Discussion:Paradoxe de Russell

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Wittgenstein[modifier le code]

Je me suis permis de citer Wittgenstein, qui traite de ce paradoxe dans son Tractatus. Si quelqu'un veut détailler la chose... --http://www.20six.fr/kubrick 23 août 2005 à 19:39 (CEST)

Je n'avais pas lu le reste de la discussion: dans le Tractatus de Wittgenstein (3.331), Wittgenstein ne renie pas le fondement de la théorie des classes en elle-même. Schématiquement, il parle de la théorie d'Occam selon lequel "si un signe n'a pas d'usage, il n'a pas de signification" (3.328) De là, il traite de la syntaxe logique. (3.33) Il en conclut que Russel parle de la signification des signes pour établir leur syntaxe, ce qui est donc en soi un paradoxe si on suit la théorie des classes "de Russell"

En quelques sortes, il veut résoudre ce paradoxe en utilisant la théorie des classes, mais en y apportant quelques ajustement par rapport à ce que Russell a pu dire (et dont je ne détaillerai rien d'autre que ce que Wittgenstein m'en dit, car je ne connais pratiquement pas cet auteur. --http://www.20six.fr/kubrick 23 août 2005 à 20:03 (CEST)

Ebauche[modifier le code]

Après quelques modifs (détails d'expression, et selection des deux solutions couramment admises) j'ai mis ébauche car au moins :

  • L'aspect historique est absent, pas de date, Frege non mentionné ...
  • Le "principe" de compréhension est à expliquer

Proz 30 avril 2006 à 02:22 (CEST)

  • l'article est baclé. Mais ce n'est en laissant trainer « Il permet de dériver une contra On peut le formuler ainsi » que cela va s'améliorer ;-)   <STyx @ 30 avril 2006 à 05:06 (CEST)

Effectivement, c'est corrigé. Proz 30 avril 2006 à 11:07 (CEST)

J'ai enlevé "ébauche" après quelques ajouts, bien que cela manque encore de références, en particulier sur les sources originales. Proz 25 septembre 2006 à 23:28 (CEST)

Question[modifier le code]

Le paradoxe de Russel doit-il amener à considérer qu'on ne peut pas parler de l'ensemble de tous les ensembles, en théorie des ensembles ? Le langage des catégories permet de considérer par exemple la catégorie des ensembles. J'ai tendance à penser qu'un avantage de ce langage est précisément celui-ci, et je me dis que cela vient de ce que la structure mathématique de catégorie est plus souple que celle d'ensemble. Est-ce une conception fondée ? Si oui, peut-on envisager de faire un paragraphe qui expliquerait le lien entre paradoxe de Russel et développement du langage des catégories ? Merci, Salle 4 janvier 2007 à 17:48 (CET)

Je suis tout à fait ignare en théorie des catégories, mais je ne crois pas que cela soit à mettre sur le même plan : ce n'est pas en tant que telle une théorie des fondements. A priori on parle plus facilement de catégories dans la théorie des classes de von Neumann-Bernays-Gödel (version anglaise en:Von Neumann–Bernays–Gödel set theory plutôt bonne), qui, est une variante de la théorie ZFC. Pour reprendre ton exemple on peut parler de la classe de tous les ensembles : dans ZFC cela n'est pas un objet de la théorie mais un prédicat, dans NBG c'est un objet de la théorie. Du point de vue de l'« utilisateur » ça n'a pas grande importance : on peut parler de classe dès que l'on est capable de la définir par une propriété. C'est un autre problème de savoir si la théorie des ensembles est commode : elle l'est quand on veut se poser des questions d'indépendance, de cohérence relative, choix, continu ..., pas forcément comme outil de formalisation. C'est encore un autre problème de savoir si la notion d'ensemble est bien la notion primitive. Il existe, je crois, des tentatives de théories des fondements basées sur les catégories (dont je ne connais rien).

En bref, aucun rapport à mon avis entre le développement du langage des catégories et le paradoxe de Russell. Proz 4 janvier 2007 à 18:30 (CET)

D'accord merci. Je m'étais fait une petite réponse personnelle à la question pourquoi les catégories ? Elle ne tient pas la route mais ce n'est pas surprenant. Je ferais mieux de lire MacLane.Salle 4 janvier 2007 à 18:50 (CET)

Bidules qui schtroumpfent[modifier le code]

L'idée de parler de l'ensemble des bidules qui schtroumpfent, n'est en rien invalidé par l'idée que peut-être aucun bidule ne schtroumpfe, ce dernier cas étant parfaitement valide et portant sur l'ensemble vide. (voir mon explication du paradoxe de Russel)--Spoirier 27 octobre 2007 à 18:45 (CEST)

Théorie des ensembles ou logique ?[modifier le code]

La phrase de l'article « La théorie des ensembles de Georg Cantor était également concernée par le paradoxe de Russell » semble dire que le paradoxe de Russell est un paradoxe qui se situe au niveau de la logique et à peine au niveau de la théorie des ensembles. Ca me parait être le contraire. Ce paradoxe, qui n'apparait qu'en théorie naïve des ensembles (c'est-à-dire la formulation ensembliste non formalisée), n'a à voir qu'avec les axiomes de la théorie des ensembles qui doivent être choisis avec soin pour éviter ce paradoxe et le paradoxe ne me parait pas affecter la logique. Pierre de Lyon (d) 28 janvier 2008 à 09:46 (CET)

c'est en référence au paragraphe précédent : le paradoxe s'écrit dans la théorie de Frege, qui est une tentative de réduction des mathématiques à la logique. Pour la théorie de Cantor c'est moins clair, car déjà elle n'est pas formalisée, et Cantor n'a pas je crois énoncé d'axiome de compréhension non borné. Il est plus que probable d'ailleurs qu'il a évolué, mais par exemple dans sa correspondance de la fin des années 1890 (lettre à Hilbert de 1896, à Dedekind de 1899), il est clair qu'il ne considère pas que tout prédicat définit un ensemble. Bien-sûr le paradoxe n'apparait que si d'une façon ou d'une autre on identifie prédicat et ensemble. Proz (d) 28 janvier 2008 à 21:21 (CET)

AF et "résolution" du "paradoxe" : pas clair[modifier le code]

Que veut dire "résoudre le paradoxe", exactement ? S'agit-il simplement de trouver des moyens d'éviter de tomber sur une conclusion du type a = {x:x∉x} ? Si c'est ça, l'axiome de fondation atteint bien ce but, puisqu' il interdit l'existence d'un ensemble des ensembles (qui serait alors élément de lui-même) et par voie de conséquence l'existence de a = {x:x∉x} (c'est le même). J'entends bien qu'il y a d'autres raisons pour préserver la possibilité de se passer de AF ; cependant ce passage me semble prêter à confusion. --Michel421 (d) 28 février 2009 à 01:11 (CET)

Il s'agit d'éviter que la théorie soit contradictoire. J'ai précisé. Remarque : l'axiome de fondation ne change rien pour l'existence de a = {x:x∉x}, si la théorie est cohérente c'est déjà contradictoire sans fondation. L'axiome de fondation interdit {x | x=x} dans une théorie cohérente, mais c'est aussi le cas du schéma de compréhension restreint (usuel). Il est difficile de parler de contradiction sans schéma de compréhension : en l'absence de celui-ci le paradoxe de Russell devient simplement une formule universellement valide un peu surprenante. Proz (d) 28 février 2009 à 11:57 (CET)
Bonjour, je crois que Proz a pleinement répondu à l'interrogation (sur cette page et en précisions sur d'autres pages). S'il y a doute (et je peux développer si nécessaire ici ou dans l'article), AF ne préserve pas du tout du paradoxe (erreur séculaire qui se transmet), qui est bien plus profond que cela (c'est tout de même au delà de la simple para-doxa psychologique commune aux "paradoxes logiques", la seule contradiction avérée en logique qu'il y a jamais eu et qui a amené à modifier un axiome de la théorie des ensembles). Aussi le paradoxe de Russell devient simplement une formule universellement valide un peu surprenante. comme dit Proz que je songe expliciter en complétant (si je trouve mes mots) le §§ "Versions positives du paradoxe" avec un chouïa de généralité plus élevée en calcul des prédicats. Sinon dans des domaines que je connais peu, comme le lambda calcul, je lis chez Girard que ce paradoxe, cette formule universellement valide, est simplement un truc comme un point fixe d'une fonction qui ne pose pas de pb. Quelqu'un qui connait mieux que moi pour en dire un peu plus sur ce dernier sujet? --Epsilon0 ε0 4 mars 2009 à 10:10 (CET)
C'est par rapport au contexte historique : le schéma de compréhension non restreint. Il suffit d'une théorie très faible pour démontrer qu'il n'y a pas d'ensemble dont tout ensemble soit élément : soit E quelconque ; par le schéma restreint, il existe F = {x∈E|x∉x} ; si F∈E, F∈F entraînerait F∉F, contradiction ; et F∉F entraînerait F∈F, de nouveau contradiction ; alors F∉E, CQFD. E est n'importe quel ensemble, plus besoin de parler de l'ensemble des ensembles, ou de l'ensemble des éléments qui ne s'appartiennent pas eux-mêmes.
Pour Girard je ne connais pas, il faudrait voir le contexte. --Michel421 (d) 5 mars 2009 à 19:56 (CET)

D'un point de vu historique, parler de AF peut faire sens. Néanmoins le paradoxe (qui peut être formulé positivement sous forme de formule valide) peut se formuler pour n'importe quelle relation binaire (pas forcément l'appartenance) et indépendamment d'une théorie affirmant que cette relation est réflexive ou irréflexive. Le noeud du paradoxe en calcul des prédicats est que considérer une catégorie ontologique ultime pose pb : exemple, je ne veux parler que des dico et uniquement des dico, seulement face à une relation binaire comme "x cite y", j'en déduis que le livre prétendant citer tous les dictionnaires qui ne se citent pas eux même et exclusivement ceux-ci, n'est pas un dictionnaire, c'est d'ailleurs aussi en ce sens que le paradoxe du barbier (dont la conclusion est "cette personne n'est donc pas un homme") est une instanciation comme l'est le paradoxe de Russell sur les ensembles ou mon exemple, d'une formule plus générale. Et dans tous les cas ceci ne repose pas sur une hypothèse concernant la réflexivité ou non de la relation binaire (appartenance, x cite y, x rase y) considérée. C'est pourquoi j'ai qualifié la croyance assez répandue que AF résout le paradoxe, d'erreur historique, ... qui si elle est documentée en tant que telle peut être mentionnée dans l'article. Le fond du pb est que tenter de clore l'univers du discours (aux hommes, aux dico ou aux ensembles) s'il est fait sans précautions mène à un paradoxe. d'où la notion de classes qui apparaît comme limite de la notion d'ensemble en ... (méta) théorie des ensembles. Mais le pb se repose si on tente de clore le discours aux classes, d'où (mais je connais pas), la fuite vers la théorie des types (au sens de Russell) + axiome de réductibilité toussa, théorie qu'à ma connaissance il n'a pas achevée. P.S : Sauf erreur, la formule universellement valide en question est :

  • exist x ( all y ( [ Py et non Ryy ] --> Rxy ) --> non Px ) FAUX --Epsilon0 ε0 7 mars 2009 à 20:09 (CET) , donc si la propriété P est vue comme satisfaite par tous les objets (cat ontologique ultime), i.e. : all x Px, on tombe sur une contradiction, ceci sans aucune hypothèse sur la relation binaire R.

J’ai digressé, mais il me semble que montrer en quoi ce paradoxe de thie naïve des ensembles est lié à une formule logique (valide) et via peut se trouver dans d’autres théories « naïves » me semble éventuellement bon à développer un minimum, non ? --Epsilon0 ε0 5 mars 2009 à 22:00 (CET)

Je dirais plutôt que c'est ¬∃y ∀x (Rxy ↔ ¬Rxx)

mais c'est un schéma et pas une formule (la tienne aussi d'ailleurs est un schéma, mais pourquoi deux variables de prédicat ?).--Michel421 (d) 5 mars 2009 à 23:30 (CET)

Pourquoi 2 prédicats, ben justement pour généraliser ta formule en montrant la généralité du paradoxe au delà du simple cas ensembliste (ex paradoxe du barbier). Sinon j'expose bien, sauf erreur (je vérifie + tard) une formule valide du calcul des prédicats du 1er ordre et non un schéma de formule. --Epsilon0 ε0 6 mars 2009 à 20:03 (CET)
Il est explicitement dans l'article que le paradoxe est liée à une formule universellement valide. La formule d'epsilon0 ne l'est pas (prendre une relation toujours fausse sur la diagonale, et un prédicat vrai partout, on aura du mal à trouver le x en question). Pour une formule correcte on peut relativiser à P de la formule de l'article (qui est celle de Michel421), mais je ne vois pas trop la généralité ... Il s'agit d'une formule si R est un symbole primitif du langage. Le paradoxe du Barbier n'est pas une généralisation du paradoxe de Russell, mais une forme imagée de la formule valide derrière le paradoxe. Pour qu'il y ait contradiction (ou paradoxe) il faut parler de compréhension (sinon on ne parle plus du paradoxe de Russell). Enfin l'interprétation d'epsilon0 de la théorie des classes et de la théorie des types n'est pas correcte ni historiquement ni mathématiquement (lire cet article et théorie des classes). Proz (d) 6 mars 2009 à 23:47 (CET)


Mille excuses, ma formule n'est pas valide (j'avais un doute mais je l'ai écrite sans la vérifier, ce qui est mal) Merci Proz , je corrige :

  • all x { all y [ ( Py et non Ryy ) <--> Rxy ] --> non Px } maintenant, si on prend à titre d'instanciations particulières de cette formule :
    • Px :: x est un ensemble et Rxy :: y appartient à x, cela nous donne ce qui découle du paradoxe de Russell, soit "Tout objet possédant exactement tous les ensembles ne se possédant pas eux même et uniquement eux, est un non-ensemble.
    • Px :: x est un homme et Rxy :: x rase y, cela nous donne le paradoxe du barbier, soit "Tout object rasant exactement tous les hommes qui ne se rasent pas eux mêmes et uniquement eux, est un non homme. Et je ne dis pas que c'est une généralisation du cas précédant mais une simple autre instanciation de la même formule plus générale que je donne.
    • Et bien sûr cette formule valide va s'appliquer pour toutes interprétations possibles et imaginables des propriétés P (être une olive verte, être une particule élémentaire, et ... être une classe ou être égal à soit-même) et R (être, plus grand que, être en interaction physique avec, etc).
  • Ce à quoi je voulais en venir (je l'expose de manière très informelle, mais je crois que c'est tout de même assez connu et banal) est que de cette formule valide on va aboutir à une contradiction dans tout contexte où on a comme axiome : all x Px , comme par exemple all x (x=x) et où la quantification n'est pas relativisée à une sous-ontologie (comme dans le cas de la compréhension resteinte) sous-jacente à une ontologie plus vaste (extension d'un prédicats dans le cas de ZF) ; oui je m'exprime très mal, mais je pense que vous avez compris. C'est en ce sens que, ce me semble (est-ce un TI de ma part, je ne le crois pas, tant c'est bien ce qui a mon avis fait que ce "paradoxe de Russell" est tant considéré dans ce qu'on a appelé "la crise des fondements"), la conclusion est que toute théorie (assez expressive pour posséder une relation binaire R ) ayant la prétention de clore son discours avec une catégorie ontologique ultime comme P (exemple la notion d'ensemble) n'ayant pas d'extériorité (comme la notion de classe stricte), va se trouver contradictoire (je crois bien qu'il y a un écrit, thm (?) très connu de Tarski abordant exactement ce sujet). Autrement dit, un langage (+ théorie) un minimum expressif voulant parler d'absolument tout va se trouver être contradictoire. Bon une autre manière de voir les choses qui est p.-e. bcp plus banal à exprimer est que toute entité supposée dans un discours n'existe pas forcément, donc de conclure que le barbier n'existe pas et non que ce n'est pas un homme ... sauf qu'en théorie des ensemble la conclusion usuelle n'est pas que le rassemblement de tous les ensembles n'existe pas, mais que ce n'est pas un ensemble. et c'est là où la conclusion donnée aux 2 paradoxes est différente, d'un côté on exclut de l'ontologie considérée certaines entités, de l'autre on part dans une certaine fuite en avant. Mais bon, je m'égare et je suis là clairement pov et ti.

A vous de voir si mieux exposé cela peut avoir une place dans l'article ; quelqu'un a en tête un article de Tarski où il aborde cela (sous forme de limite du langage je crois)?

J'espère avoir été un peu plus clair.

P.S. : Sinon je ne m'aventure plus sur le terrain historique où mon savoir est imprécis et je parlais de classes non au sens de la Théorie des ensembles de von Neumann-Bernays-Gödel mais au sens informel où l'on dit que la classe de tous les ensembles n'est pas un ensemble, j'aurais pu parler de collections. Sinon, sans me plonger précisément dans NBG, j'imagine qu'il n'y a pas de "classe [au sens NBG] de toutes les classes" où alors on y contourne le paradoxe de Russell d'une manière que je ne connais pas. --Epsilon0 ε0 7 mars 2009 à 20:10 (CET)

all x { all y [ ( Py et non Ryy ) ↔ Rxy ] → non Px } très bien. Prenons pour univers celui N des entiers, pour P la relation "x=x" et pour R la relation "x+y>2".
Tu m'en diras des nouvelles. --Michel421 (d) 7 mars 2009 à 22:17 (CET)
Je crois que tu te trompes, p.-e. n'as-tu pas fait attention à l'ordre des parenthèses entre les quantif, pour mémoire :
all x (all y (Axy --> Bx) ) eq all x, exists y (Axy --> Bx). --Epsilon0 ε0 28 avril 2009 à 21:40 (CEST)
J'ai vu le pourquoi de ma mistake ; par contre je ne vois pas du tout « all x (all y (Axy --> Bx) ) eq all x, exists y (Axy --> Bx)». C'est une implication, pas une équivalence. Aussi, ce n'est pas une forme (all y (Axy --> Bx) ) car si c'est ça que tu avais en tête, pour le coup ça ne marche pas et c'était le pourquoi de ma mistake --Michel421 (d) 2 mai 2009 à 21:29 (CEST)

Dans NBG une classe qui appartient à une classe est un ensemble. La conclusion correcte dans ZFC est bien qu'il n'existe pas d'ensemble de tous les ensembles n'appartenant pas à eux-même (il n'y a pas de prédicat "être un ensemble", remarque qu'il y en a un dans NBG). Ok pour cette formule, qui n'est pas exactement la relativisée à P (obtenue en "internalisant" l'appartenance à l'ensemble de base de la structure, donc en relativisant les quantificateurs à P) de celle de l'article (sous la forme all x(all y(non R y y <-> R xy) -> Abs) dont elle est quand même assez proche, mais l'équivalence serait symétrique en P). Pour moi le paradoxe de Russell est une antinomie, et parle nécessairement de compréhension. Il me semble que tu parles plutôt du paradoxe du Barbier (qui n'est pas une antinomie), et que ça trouve sa place dans l'article dédié, au moins comme variante. Maintenant comme tu sembles avoir une source, le mieux serait de la consulter et de la citer, non ? Par ailleurs tu parles peut-être du théorème de Tarski, mais le rapport ne me saute pas aux yeux. Proz (d) 8 mars 2009 à 17:57 (CET)

Bon je cherche toujours ma source (qui n'est pas le thm de Tarski qui en effet n'a rien a voir), si je la retrouve je reviens. Néanmoins je crois que cette généralisation est un peu du b-a-ba (côté formule) même si l'interprétation autre que cela donne du paradoxe est du TI (mais je revendique mon absence totale d'originalité sur le sujet, je l'ai bien lu d'autres, ce serait d'ailleurs d'une prétention totalement déplacée que de le prétendre !) en absence de source précise. Aussi outre l’impact historique de ce paradoxe en thie des ensemble, logiquement (i.e. dans la théorie vide) je ne distingue pas du par. Du barbier. --Epsilon0 ε0 28 avril 2009 à 21:39 (CEST)
Pour le moment l'article est réservé aux aspects "théorie des ensembles" (l'article paradoxe du barbier non). Ca me semble assez naturel. Je ne comprends pas trop l'apport de ce que tu proposes dans ce contexte, mais si ça a été discuté, ce serait intéressant de savoir où, et dans quel but. Proz (d) 3 mai 2009 à 00:41 (CEST)

Résolution - manque de clarté ?[modifier le code]

Je pense qu'il serait pas mal d'expliquer clairement la "résolution" du paradoxe par ZFC. Si je ne dis pas de bêtise, c'est l'axiome de sélection (ici référé comme "restriction du principe de compréhension") qui interdit de considérer {x/x n'appartient pas à x}, vu que justement, on ne "sélectionne" pas à la base. Enfin, je trouve juste ça dommage/étrange de simplement parler de cette axiome, mais de ne pas expliquer clairement en quoi il résout le problème.

Vlad (d) 26 avril 2009 à 18:38 (CEST)

En fait c'est l'absence d'axiome de compréhension générale qui résout le paradoxe, et on espère que les autres axiomes, y compris celui de sélection, ne le réintroduisent pas. J'ai précisé. Proz (d) 26 avril 2009 à 20:11 (CEST)

Ok. "Il est possible d'écrire le prédicat « x ∉ x », mais celle-ci ne définit plus un ensemble." D'accord, c'est ce que je pensais, et c'est ce que j'aurais aimé voir. (Et je pense, ce que toute personne peu habituée avec la logique formelle à envie de voir comme explication). Maintenant c'est impec', merci ! Vlad (d) 28 avril 2009 à 20:41 (CEST)

Merci à toi d'avoir remarqué ce problème. Proz (d) 28 avril 2009 à 21:15 (CEST)

Conséquences du paradoxe de Russel[modifier le code]

Bonjour,

Quelque chose m'étonne dans les conséquences du paradoxe. Si l'on regarde la propriété "l'ensemble appartient à l'ensemble E des élements qui n'appartiennent pas à eux-mêmes" formalisée par Le paradoxe de Russel est causé par le fait que pour l'ensemble E des éléments qui n'appartiennet pas à eux-mêmes, nous avons . Dès lors que la propriété est définie de manière récursive sans condition de sortie, il y a un problème.

Mais la question que je me pose, c'est pourquoi au lieu de tout simplement en conclure qu'il existe des ensembles de définitions des propriétés, tout comme il en existe pour les fonctions, il a été carrément créé une nouvelle axiomatique de la théorie des ensembles. C'est comme si on définissait la fonction et que sans tenir compte de l'ensemble de définition, on se demandait quelle était la valeur de f(0).

Spirit 203 (d) 4 mai 2009 à 23:49 (CEST)

Oui, eh bien spécifier un ensemble de définition pour une propriété c'est bien là tout le but de l'axiome de compréhension restreint. --Michel421 (d) 5 mai 2009 à 19:38 (CEST)

Si je comprends ce que veut dire Spirit 203 c'est qu'étant donnée une propriété (un prédicat) définie sur les ensembles (les classes?) elle peut être vue comme une fonction partielle: EnsBool. C'est pour cette fonction partielle que l'on veut parler de domaine de définition. Mais si on voit les choses comme ça, on tourne en rond, me semble-t-il, car ce domaine de définition est un ensemble, ce qui est bien embêtant parce qu'on est précisément en train d'essayer de définir (de comprendre) ce qu'est un ensemble. Voyez l'article imprédicativité. --Pierre de Lyon (d) 5 mai 2009 à 22:04 (CEST)


Amha on ne tourne pas en rond (Zermelo n'a pas tourné en rond) ; si on dit P(X) comme ça en l'air, on n'a pas un ensemble, (on a bien une classe, mais dans ce contexte ce n'est qu'un synonyme de relation unaire), on a (ou pas) des objets qui dans l'univers du discours satisfont P(X) (Krivine dit qu'entre l'univers des ensembles et un ensemble, il y a autant de différence qu'entre un espace vectoriel et un vecteur de cet espace). Et si on dit que n'importe quelle propriété P(X) détermine un ensemble, on tombe sur l'antinomie de Russell.

Par conséquent il faut déjà avoir sous la main un ensemble E. Et on pourra parler de l'ensemble F = {x: x∈E et P(X)}. --Michel421 (d) 5 mai 2009 à 22:49 (CEST)

Effectivement, ce que j'évoquais correspond à l'axiome de compréhension restreint. La théorie des types a peut-être un intérêt intrinsèque, mais semble être une réponse excessive au paradoxe de Russel. Merci de vos réponses. Spirit 203 (d) 8 mai 2009 à 17:14 (CEST)

Lisibilité[modifier le code]

Bonjour, je lis wikipedia au boulot et je peux pas installer les polices avec les symboles mathematique. Est ce qu'une ame charitable aurait la patience de les faire en latex ou n'importe quoi qui a un rendu genre png. Merci d'avance !

--91.135.184.215 (d) 6 août 2010 à 16:57 (CEST)

Différence entre Zermelo et Russell[modifier le code]

Dans « Les solutions du paradoxe », il y a une chose que je n’arrive pas à comprendre, c’est la différence entre la restriction de Zermello, et les types de Russell. Si les deux sont exposés, ça suggère qu’ils sont différents, sinon un seul serait présenté. Mais les deux me semblent être la même solution (qui me fait d’ailleurs penser au constructivisme).

  • Zermelo : […] un prédicat ne définit pas un ensemble mais sépare, dans un ensemble déjà donné.
  • Russell : À un ensemble ne peuvent appartenir que des objets, qui peuvent être des ensembles, mais sont de types strictement inférieurs au type de l’ensemble initial.

Les deux décrètent qu’un ensemble est défini par rapport à un autre ensemble pré‑établi (qui est établi comment… c’est une autre question), et finalement, la solution est là, ou non ? Peut-être faudrait-il soit préciser la différence entre les deux, ou la similitude entre les deux, ou les deux à la fois. Sans ça, on peut douter d’avoir compris, et ce doute est désagréable. --Hibou57 (d) 16 septembre 2011 à 18:44 (CEST)

* Avec Zermelo versus axiome de séparation ou de compréhension restreint on a intuitivement 2 entités : les ensembles (qui sont aussi des classes) et les classes strictes comme la classe de tous les ensembles. L'extension d'une propriété est une classe (qui parfois peut être aussi un ensemble). L'axiome nous dit que l'intersection d'un ensemble avec une classe/propriété est un ensemble.
* Avec Russell et la théorie des types on a +- (je ne suis pas spécialiste) intuitivement des ensembles ayant une infinité de types différents qui sont ordonnés t1, t2, t3 ... et la restriction est de considérer qu'un ensemble de type_n ne peut avoir comme éléments que des ensembles de types strictement inférieurs à n. Ou présenté autrement on construit des ensembles en leurs associant des types croissants (ex. mais je ne connais pas la présentation, en partant de l'ensemble vide de type_0) et en disant que si le type le plus grand pour un élément de l'ensemble est n alors cet ensemble est (au moins) de type n+1.
On a là 2 présentations de la théorie des ensembles assez distincts (ZF avec Zermelo et théorie des types avec Russell) et dans les 2 cas on évite le paradoxe issu de l'axiome de compréhension non restreint qui disait que l'extension de toute propriété (en particulier celle de ne pas appartenir à soi même qui donne la classe de tous les ens.) est un ensemble. A noter qu'avec Russell un ensemble ne peut pas appartenir à lui-même mais avec l'axiome de séparation cela n'est pas interdit et il faut l'axiome de fondation pour l'interdire. Et on peut dans la continuité de ZF accepter des ensembles qui appartiennent à eux-même en remplaçant l'axiome de fondation par l'axiome d'anti-fondation, ceci sans contradiction.
--Epsilon0 ε0 16 septembre 2011 à 20:02 (CEST)
Merci (^_^), je vais étudier cette explication. --Hibou57 (d) 27 septembre 2011 à 22:49 (CEST)

Commentaire mis dans l'article par 90.32.115.56 (d · c · b)[modifier le code]

y = {x | xx}: il me semble qu'il y a une imprécision due à la non distinction entre élément et ensemble. Un élément est irréductible à lui-même. Un ensemble est quant à lui constitué d'éléments. On peut le caractérisé par l'énumération des éléments qui le constituent ou bien par une propriété commune entre ces éléments. E={x1, x2, ....} ou bien E={x | x "vérifie telle propriété, par exemple x ∉ {x}"} Ceci dit, l'élément x et l'ensemble x (qu'on peut écrire {x}) sont deux concepts différents décrivant une même réalité. Ainsi l'écriture rigoureuse serait: E = {x | x ∉{x}}

Bonjour, j'ai déplacé ici votre commentaire de ce jour. Alors, non il n'y a pas d'erreur, il n'y a pas de différence de nature entre un élément et un ensemble (il y a un monisme ensembliste si vous voulez, au moins dans la théorie des ensemble standard) , tout ensemble pouvant être élément d'un autre. En particulier {x} est un ensemble à 1 unique élément soit l'ensemble x et on a toujours (en théorie des ensemble standard soit ZF) x différent de {x}. --Epsilon0 ε0 18 août 2012 à 16:34 (CEST)
J’allais faire le même commentaire mais j’ai été un peu lent TomT0m (d) 18 août 2012 à 16:38 (CEST)

Paradoxe de Russell, théorie des catégories, topos et univers à la Grothendieck[modifier le code]

Le paradoxe se comprend à mon avis mieux en utilisant les univers de Grothendieck, les ensembles appartiennent à un univers U, mais la classe de tous les ensembles ne va plus appartenir à U mais à un univers V plus grand incluant U, cela se démontre en partant des hypothèses de Grothendieck.

Et c'est de là que se construit le paradoxe, croire que la classe de tous les ensembles appartienne à U , celui-ci étant lié à un topos, et une logique attaché à ce topos, logique binaire dans U, mais la classe de tous les ensembles n'appartenant pas à U a donc aucune raison d'obéir aux lois établies par le topos de U, d'où l'effondrement logique apparent. MalcolmMix (d) 16 janvier 2013 à 13:05 (CET)

{x | x ∈ x}[modifier le code]

{x | x ∉ x} est toujours une classe propre. Une question légitime (à laquelle j'aurais aimé trouver une réponse sur wp, dans cet article ou un autre) est : quid de S := {x | x ∈ x} et de R := {x | x = {x} } = { singletons de S } ?

  • avec l'axiome de fondation, S = ∅
  • avec « l' »axiome d'anti-fondation, R est un ensemble (un singleton) mais je parie que « S est un ensemble » est indécidable (?)
  • avec « BA1 » de Boffa (Aczel p. 57), R est une classe propre.

Anne, 20/9/16