Discussion:Méthode de Laguerre
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Tout ou partie de cet article est issu de la traduction de l'article sous licence CC-BY-SA « (en) Laguerre's method » dans sa version du 9 décembre 2005 à 14:49.
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Bonjour,
La présentation actuelle du principe de la Méthode de Laguerre est relativement dévalorisante pour celle-ci compte tenu de sa portée effective. En disant "... solution d'une équation de la forme p(x) = 0 ... Soit p un polynôme. Soit x0 un réel supposé être une valeur approchée d'une racine de p" ceci incite à penser que le champ d'application de la méthode est limité à l'ensemble des réels.
En réalité(*) la relation récurrente qui fournit à chaque itération une valeur de plus en plus précise que la valeur approchée x0 s'applique tout aussi efficacement aux polynômes à racines complexes ou réelles y compris dans le cas de polynômes à coefficients complexes.
Il serait donc préférable de modifier le texte en ce sens pour mettre en évidence la portée réelle du champ d'application.
Ceci complète la proposition de rectification que j'ai faite à la rubrique "Théorème de Laguerre" et je suggère en outre de regrouper la rubrique "Méthode de Laguerre" avec celle du théorème.
(*) Comme preuve ceci m'a permis de mettre au point un logiciel qui fournit de façon récurrente toutes les racines de tels polynômes à partir des bornes u,v considérées comme valeurs approchées des racines extrêmes du polynôme initialement de degré n ... et dont la résolution passe au degré n-2 à chaque boucle intermédiaire. En fait tout se comporte comme si les nombres réels n'étaient, après tout, que des nombres complexes dont la partie imaginaire est nulle. Je tiens ce logiciel à la disposition de toute personne curieuse.
Salutations distinguées. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 82.67.36.31 (discuter), le 3/4/2007.
Signe du radical[modifier le code]
Comme le montre la page italienne du même article, la correction apportée à l'itération i pour fournir l'estimé de l'itération i+1 dépend, au numérateur, de la valeur du polymone, ... dont on s'approche du zéro. Il arrive que combiné à une division par un GRAND nombre, cette correction devient numériquement nulle, soit que x/i+1/ == x/i/, et ce, sans que P(x) ne soit effectivement aussi proche de zéro qu'il ne le serait pour une autre valeur voisine de x/i/ (de par la nature même des polynômes avec puissance élevée). Il est alors possible de considérer le signe du radical au dénominateur de sorte que le dénominateur soit relativement petit ( mais encore grand par rapport à p(x)) pour obtenir une correction non nulle à mesure que les itérations progressent en précision. Numériquement, il s'agit de comparer x/i+1/ avec x/i/ et s'ils sont égaux, effectuer une tentative avec la plus petite valeur possible pour le dénominateur, et non avec la plus grande valeur possible du dénominateur tel que suggété et ce, justement, pour optimiser la stabilité numérique.