire de U et V comme le produit vectoriel d'un vecteur U avec le vecteur image du vecteur V par rotation d'angle pi/2. HB 19 juin 2007 à 13:04 (CEST)

Refonte de l'article

Elle est motivée par trois raisons :

• La logique. Le choix de définir le produit scalaire à l'aide de la géométrie du triangle et non pas par une forme bilinéaire comporte des conséquences. Les propriétés algébriques découlent des théorèmes comme Pythagore ou Al-Kashi. Démontrer Al-Kashi avec les propriétés algébriques devient illogique, car ces dites propriétés se démontrent avec des raisonnement qui nécessitent une démonstrations analogues au résultat que l'on souhaite démontrer. On utilie alors le résultat du théorème pour le démontrer. Il en est de même avec l'expression du produit scalaire en terme de coordonnées. Dans ce contexte, ce n'est plus une définition mais le résultat d'une démonstration.
• Eviter les redites. Le produit scalaire est un vaste sujet traité dans de multiple articles comme espace euclidien, espace hermitien, espace préhilbertien ou encore espace de Hilbert. L'objectif est d'éviter les redites et de terminer un article là ou un autre prend le relai.
• La cohérence. Enfin, l'objectif est un traitement cohérent dans le sujet traité et dans le niveau nécessaire à sa compréhension. Si, dans le cas général, cet objectif est bien difficile à atteindre, dans le cas particulier du produit scalaire, il existe tellement de choses à dire, qu'il est impossible de tout traiter rigoureusement dans un unique article (à moins d'écrire un monstre de plusieurs dizaines de pages). Comme il existe de multiple articles traitant sous des angles différents le même sujet, autant en profiter. Jean-Luc W (d) 13 décembre 2007 à 10:42 (CET)

Le serpent se mord-t-il la queue ?

Je suis d'accord, mais il y a un petit problème: la norme d'un vecteur est définie à partir du produit scalaire, alors que le produit scalaire est défini à partir de la longueur des vecteurs, donc d'une norme. :-) Ylebru (d) 26 décembre 2007 à 10:12 (CET)

L'article manque en effet de clarté. L'espace affine est supposé disposer d'une distance et d'un groupe de rotations. Le produit scalaire est définie à partir de la distance et du groupe de rotations sur l'espace affine, et la norme à partir du produit scalaire. Le produit scalaire n'est donc pas défini à partir d'une norme. Il est en effet nécessaire de le préciser. Jean-Luc W (d) 31 décembre 2007 à 09:33 (CET)

Aujourd'hui où en est-on?, l'article est-il encore à réorganiser~, et selon quelles orientations prioritaires?Michelbailly (d) 28 janvier 2008 à 13:51 (CET)

Le produit scalaire est défini de manière purement géométrique dans un premier temps et le serpent ne se mord pas la queue. Il manque encore une introduction à l'utilisation du terme produit scalaire dans un Banach. Dans l'ensemble, je pense qu'il s'approche d'un premier point stable. A moins qu'un spécialiste de la géométrie affine ne remarque d'autres améliorations ... Jean-Luc W (d) 28 janvier 2008 à 14:37 (CET)

Une analyse critique

J'étais plutôt favorable à l'ancienne mouture [1] et je sais, pour l' avoir pratiqué, que l'on ne créé pas de cercle vicieux en retrouvant Al-Kashi à l'aide du produit scalaire, les propriétés algébriques découlant des propriétés du projeté orthogonal. D'autre part, l'écriture dans toute base orthonormé découle de l'écriture 2AB.AC=AB²+AC²-BC² indépendemment d'autres considérations. Enfin, j'étais en wikibreak quand ceci a été fait donc je n'ai rien à dire....Mais, j'avais promis à Jean-Luc de préciser mon opinion quant à cette nouvelle mouture.

L'objectif en est précisé dans l'introduction mais échappe en première lecture : construire une définition géométrique du produit scalaire.

Espace de travail

L'objectif est donc de se placer dans un espace euclidien dans le sens élémentaire: ensemble de points, plan ou espace muni d'une distance, dans lequel on sait mesurer des angles et calculer un cosinus. géométrie du plan et de l'espace classique. Cette précision est à mon avis à mettre en évidence en introduction dans Définition et première propriété et doit remplacer la phrase trop imprécise "Le produit scalaire est défini sur les vecteurs d'un espace affine"

Orientation et rotation

il me semble que l'on peut définir les angles géométriques sans avoir besoin de définir les rotations (angle orientés) donc les considération sur l'orientation de l'espace est inutile: l'angle géométrique est toujours compris entre 0 et pi. Je sais que cette notion d'angle est une faille du système d'Euclide mais je ne coris pas que cet article soit le lieu pour évoquer le pb : on part de l'a-priori intuitif : "on sait mesurer des angles" et on sait aussi calculer le cosinus d'un angle aigu (triangle rectangle) et obtus

Doit-on déborder sur la norme ?

Etant donné que la distance est un acquis, la norme d'un vecteur est connue comme la distance AB (pourquoi noter la distance |AB| au lieu de AB ?) si ${\overrightarrow {AB}}$ est un représentant du vecteur. Elle est connue avant que ne soit défini le produit scalaire. On peut juste remarquer que son carré correspond au produit scalaire du vecteur par lui-même. Du coup, l'inégalité triangulaire ne me parait pas avoir sa place dans les propriétés.

De même le théorème de Pythagore est un outil connu qui ne se déduit en rien de cette définition du produit scalaire

Inégalité de Cauchy-Schwartz

elle ne me parait pas la première des propriétés mais je ne vois pas où la glisser....

Propriété géométrique

avec le nettoyage drastique que je propose, il ne reste que trois propriétes géométriques du produit scalaire qui sont d'ailleurs trois autres manières géométriques de le définir (par projection, par calcul de distance, par calcul d'aire). J'y mettrais bien aussi les caractérisation de colinéarité et d'orthogonalité qui sont, il me semble, une des utilisations du produit scalaire.

Propriété algébrique

Avant de commencer, signaler que son nom de produit scalaire semble dire qu'il s'agit d'une "opération" qui a deux vecteurs associe... un scalaire. Le fait de l'appeler produit sous-entend que ce "produit" possède des propriétés que l'on est en droit d'attendre d'un produit Symétrie, bilinéarité (à rapprocher de la distributivité et de l'associativité avec prudence). Dans définie positive, il y a mélange entre la définition et la propriété ==> à séparer

Dans Bilan : il me parait important de signaler que ces propriétés découvertes avec cette construction du produit scalaire deviennent LA définition du produit scalaire dans un espace vectoriel. Il me semble que ce résultat doit apparaitre de manière nette avec encadrement et tutti quanti

Expresson analytique

le niveau de la section est ambigu : on a quitté l'aspect géométrique pour aborder un niveau post bac : matrice symétrique, changement de base (mais alors pourquoi se limiter à la dimension 3 ?)

Structures induites

Je suis toujours gênée de voir dans les structures induites des structures qui ne correspondent pas à la définition du produit scalaire donnée dans l'article. Je préfèrerais structures induites ou dérivées. Je remettrais bien ici, la définition du produit scalaire dans un espace vectoriel quelconque sur R avec les choses qui en découlent : norme et angle, puis la définition du produit scalaire sur un espace sur C (produit scalaire hermitien). Ensuite seulement j'aurais parlé des espace euclidien et hermitien en mettant en évidence le caractère de dimension finie de l'espace euclidien et ne laisserais pas des phrases comme "Un espace euclidien est un espace, généralement défini de manière axiomatique et comportant un produit scalaire. " même si la précision vient postérieurement. puis ensuite les espace de Hilbert.

j'ai conscience que mon analyse est assez critique et tend à rapprocher l'article de l'ancienne version [2] donc je préférerais que Jean-Luc voit comment tenir compte de mes remarques ou me donne un blanc seing pour une contre-proposition. HB (d) 28 janvier 2008 à 19:35 (CET)

Réponse de jl

Chère HB,

1. Je ne me souviens pas d'intervention de ta part telle que le résultat me semblait moins bon après qu'avant. Tu as donc, si c'était nécessaire tous les blancs seings du monde ainsi que le mien pour agir.
2. L'objectif est d'écrire un article aussi accessible à un niveau correspondant au secondaire ou à une utilisation proche de celle des physiciens. Enrichir l'article ne me semble pas contradictoire avec cet objectif. Comme tu connais mieux ce public que moi, je suis très confiant.
3. Pour le savoir un plus avancé, j'ai enrichi les articles espace euclidien, espace hermitien et pour la version complète forme bilinéaire et orthogonalité (en cours de travail).
4. Il manquera encore le dernier produit scalaire (je travaille sur les autres articles pour en préparer l'insertion dans cet article). Il correspond au Banach. Si E est un Banach, on représente souvent une partie du dual par une isométrie (en général non surjective) d'un espace F dans le dual de E, en général par une forme intégrale. On obtient ce qui est encore appelé un produit scalaire sur FxE qui permet par exemple de développer la théorie spectrale (c'est une des techniques principales de détermination et d'analyse des propriétés du spectre dans le cas général). C'est une forme bilinéaire dont les noyaux à droite et à gauche sont réduit au vecteur nul. Je ne sais pas encore comment l'introduire simplement dans cet article.

Je crois que, pour cet article, j'ai donné le meilleur de moi-même. Pour l'instant, je me sens un peu bloqué. Il est temps que d'autres talents l'enrichissent.Jean-Luc W (d) 28 janvier 2008 à 19:53 (CET)

Bon, je sais que tu es aussi pris par l'article sur vecteur. Je tente cette nouvelle proposition. J'ai supprimé Pythagore et l'inégalité triangulaire car elles me paraissent des propriétés métriques antérieures au produit scalaire (s'il est défini géométriquement) et j'ai développé la définition d'un produit scalaire dans un ev quelconque en déplaçant les remarques initialement placée dans "bilan" dans une section dédiée de "structures induites et dérivées" (en reprenant une version ancienne). Pour le reste c'est plutôt un peu de toilettage. Ce n'est qu'un proposition éventuellement modifiable bien entendu. HB (d) 4 février 2008 à 12:10 (CET)

Pythagore et l'inégalité triangulaire dérive assurément des propriétés métriques. A mes yeux cela ne supprime pas la pertinence de ces propriétés vis à vis produit scalaire. L'existence du procédé d'orthogonalisation de Schmidt dérive des formes bilinéaires et non du produit scalaire dans un espace séparable, comme les propriétés caractères pour les représentations des groupes dérivent directement de l'algèbre linéaire et des traces. Cela m'empêche pas d'indiquer ces propriétés sur les espaces euclidiens ou en théorie des représentations. Je pense qu'une propriété doit être citée si elle est pertinente dans le contexte même si elle découle d'une axiomatique plus générale. Maintenant, c'est plutôt toi qui connaît le public de cet article. Si tu penses que cette propriété est plus susceptible de confusion que d'un véritable apport, je m'incline de bonne grâce.

Je suis dans une période où je ne suis pas très partisan des répétitions des définitions. Voilà pourquoi je n'ai pas répété celle du produit scalaire. Je reconnais néanmoins que chercher la définition complète devient bien malcommode à l'heure actuelle (tu cherches dans espace euclidien puis dans forme bilinéaire puis dans bilinéaire puis dans ...). Si on faisait un vote, j'imagine que la grande majorité te donnerait raison (sur ce coup là je pense que je voterais contre ma mode passagère d'ailleurs, pourquoi serai-je cohérent ?). Jean-Luc W (d) 5 février 2008 à 12:22 (CET)

aides pour néophytes

Bonjour, Je crois qu'il serait utile, dans cet article comme dans beaucoup d'articles de mathématique d'ailleurs, de rajouter des liens vers des définitions pour tout néophyte qui chercherait à s'informer sur le sujet. Par exemple, moi-même, bien qu'ayant obtenu un bac S (diplôme français scientifique), je comprends à peine la moitié des termes employés dans le texte. Je ne conteste pas la pertinence du contenu, au contraire. Il est fascinant de voir un article de wikipédia s'élever à un niveau aussi élevé. Mais il est dommage que le néophyte ne puisse comprendre cet article sans avoir besoin de faire appel à des ressources externes, ce qui gâche la fonction éducatrice de wikipédia. Autre option: qu'une partie de l'article propose une définition accessible à tous du produit scalaire, suffisante par exemple pour qu'un collégien, un lycéen ou un étudiant puisse ainsi comprendre ce dont il a besoin dans la vie de tous les jours. Puis qu'une seconde partie porte sur des niveaux plus élevés de connaissance. Un peu comme un article sur le roi Henri IV commencerait par mentionner les traits marquant de son existence et de son action, puis s'étendrait sur l'influence détaillée de son action sur l'histoire de la France et de l'Europe. Oc.Gal. (d) 9 septembre 2009 à 21:09 (CEST)

notation du ps

Salut tlm

je me trompe peut-être ms j'ai l'impression qu'il n'y a pas eu de concertation pour la notation du produit scalaire. D'ailleurs cette notation n'est ni uniforme dans l'article, ni même introduite ("cette définition prend la forme suivante" n'est pas vraiment une introduction).

J'y connais pas grand chose des conventions mises en places sur wp, s'il y en a, peut-être devrions-nous mettre en place une convention pour tous les articles.

Par contre

• il faudrait dans cet article citer toutes (pas "toutes toutes" bien sûr...) les notations employées par les différents auteurs,
• je ne pense pas que cela pose pb qu'il y ait plusieurs notations différentes, y compris dans le même article. La notation avec un point est probablemt justifiable au début car c'est celle-là qu'on apprend au collège (etc moi), et ensuite on peut enchaîner avec la notation la plus employée au niveau universitaire (celles avec des crochets il me semble) pour les sections relatives au cas plus abstraits (qu'on ne voit qu'au niveau universitaire justemt).

--Biajojo (d) 26 février 2010 à 14:58 (CET)

Les débats se sont un peu dévelloppés sur Discussion:Inégalité de Cauchy-Schwarz#Produit scalaire. Avis aux amateurs.--Biajojo (d) 1 mars 2010 à 08:30 (CET)

Bonjour

Effectivement la notation "minimaliste" $u.v$ peut être admise dans un premier temps ou quand elle ne crée pas de risque de confusion. Mais il est évident que dans le cas où un type de produit existe déjà dans l'ensemble, cela peut devenir gênant: par exemple si l'espace est un espace de fonctions numériques, $f.g$ désigne naturellement le produit $f.g(x)=f(x).g(x)$. Il convient alors de disposer d'une autre notation.

Les notations utilisant les "crochets de dualité" $\langle u,v\rangle$ ou $\langle u|v\rangle$ très répandues me semblent cependant à exclure (mais ce sera difficile !). En effet ce crochet est en principe réservé à l'expression d'une forme linéaire $\,\phi$ du dual (topologique ou non) $\langle x,\phi \rangle =\phi (x)$. Assimiler le produit scalaire de 2 vecteurs de l'espace $E$ à un produit de dualité sur $E\times E'$ est une source de confusion absolument à éviter.

La notation $(u|v)$ est celle de Bourbaki, Laurent Schwartz, Gustave Choquet, Jean Dieudonné et bien d'autres. Elle me paraît donc de très loin la préférable.--Pedestre (d) 21 novembre 2011 à 16:06 (CET)

chapitre Produit scalaire comme une aire

Je le trouve peu compréhensible, et il me semble que le graphique ne correspond pas aux explications. Vincnet G discuss 30 mars 2010 à 18:26 (CEST)

Présentation peu standard certes donc un tantinet troublante mais il me semble que le dessin correspond bien au texte. Le produit scalaire est l'aire du parallélogramme dessiné par y et par l'image de x par une rotation d'angle pi/2. Ce parallélogramme est ensuite déformé, par cisaillement, en rectangle. Si cette présentation est bien celle de Peano, elle mérite de rester dans l'article. HB (d) 3 avril 2010 à 17:00 (CEST)

Est-ce vraiment limité aux réels et aux complexes?

Je me pose une question de cohérence entre les divers chapitres de ce PS. Je tâche de résumer: -D'une part, nous expliquons que le ps concerne les vecteurs d'un espace vectoriel; et qui dit EV dit corps commutatif sous-jacent.

-D'autre part, cet article explique que le ps se conçoit dans un EV bâti sur les réels, puis on veut bien le généraliser à un EV complexe.

-Mais, et c'est ma question, qu'est-ce qui nous empêche d'écrire que le PS est définissable pour tout EV de dimension finie bâti sur un corps commutatif, il suffirait de faire le sigma des produits? Serait-ce pour des raisons de relations d'ordre, par exemple V²>=0, ou inégalité de Schwartz? Michelbailly (d) 21 avril 2010 à 00:34 (CEST) - rien de neuf sur le sujet? Michelbailly (d) 6 avril 2011 à 12:10 (CEST)- Pour préciser la question, exemple classique en dimension 2, si on considère l'espace vectoriel construit sur le corps commutatif des complexes C, si on considère le vecteur non nul V =(1 , i ); son carré scalaire est bien = 1*1+i*i=1+i²=1-1=0. Donc le produit scalaire n'est pas une forme définie positive. Dans un autre paragraphe on nous dit que le produit scalaire est une forme définie poositive. Quelle est dans cette page la définition adoptée pour le produit scalaire? Il ne peut y avoir qu'une définition à la fois dans une page. Ou bien alors on trouve la définition dans une autre page?-Michelbailly (d) 6 avril 2011 à 15:03 (CEST)--dans la page Hermitien il est dit:--Soit E un espace vectoriel complexe. --On dit qu'une application f définie sur E x E dans C est une forme sesquilinéaire à gauche si Quels que soit les vecteurs X, Y, Z , et a, b des scalaires : f est semi-linéaire par rapport à la première variable , et f est linéaire par rapport à la deuxième variable . Une telle forme est dite hermitienne (ou à symétrie hermitienne) si de plus . -Un produit scalaire hermitien est une forme hermitienne définie positive.-- C'est laborieux mais on finit par lire. Alors ma question est plus précise: Soit E un espace vectoriel complexe, par exemple pour faire simple, C². On nous dit ce qu'est un produit scalaire hermitien, mais alors quel est le nom qu'on donne , avec des coordonnées complexes x1 y1 x2 y2 à la forme bilinéaire (x1*x2+y1*y2) ? Y a-t'il même un nom pour cette forme dans les complexes?-Michelbailly (d) 6 avril 2011 à 15:53 (CEST)

Bon, dans mon souvenir (et dans les livres niveau licence) le produit scalaire concerne les espace vectoriel sur R, c'est une forme bilinéaire symétrique définie positive. Ce produit scalaire permet de définir une forme quadratique définie positive qui correspond au carré de la distance. L'analogue du produit scalaire pour les espaces vectoriels sur C est le produit scalaire hermitien, la forme doit être sesquilinéaire pour que f(x,x) puisse donner un réel positif qui sera le carré de la distance. Mais j'ai l'impression, si je suis bien le cheminement de tes interventions sur diverses page de WP, que tu cherches des renseignements sur une branche très spéciale et peu enseigné en licence ; le complexifié d'un espace euclidien et de l'espace projectif associé. Aviva Spirglaz, mathématique L3 algèbe en parle un peu en p 178. En gros, quand tu complexifies ton espace euclidien tu as deux manière de prolonger le produit scalaire, tu peux le prolonger en un produit scalaire hermitien, ce qui te permet de définir une distance ou bien tu peux le prolonger en une forme bilinéaire symétrique (il semble que l'on ne lui a pas donné d'autre nom que forme bilinéaire issue du prolongement du produit scalaire) qui ne permet pas de définir une distance mais qui semble avoir de l'intérêt dans l'étude des coniques projectives (ce qui est, il me semble, ton domaine de prédilection). Malheureusement, comme tu le sais déjà, je ne suis pas expert, loin de là, en géométrie projective donc tu risques de rester sur ta faim. Peut-être seras tu intéressé par la lecture de ce papier sur les points cycliques. En espérant t'avoir aidé à orienter tes recherches (il ne faut pas trop attendre de WP sur un tel sujet). HB (d) 6 avril 2011 à 22:12 (CEST)

C'est juste une question de vocabulaire que je soulevais, pas une question de coniques. Le vocabulaire des points cycliques de la réf "Notes sur les points cycliques-G.Huvent-Gery.Huvent@mail.ac-lille.fr-7 avril 2000-" est bien connu, mais je pensais aux autres corps commutatifs, par exemple les corps commutatifs finis.

Exemple, en utilisant la congruence sur les entiers modulo 13. Les éléments de Z/13Z peuvent être représentés par les restes par la division par 13, soit {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7,8,9,10,11,12}.

C'est bien un corps commutatif. Sur le même exemple simple en dimension 2 avec cette congruence modulo 13, cette même forme bilinéaire symétrique de

2 vecteurs (x1*x2+y1*y2) donnerait par exemple (1,2) . (3,4) congru à 1*3+2*4 congru à 3+8 congru à 11. Pas de problème.

Avec le "carré", qu'on appelle forme quadratique si l'on veut, de certains vecteurs, on obtient

par exemple (5,12)² =(5,12) . (5,12) congru à 5*5+12*12 congru à 12+1 congru à 0. Ce qui signifie que le vecteur (5,12) est non-nul et isotrope. Donc cette forme bilinéaire symétrique n'est pas définie positive. Alors j'ai l'impression qu'on ne peut pas la nommer produit scalaire, bien qu'elle y ressemble ,

on ne peut pas l'appeler d'un nom comme "polongement de qq chose", ni "restriction de qq chose" ,

j'ai moi aussi l'impression que cette forme bilinéaire symétrique non-définie-positive n'a pas de nom?

Alors finalement le mot "produit scalaire" n'existerait que pour les EV construits sur le corps commutatif K des Réels ou que pour l'espace euclidien.

Ce qui n'est pas clair dans le texte de l'article qui démarre avec la géométrie vectorielle en général, pouvait-on supposer, mais on aboutit à la page Calcul vectoriel en géométrie euclidienne (Redirigé depuis Géométrie vectorielle ), c'est trompeur. Voila pourquoi je soulevais la question de la terminologie de cet article.-Michelbailly (d) 7 avril 2011 à 13:55 (CEST)

Mais tu ajoutes pourtant une section dans l'article sur les "généralisation aux autres espaces vectoriels ... Proz (d) 7 avril 2011 à 22:21 (CEST)

@HB: Pour poursuivre sur la motivation de ma question (nom d'une telle forme bilinéaire symétrique hors R et C), je l'ai posée il y a un an environ, 21 avril 2010 parce que rédigeais une explication de certains algorithmes de th des graphes avec des cas variés de corps commut qui étaient autres que R, C ou Z modulo n, munis de 2 LCI autres que + et * bien sûr et avec des EV de plus grande dimension que 3 ou 4, enfin pour les exemples concrets je n'allais pas plus loin que 20 sur tableur. J'avais eu comme premier réflexe, si u est l'élément neutre de la deuxième LCI (T), d'écrire "produit scalaire" pour la forme "somme( u T xi T yi)" qui n'était d'ailleurs pas une forme définie positive dans ces corps; puis j'ai eu un doute, j'ai vérifié sur divers sites www et j'ai posé ici la question de la dénomination d'un tel "produit" de deux vecteurs. En attendant une réponse éventuellement rapide, j'ai utilisé le terme "produit•" avec le caractère spécial rond noir. Ce n'est pas très esthétique mais c'est tout ce que j'avais trouvé.--Michelbailly (d) 8 avril 2011 à 22:17 (CEST)

Au moins 2 pistes

Après quelques navigations, j'ai trouvé au moins 2 pistes. Ce que cherchais est le nom éventuel de l'expression

$a_{\gamma }b^{\gamma }=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b^{i}$ dont le résultat est un "scalaire", même dans le cas où l'opération n'est pas définie positive.

1. dot product semble être le produit scalaire banal.
2. une première piste est appelée "contraction pour un couple de tenseurs", je crois comprendre qu'elle est limitée à des éléments d'un espace vectoriel E sur n'importe quel corps K.
3. il y a même un petit dessin en forme de "bactérie" [[3]]
4. une deuxième piste, j'ignore s'il s'agit de la même chose que précédemment est le terme anglo-américain (différent de dot product) inner product et je crois qu'il s'agit encore d'EV sur un corps K.
5. une éventuelle piste supplémentaire, même s'il ne s'agit pas d'un corps K ni d'un EV, donc s'il s'agit juste d'un ensemble de nombres munis de 2 LCI moins puissantes que pour un corps (ou un anneau) serait "inner product" entre guillemets car l'auteur veut faire la distinction avec le vrai inner product. C'est deja un début Michelbailly (d) 18 mai 2011 à 15:07 (CEST)

Résumé introductif

Le résumé introductif présent jusqu'en juillet 2011, permettait d'une part de bien indiquer les deux manières de présenter un produit scalaire et de préciser l'angle géométrique choisi pour cet article. Il permettait en outre, comme les conseils le préconisent d'en préciser brièvement l'articulation : espace euclidien traditionnel puis espace vectoriel réel. La phrase supprimée par deux fois par Nousanonym me semble donc absolument nécessaire. Je reviens donc à la version de juillet 2011 mais ne suis pas opposée à l'idée d'une reformulation. HB (d) 3 août 2011 à 10:16 (CEST)

Je cite le titre : Produit scalaire. En tant que lecteur, je m'attends donc à obtenir des connaissances sur le produit scalaire. Je cite le résumé : L'objectif de cet article est de présenter le produit scalaire de manière géométrique dans un espace euclidien traditionnel et de montrer comment cette notion peut s'étendre à tout espace vectoriel réel. Et je dis non, attendu le titre, l'objectif de cet article est de présenter le produit scalaire, et non uniquement un morceau. Dans ce contexte, soit il faut limiter l'article à la présentation du produit scalaire de manière géométrique dans un espace euclidien traditionnel et lui donner le bon titre soit le titre est le bon et le résumé introductif ne doit pas limiter le sujet. C'est ce que j'ai compris de ma lecture des articles de Wikipédia. --Nousanonym (d) 3 août 2011 à 12:31 (CEST) PS. A lire les deux premières sections, pour un néophyte, autrement dit celui qui a besoin de l'article, le sujet de l'article n'est pas le produit scalaire de manière géométrique dans un espace euclidien traditionnel, et donc le sujet n'est pas celui indiqué par la note aux lecteurs que je souhaite retirer mais il est bien le sujet indiqué par le titre.

Vous avez changé votre position par rapport à votre première intervention ; on n'aime pas trop, mais soit. En ce qui concerne votre nouvelle position, exprimée ci-dessus : ne pensez-vous pas qu'on pourrait passer du temps dans des discussions plus intéressantes et constructives ? Dans l'ensemble je partage le point de vue de HB. D'une façon générale, une intervention dont l'unique apport est de supprimer un paragraphe d'une page me parait suspecte, d'autant plus qu'à première vue, elle vient d'un utilisateur dont les contributions n'ont pas fait la preuve de leur aspect positif. Jean-Charles.Gilbert (d) 3 août 2011 à 15:36 (CEST)

Il ne s'agit évidemment pas d'en limiter le sujet mais de préciser l'angle d'approche. (je vais tenter une image un peu naive) Un petit peu comme dans un forêt on peut entrer par la route du nord ou la route du sud. La route du nord serait la première construite, un peu sinueuse, allant du particulier au général, bref exposant un peu l'histoire des idées - objet de cet article. La route du sud, serait la plus directe alllant directement à la définition du spécialiste. Le lecteur néophyte se satisfera je l'espère de cet article. Celui qui cherche une définition rapide et abstraite du produit scalaire dans un ev sur R quelconque s'énervera des détours de l'article. Il s'agit de l'avertir de l'angle d'approche (qui place la définition générale au 2/3 de l'article) et de l'existence d'articles plus abstraits espace préhilbertien, espace euclidien qui exposent directement les notions techniques. Si tu n'as pas compris la phrase dans ce sens elle est probablement mal écrite que proposes-tu à la place? HB (d) 3 août 2011 à 16:09 (CEST)

Je commence à comprendre. Et à mon avis, si le sujet est « Produit scalaire », ce n'est pas dans l'introduction qu'il faut préciser l'approche retenue par les auteurs de l'article. Il faut juste y préciser qu'il y a plusieurs approches possibles et mettre la forme d'approche retenue en titre de section. Ou bien, si la phrase problématique est une note, et s'en est une pour moi, si elle n'est pas retirée, il faudrait la mettre en note et non en résumé. Ce n'est qu'une remarque de lecteur tombé ici par un clic « Un article au hasard ». --Nousanonym (d) 3 août 2011 à 16:20 (CEST)

Bon je tente une réécriture. HB (d) 3 août 2011 à 17:01 (CEST)

Merci. Pour moi, la nouvelle formulation est nettement plus explicite. --Nousanonym (d) 3 août 2011 à 18:15 (CEST)

Définition

La définition du produit scalaire comme sur un ev réel se généralise à tout ev sur un corps ordonné. Dans ce cas, le produit hermitien n'est pas un produit scalaire mais le cas du PS sur un ev réel devient un cas particulier. Peut-être serait-il bon de dissocier définitivement le produit hermitien de l'article et généraliser ce qui reste. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par Louis Lascaud (discuter), le 17/7/2020 à 15 h 29‎.

Bonjour j'ai déplacé le cas complexe à la fin de l'introduction et supposé au début que le corps était celui des nombres réels.-- Cbigorgne (discuter) à 16 h 04