Discussion:Optimum de Pareto

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Contresens[modifier le code]

L'exemple « l'état où toutes les richesses du monde appartiennent à un seul homme est un optimum de Pareto » est parfaitement correct : toute redistribution diminue la richesse du seul homme, et ne satisfait donc pas au critère de Pareto. C'est un exemple largement diffusé dans la littérature. --Gribeco 10 février 2008 à 16:19 (CET)

Formalisation[modifier le code]

"un état dans lequel on ne peut pas améliorer le bien-être d’un individu sans détériorer celui d’un autre" : ça veut dire que la fonction dont les variables sont le bien-être des individus admet un maximum local ou un maximum global (qui peut nécessiter de temporairement diminuer le bien-être afin de, in fine, l'améliorer pour tous) ? La formulation actuelle n'est pas claire. Je penche pour le premier cas. Levochik (d) 18 mai 2010 à 09:35 (CEST)

ah bin vu le Lagrangien d'après, c'est clairement un maximum local dont il s'agit. Levochik (d) 18 mai 2010 à 09:41 (CEST)

Illustrations[modifier le code]

Je ferais bien quelques petits dessins pour illustrer la non comparabilité des optima de Pareto et les liens avec d'autres critères (utilitariste notamment). Si qqn trouve sur wikicommons trois dessins sympas de bonhommes qui ont l'air riche/moyen/pauvre (plus visuel), ça pourrait faire une bonne base de proposition. Levochik (d) 28 mai 2010 à 23:08 (CEST)

Comparabilité des critères[modifier le code]

Bonjour,

« Le critère de Pareto et le critère utilitariste sont compatibles, au sens où si un état A est plus efficace qu'un état B au sens de Pareto, alors il l'est aussi au sens utilitaire. En effet, le bien être de chaque individu étant plus grand en A qu'en B [...]»

C'est faux ! Du moins si l'expression « plus efficace au sens de Pareto », qui n'est définie nulle part, signifie bien : plus proche d'un optimum de Pareto. (Ce qui suppose de définir une distance aux optima, mais passons.) Il est faux de dire que le bien-être de chaque individu est plus grand en A qu'en B.

A est plus efficace au sens de Pareto que B si le bien être de tout individu est plus grand en A qu'en B (on pourrait effectivement mettre cette déf dans l'intro, qui parle de "uniformément améliorable" en admettant implicitement cetté définition). La phrase ci-dessus est donc logiquement tout à fait juste. Faites vous bien la différence entre comparable et compatible ? Ce n'est pas la même chose du tout. Deux ordres partiels sont compatibles si, à chaque fois que deux éléments peuvent être comparés dans les deux ordres, alors la comparaison est la même (ici, le deuxième ordre est celui du critère utilitariste, qui est un ordre total et donc deux éléments peuvent toujours être comparés). Levochik (d) 30 mai 2010 à 22:54 (CEST)

Par exemple, si A est l'état où toutes les richesses du monde appartiennent à une seule personne X, et B un autre état, quelconque, où les richesses sont mieux réparties, alors A est plus efficace (ou au moins aussi efficace) que B au sens de Pareto, puisque A est un optimum de Pareto (toute modification serait négative pour X). Or il est clair que le bien être de tous les individus sauf un est plus grand dans l'état B que dans l'état A.

exemple peu clair. La quantité de richesse totale est-elle fixée ? Si oui, alors absolument tous les états sont des optima de Pareto (donner qqc à qqn enlève forcément qqc à qqn, puisque la somme totale est constante) et tous sont équivalents du point de vue utilitariste (la somme totale des bien être étant fixée). Si non, alors il faut préciser comment elle varie, sinon on ne peut rien dire. Levochik (d) 30 mai 2010 à 22:54 (CEST)

Le critère de Pareto et le critère utilitariste ne sont pas comparables, ainsi que le disait bien le paragraphe supprimé suivant :

« il arrive qu'un état non-optimal au sens de Pareto soit considéré, suivant le critère utilitariste, comme égal à, ou meilleur, qu'un état optimal au sens de Pareto. Autrement dit, un état de société uniformément améliorable peut, malgré sa perfectibilité, engendrer un bonheur global plus important que certains états de société non uniformément améliorables. »

Cette phrase est vraie, on peut d'ailleurs la remettre si vous voulez (je trouve ça assez évident, mais bon, il y a bien d'autres évidences dans l'article). Cependant, elle ne contredit pas du tout le fait que que Pareto et utilitaire sont compatibles. J'explique de manière détaillée ce que signifie que Pareto et Utilitaire sont compatibles : soit x1,x2,...,xN les bien-êtres des individus en l'état A, y1,y2,...,yN les bien-êtres des mêmes individus en l'état B. Supposons que A est plus efficace que B au sens de Pareto. Par définition, cel veut dire que pour tout i dans 1...N, on a xi>=yi. Donc, a fortiori, on a x1+x2+...+xN>=y1+y2+...+yN (c'est vraiment très élémentaire). Or ceci veut exactement dire que A est plus efficace au sens utilitaire que B. CQFD. Levochik (d) 30 mai 2010 à 22:54 (CEST)

En revanche, je suis bien d'accord pour remplacer chaque occurrence de « l'optimum » par « un optimum ». C'est une erreur fréquente, difficile à corriger.

Grasyop 30 mai 2010 à 18:22 (CEST)


« A est plus efficace au sens de Pareto que B si le bien être de tout individu est plus grand en A qu'en B (on pourrait effectivement mettre cette déf dans l'intro, qui parle de "uniformément améliorable" en admettant implicitement cetté définition) »

Je veux bien une source pour cette définition. Bien sûr, avec cette définition, A est effectivement meilleur que B, c'est évident. Mais cette notion n'a plus grand chose à voir avec celle, pour un état, d'être ou ne pas être un optimum de Pareto, qui est le sujet du présent article, et qui est celle que je voulais comparer à l'ordre utilitariste.

En fait, avec votre définition, un état non optimal au sens de Pareto, peut être déclaré « plus efficace au sens de Pareto » qu'un état optimal au sens de Pareto. Un comble, non ? (*)

« Faites vous bien la différence entre comparable et compatible ? Ce n'est pas la même chose du tout. Deux ordres partiels sont compatibles si, à chaque fois que deux éléments peuvent être comparés dans les deux ordres, alors la comparaison est la même »

Et deux ordres sont comparables si l'un est plus fin que l'autre. Deux ordres partiels pourraient être compatibles sans être comparables, c'est vrai. Ici, on a affaire à un ordre partiel et un ordre total, donc s'ils sont compatibles, ils sont comparables (le plus fin étant l'ordre total, c'est-à-dire ici utilitariste).

« exemple peu clair. La quantité de richesse totale est-elle fixée ? »

Oui.

« Si oui, alors absolument tous les états sont des optima de Pareto »

Non.

Si Monsieur X possède deux pommes, et Madame Y possède deux oranges, et si tous les deux aiment la variété, alors cet état n'est pas un optimum de Pareto, car il est possible par l'échange d'une pomme de Monsieur X contre une orange de Madame Y d'aboutir a un état ou Monsieur X et Madame Y sont plus heureux. Et la quantité de richesse totale n'a pas changé : 2 pommes et 2 oranges.

D'où l'intérêt du commerce.

Je réitère donc mon exemple, qui montre que la relation d'ordre "<" définie par "A < B si B est optimal au sens de Pareto et A ne l'est pas" n'est pas compatible (et donc a fortiori pas comparable) avec la relation utilitariste.

Il est vrai, en revanche, que la relation que vous avez définie plus haut (A est plus efficace au sens de Pareto que B si le bien être de tout individu est plus grand en A qu'en B), est, elle, compatible avec le critère utilitariste, mais ce n'était pas de cette relation dont il était question ici, et c'est la première fois que j'entends parler de cette relation.

P.s. : j'aime autant qu'on ne "hache" pas mes messages, ça devient vite illisible sinon (surtout si je dois ensuite faire pareil).

* Exemple : À quantité de fruits égale, Monsieur X et Madame Y souhaîtent avoir autant de pommes que d'oranges. Considérons les états suivants :

  • Dans l'état A, Monsieur X possède 3 pommes et 1 orange ; Madame Y possède 1 pomme et 3 oranges.
  • Dans l'état B, Monsieur X et Madame Y possèdent chacun 1 pomme et 1 orange.
  • Dans l'état C, Monsieur X et Madame Y possèdent chacun 2 pommes et 2 oranges.

Alors : Les états B et C sont des optima de Pareto, mais pas l'état A (puisqu'en échangeant une pomme et une orange, on passe de l'état A à l'état C, qui est meilleur pour tout le monde). Pourtant, l'état A est « plus efficace au sens de Pareto, suivant votre définition » que l'état B, puisque chacun y possède deux fruits en plus.

Grasyop 31 mai 2010 à 00:46 (CEST)


  • « En fait, avec votre définition, un état non optimal au sens de Pareto, peut être déclaré « plus efficace au sens de Pareto » qu'un état optimal au sens de Pareto. Un comble, non ? (*) »
Bien sûr que non, puisqu'un état optimal au sens de Pareto (avec "ma" définition) n'est comparable qu'avec des états moins efficace (au sens de Pareto). Par contre, un état non optimal au sens de Pareto peut être déclaré "plus efficace au sens utilitariste" qu'un état optimal de Pareto, ce qui est d'ailleur le sens de la phrase que vous vouliez remettre (cf. plus haut).
  • Sur votre exemple modifié montrant l'intérêt du commerce : certes, mais je supposais un modèle très frustre ou le bien être est directement mesuré par la richesse (ce qui était et est le cas des exemples donnés). Fixons un même modèle pour discuter... Levochik (d) 31 mai 2010 à 09:13 (CEST)
  • Sur la relation : "A < B si B est optimal au sens de Pareto et A ne l'est pas" :
ça me parait encore pire : on se prive de comparer des états intuitivement comparables. En effet, si un état n'est pas optimal au sens de Pareto, accroitre un peu le bien être de chaque individu mais sans le faire au maximum ne mène pas, selon cette définition, à un meilleur état. En particulier, on ne peut plus parler d'état "uniformément améliorable".
Ceci dit, je pense que c'est là le point important : avec votre définition, ce que vous dites est vrai, avec la mienne, ce que je dis est vrai. Il faudrait donc effectivement trouver une source clair sur le critère de Pareto.
  • Sur votre dernier exemple : l'état A n'est évidemment pas plus efficace que l'état B selon "ma" définition du critère de Pareto, puisqu'en B, le bien être de X et Y est plus grand qu'en A. "ma" définition repose sur le bien être, pas sur le nombre de fruits (définitions qui peuvent coincider, mais pas forcément).
Levochik (d) 31 mai 2010 à 09:13 (CEST)


Sur la page anglaise de l'article, c'est bien "ma" définition de l'ordre de Pareto qui est retenue :

« a change from one allocation to another that makes at least one individual better off without making any other individual worse off is called a "Pareto improvement" »
« Formally, a (strong/weak) Pareto optimum is a maximal element for the partial order relation of Pareto improvement/strict Pareto improvement: it is an allocation such that no other allocation is "better" in the sense of the order relation. »

Levochik (d) 31 mai 2010 à 13:38 (CEST)