Discussion:Hôtel de Hilbert

Paradoxe ?

Où est le paradoxe ? Il faut le faire apparaître quelque part ! C'est à dire, construire une contradiction.   <STyx @ 5 juin 2006 à 18:44 (CEST)

Je suis fontamentalement d'accord. J'avais écrit la phrase Rien ne vaut une bonne formalisation de ces problèmes et c'est ce que propose la théorie des ordinaux!, mais on l'a supprimée. (-: Pour certains, c'est effectivement mieux de faire planer du mystère, là où il n'y en pas. Ca rend les mathématiques et la logique un peu plus ésotériques et moins accessibles au commun des mortels. Pierre de Lyon 6 juin 2006 à 17:12 (CEST)

Il semble clair au commun des mortels qu'une hotel complet pouvant acceuilir ne serait-ce qu'une personne est deja paradoxal. Je rappelle que paradoxe signifie etymologiquement : opposé au sens commun. Trop de gens font l'amalgame paradoxe / preuve de l'absurde. Ici il apparait juste que la notion flou d'infini n'est pas assez précise pour raisonner. Et ce n'est pas pour "patcher" un bug des mathématiques qu'on introduit les ordinaux mais bien pour manipuler plus facilement ces notions, ce qui rejoint la phrase de Pierre. Marc 7 juin 2006 à 14:02 (CEST)

L'expression "paradoxe mathématique" me semble, elle, bien faire référence à une contradiction. Par exemple le paradoxe des anniversaires (ce sont des maths, il est bien connu sous ce nom, ce n'est pas une contradiction) : je peux me tromper mais je crois ne jamais l'avoir entendu appelé "paradoxe mathématique". La phrase d'introduction de l'article est de toute façon peu claire. Proz 3 août 2006 à 21:32 (CEST) (j'avais tort : ça se dit dans les deux sens). Proz (d) 15 mars 2009 à 21:19 (CET)

Quelques interrogations

L'article me laisse un peu perplexe :

• Il y a une erreur me semble-t-il dans le deuxième exemple, qui manifeste une bijection entre N et 2×N, disons {0,1}×N, pas entre N et N². Pour N et N², il faut faire venir ω cars avec ω places et itérer le procédé. Je ne corrige pas [corrigé depuis]: je ne sais pas quels exemples avait pris Hilbert (mais ça devait être juste !). Il dervait d'ailleurs avoir une référence.
• Dans la partie sur les réels : il faudrait dire dans l'article pourquoi un nombre tel que r existe. Ensuite, pourquoi numéroter les chambres par des ensembles d'entiers (et pas des suites infinies de chiffres, ou même des réels de [0,1] tant qu'on y est) ? Pour tout dire, dans l'état je ne vois pas bien en quoi ces bus et ces hôtels aident à comprendre quoi que ce soit sur la non-dénombrabilité des réels, l'équipotence entre P(N) et [0,1], et l'hypothèse du continu (qui de plus n'est pas expliquée de façon correcte, "différent" ne suffit pas).
• Variante de Gamow : on est sensé être déstabilisé par quoi ? En tout cas écrit comme ça la déstabilisation du lecteur n'a rien de garantie ! Peut-être oralement est-ce le cas ?

Proz 3 août 2006 à 21:32 (CEST)

En ce qui me concerne, l'article me parait n'avoir qu'un intérêt historique et ce cas devrait avoir une référence, mais il n'est pas très profond et n'est pas remarquablement bien écrit. Pierre de Lyon 16 décembre 2006 à 10:50 (CET)

$\ 2\infty =\infty$

J'ai enlevé l'égalité $\ 2\infty =\infty$ qui n'a pas vraiment de sens. Dans les ordinaux on a $\ \alpha +\alpha \not =\alpha$ si $\alpha$ est infini. N'abusons donc pas de ces notations sans signification. Pierre de Lyon 31 janvier 2007 à 17:31 (CET)

Variante de Gamow

Bonjour,

Je suis le seul à penser que la variante de Gamow est anecdotique, franchement un peu triviale et n'apporte absolument rien au sujet ?

Toots 14 juillet 2007 à 22:52 (CEST)

Tu n'es pas le seul... Dans le même genre, j'ai 4 doigts à la main gauche : le premier, le second, le deuxième, le troisième, le quatrième (il faut les montrer un par un...). Très drôle, non ? --Tchai 6 février 2008 à 21:55 (CET)

Continu

Dan le même genre d'idée, la partie sur le continu n'est pas non plus très convaincante. Il n'y a de toute façon aucune source, mais est-ce que quelqu'un a vu ça ailleurs ? Proz (d) 6 février 2008 à 22:54 (CET)

J'avais entendu une autre formulation : chaque membre du groupe a un badge constitué d'une suite (infinie) de 0 et de 1, toutes les suites sont présentes. Un peu mieux que le car « tordu ». Dans tous les cas ça fait partie du folklore, non ? Difficile à sourcer. --Tchai 6 février 2008 à 23:09 (CET)

Ça ne marche pas : si on liste toutes les suites infinies de 0 et 1, il est possible de construire, par la diagonale de Cantor, une suite qui n'est pas dans la liste--Jean-François Clet (discuter) 26 janvier 2018 à 10:53 (CET)

Je ne connais pas en tout cas (c'est pour ça que je demande). Comme ça semble venir de Hilbert il doit bien y avoir une source (peut-être pas écrite par lui) qui permettrait d'éliminer les dérives. Ca marche assez bien pour le dénombrable, mais ensuite ... Proz (d) 7 février 2008 à 20:16 (CET)

A mon sens, le but du paradoxe est de démontrer que tous les ensembles infinis démontrables : ensemble des entiers, ensemble des rationnels (P/Q ou P et Q sont entiers, ensemble des vecteurs {Q₀, Q₁, Q₂ ... Q_n} ou tous les Q sont entiers ...) ont le même "cardinal", que l'on à coutume de désigner par " l'infini ". Par contre, certains ensemble comme l'ensemble des nombres réels (qui contient des nombres irrationnels comme √ 2, des transcendants comme π ou e, et encore bien plus...) ne sont pas dénombrable (voir la diagonale de Cantor) et ont donc un cardinal "plus grand que" l'infini : Si un groupe de touristes "numérotés" par tous les nombres réels entre 0 et 1 se pointe devant la porte de l'hôtel, ils ne pourrons jamais tous y trouver une chambre.
Ceci dit, je pense avoir imaginé un type d'hôtel qui semble pouvoir héberger un groupe de clients numérotés par tous les nombre réels, (du moins entre 0 et 1) mais j'ai du travail par ailleurs, expliquerais plus tard
--Jean-François Clet (discuter) 20 février 2018 à 19:10 (CET)

Le corps des nombres réels calculables qui contient des nombres irrationnels comme √ 2, des transcendants comme π ou e, et encore bien plus... est dénombrable. Les nombres qui ne sont pas dénombrables et qu'on ne peut pas vraiment décrire, méritent-ils que l'on sophistique l'hôtel de Hilbert ? --Pierre de Lyon (discuter) 21 février 2018 à 09:48 (CET)

Oui, enfin, c'est pas si simple, parce que le dénombrement des réels calculables n'est pas effectif (sinon, on pourrait utiliser l'argument diagonal pour construire (et calculer) un réel calculable non dans la liste...). Et inversement, la constante de Chaitin est justement un exemple classique (et important) de réel explicite non calculable. Mais en effet, tout cela dépasse largement le cadre de cet article.--Dfeldmann (discuter) 21 février 2018 à 11:50 (CET)

Refonte

J'ai repris l'article : d'après les quelques lignes du livre de Gamow, qui semble à l'origine de la chose, il s'agit de cardinaux et pas d'ordinaux. Les notations (non usuelles) n'apportaient rien de toute façon. Je ne vois pas que le livre contienne la variante qu'il était supposé contenir d'après une version antérieure (voir ci-dessus, c'était déjà supprimé). les cas n -> n+1 et n -> 2n sont les seuls traités. Proz (d) 15 mars 2009 à 21:17 (CET)

Payer la note d'hôtel

Le propriétaire demande à chaque client de payer une note de 100 €, Chaque client n'a qu un euro en poche, mais en se cotisant il arriveront tous à payer.
Par exemple, le client de la chambre numéro zéro demande un euro à chaque client des chambres numéro 1 à 99, il a bien alors 100 euros (99 + 1) pour payer sa note. Le client de la chambre 1 demande un euro à chaque client des chambres numéro 100 à 199, le client de la chambre 2, un € des clients des chambres 200 à 299 etc.

Si l'hôtelier présente une note infinie, je crois que les clients pourrons encore tous la payer, mais je ne me rappelle plus selon quel processus (c'est toutefois possible car infini multiplié par infini égale infini).

Ceci dit, je pense comme certains que l'Hôtel de Hilbert n'est pas un paradoxe au sens logique (comme les paradoxes du menteur, du barbier ou de Newcomb), mais une simple extension des maths à un domaine hors de notre expérience quotidienne.

--Jean-François Clet (discuter) 2 novembre 2017 à 12:05 (CET)

 Jean-François Clet : Je suis d'accord avec la dernière affirmation. Pour le reste, je vous renvoie à l'article 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯. En effet, que se passe-t-il si l'hôtelier présente une facture de $-{\frac {1}{12}}$? --Pierre de Lyon (discuter) 2 novembre 2017 à 14:11 (CET)

Euh, je crains qu’il n’y ait là qu’une plaisanterie: l’hôtel de Hilbert est un moyen de rendre concret des bijections entre ensembles infinis, pas de sommet des séries divergentes…—Dfeldmann (discuter) 2 novembre 2017 à 14:47 (CET)

Ca n'est pas la définition qu'en donne l'article: « L'hôtel de Hilbert, ou hôtel infini de Hilbert, illustre la propriété paradoxale des ensembles infinis en mathématique, ». Or la sommation de 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ est bien une propriété paradoxale d'un ensemble infini. Il faut donc réviser l'introduction, compte-tenu de vos deux remarques pertinentes, à savoir que l'hôtel de hHilbert n'est pas un paradoxe. --Pierre de Lyon (discuter) 2 novembre 2017 à 16:33 (CET)

Ah non… D’une part, c’est une propriété paradoxale (le fait que le tout soit égal à une de ses parties), mais il y en a bien d’autres (je te suggère, par exemple, d’aller voir le paradoxe de Banach-Tarski), d’autre part le fait qu’on puisse sommer une série divergente et obtenir des résultats surprenants est peut-être paradoxal, mais sûrement pas lié aux propriétés de l’infini mathématique.—Dfeldmann (discuter) 2 novembre 2017 à 17:15 (CET)

Je pense que c'est bien un "paradoxe" au sens étymologique "contre l'opinion", comme il y en a en effet bcp. Le lien avec les sommations me semble intéressant pour des réflexions personnelles (ou comme ici sur la pdd de l'article), mais ce n'est certainement pas à développer dans cet article qui parle plus de la notion de somme (simple et non infinie) sur des nombres ordinaux (eux infinis) ;-). --Epsilon0 (discuter) 3 novembre 2017 à 00:17 (CET)

"Paradoxe" au sens étymologique "contre l'opinion", alors tout est paradoxe : "La Terre et ronde", "L'homme est cousin du singe", "il est impossible de dépasser la vitesse de la lumière", "la chaleur, c'est du travail" ou même le désormais banal "E =mc²" ne sont pas du tout du sens commun.

Note Infinie
Pour que chaque occupant puisse payer une note infinie, je me demande comment je n'y ai pas pensé tout de suite : Supposons que les clients de l'hôtel soient venus dans une infinité d'autocars infinis ; on a vu qu'ils trouvaient tous une place. Il suffit à l'occupant de la chambre N de demander un euro à tous les occupants venus par le car numéro N.
--Jean-François Clet (discuter) 3 novembre 2017 à 15:58 (CET)

Très bien vu, la parenthèse sur la note d'hôtel. Cela ne vous fait pas penser au jeu de l'avion? on sait bien qu'en théorie ça fonctionne.. mais seulement au début. quand le bassin de population s'épuise, soit parce qu'il s'épuise vraiment soit parce qu'une part de la population s'éduque et évite de participer au système, celui-ci s'effondre. D'autre part, demander aux autres clients (de nombre infini) de payer une partie de sa note (infinie) reviendrait à ce que chaque client paye une note infinie. 83.77.141.229 (discuter) 11 janvier 2018 à 10:54 (CET)

Exact : le jeu de l'avion (ou la pyramide de Ponzi) fonctionne, mais seulement au début de l'éternité. Si le nombre de gogos est fini, ça s'écroule (on pourrait embrayer sur la question de la croissance infinie dans un monde fini).
Ajoutons uns clause au règlement intérieur de l'hôtel : " Il est strictement interdit aux clients de collecter une somme supérieure à celle nécessaire au règlement de la note ".

Par contre : "demander aux autres clients (de nombre infini) de payer une partie de sa note (infinie)" peut se faire en demandant une somme fine (et aussi petite que l'on veut) à chaque cotisant ; mais pour le démontrer, il aurait fallu que soit développé le cas du nombre infini d'autocars amenant chacun un nombre infini de clients
- Je développe (si j'ai le temps).
Arrivent un nombre infini d'autocars numérotées 1, 2, 3... ∞ chacun avec les passagers numérotées 1, 2, 3... ∞.
On envoie : (par exemple)
- le passager 1 du car 1 dans la chambre 1
- le passager 2 du car 1 dans la chambre 2
- le passager 1 du car 2 dans la chambre 3
- le passager 3 du car 1 dans la chambre 4
- le passager 2 du car 2 dans la chambre 5
- le passager 1 du car 3 dans la chambre 6
- le passager 4 du car 1 dans la chambre 7
- le passager 3 du car 2 dans la chambre 8
- le passager 2 du car 3 dans la chambre 9
- le passager 1 du car 4 dans la chambre 10
- ...............
Ainsi, si grands que soient le numéro du client et celui de son autocar, il lui correspondra toujours une chambre et une seule.

J'en reviens à al note infinie...
Si le client de la chambre N demande un € de tous les passagers du car N, il récoltera bien ∞ €, mais chaque passager n'aura à débourser qu 1 €
--Jean-François Clet (discuter) 20 janvier 2018 à 13:31 (CET)

Et puis non : c'est pas réaliste !
L'hôtelier ne gagnerait rien à réclamer une note infinie de chaque client. Il n'aurait qu'a demander une somme arbitrairement petite (ne serait-ce qu'un millionième de centime) à chacun pour rassembler dans ses coffres une somme infinie. Alors, quelque soient les sommes prélevées pour le fonctionnement de l'hôtel, il restera toujours infini €.
--Jean-François Clet (discuter) 9 avril 2018 à 14:40 (CEST)

on oublie le temps de propagation?

tout ça c'est bien joli, mais ça implique que les temps de propagation sont nuls (vraiment nuls, même pas infinitésimaux)

en effet, l'hotelier peut demander au client A de la chambre 1 de déménager dans la chambre 2. le client A peut soit faire ses affaires et ensuite aller à la chambre 2 pour demander au client B de faire aussi ses affaires et les déplacer à la chambre 3 (ce ne peut être le gérant qui le fait, car sinon il n'est plus ne mesure de recevoir les nouveaux clients), soit d'abord avertir le client B puis revenir vers sa chambre pour faire ses valises.

le client A ne peut entrer dans la chambre 2 tant que le client B n'en est pas sorti, mais le client B ne peut en sortir tant que la chambre 3 n'a pas été vaquée par le client C, etc...

au final, les clients passent leur temps à faire et défaire leurs valises, à faire des allers-retours entre leur chambre actuelle et la suivante, mais en tout cas pas à dormir.

dans ces conditions c'est beaucoup plus simple (et confortable) de dormir dans le bus : chacun y a son siège, les valises sont en soute, et la route vous berce.

le "paradoxe" ne tient que parce qu'on a fait abstraction d'une partie fondamentale de l'information, sans laquelle l'exercice n'a aucune (mais vraiment zéro) valeur pratique et une valeur théorique vraiment très relative. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par l'IP 83.77.141.229 (discuter), le 11 janvier 2018 à 10:48 (CET)

Ou est le problème ?
L'hôtelier dispose d'un micro relié à un haut-parleur dans chaque chambre, il peut ordonner à tous les clients de passer d'une chambre à l'autre en un temps fini sans avoir a se déplacer dans tout l'hôtel
Arrive un autocar infini ? Il lance un message : "Les clients sont priés de quitter leur chambre dans un délai d'une heure pour aménager dans la chambre de numéro double de celui de la chambre qu'ils viennent de quitter". L'occupant de la chambre N sait qu'il a une heure pour faire ses bagages (et laisser éventuellement la chambre disponible au client N/2), et se rendre à la chambre 2N. Le tout est que le temps de propagation du message de la chambre N à la chambre 2N reste petit devant le temps que met le client pour passer d'une chambre à l'autre. Peut-être faudra-t-il rajouter au règlement interne de l'hôtel : "Il est strictement interdit de courir dans le couloir à une vitesse supérieure à celle de la lumière "
--Jean-François Clet (discuter) 20 janvier 2018 à 14:59 (CET)

Si sa sono dessert toutes les chambres, cette simple annonce consomme une quantité infinie d'électricité. Ramsès Deux (discuter) 3 février 2022 à 10:47 (CET)

Hôtel avec un nombre infini non dénombrable de chambres

Proposition d'agrandissement de l'Hôtel de Hilbert.

Construisons un couloir déservant dix chambres, numérotées de 0 à 9.

Construisons dix couloirs identiques, numérotés de 0 à 9. Les cent chambres, formant un étage, seront donc numérotées 00, 01, 02,... 97, 98, 99 le premier chiffre étant le numéro du couloir, le second, celui de la chambre.

Construisons un bâtiment de dix niveaux identiques, de 0 (rez-de-chaussé) à 9 (9^eme étage) : les mille chambres seront numérotées de 000 à 999 (numéro de l'étage, du couloir, de la chambre).

Construisons une barre dix bâtiments identiques numérotés de 0 à 9 : dix-mille chambres numérotées de 0000 à 9999 (numéro du bâtiment, de l'étage, du couloir, de la chambre).

Construisons dix barres de bâtiments identiques numérotées de 0 à 9 : cent-mille chambres numérotées de 00000 à 99999 ...

Et ainsi de suite, jusqu'à l'infini.

Chaque chambre sera donc repérée par une suite infinie de chiffres entre 0 et 9, devant laquelle il suffit de mettre "0," pour avoir l'écriture décimale d'un nombre réel entre 0 et 1.

Il y aura donc bien "autant" de chambres que de nombres réels entre 0 et 1, mais savoir si tous les clients repérés par un nombre réel ϵ [0, 1] pourront y entrer... c'est peut-être pas évident.

--Jean-François Clet (discuter) 9 avril 2018 à 14:40 (CEST)

Ne pensez-vous pas qu'avec votre construction, il y aura plus de chambres que de nombres réels entre 0 et 1 ? --Pierre de Lyon (discuter) 11 avril 2018 à 11:50 (CEST)

Je ne veux pas jeter un froid, mais pour commencer, où diable est la chambre 010101... (= 1/3) ? D'autre part, si une telle construction était possible, elle impliquerait une possibilité de numéroter (de dénombrer) tous les réels du segment (0,1) (précisément en numérotant les chambres par ordre de construction), et Cantor n'aurait plus qu'à se suicider ...--Dfeldmann (discuter) 11 avril 2018 à 22:01 (CEST)

Il me semble que le numérotation infinie sont acceptée et que la numération est décimale. Mais comme toi, je pense que la numération binaire est préférable. Mais néanmoins il ya un problème avec 0,099999.... et 0,1 ou (0,01111111... et 0,1 en binaire). --Pierre de Lyon (discuter) 13 avril 2018 à 19:38 (CEST)

Les nombres du genre 0,0999999... = 0,10000... (ou en binaire 0,01111... = 0;1000..) sont tous des rationnels, ils sont donc dénombrables ce qui fait qu'ils sont infiniment "moins nombreux" que les nombres réels : on peut les négliger.
--Jean-François Clet (discuter) 16 avril 2018 à 22:19 (CEST)

Bonjour, j'observe les échanges dans cette section avec intérêt mais j'ai du mal à comprendre l'objet l'objet de la discussion :

• Si c'est pour étendre l'exemple de Hilbert au delà du dénombrable, tb, ce me semble intéressant, mais ce n'est seulement à mentionner sur wikipédia si des sources académiques en parlent, sinon c'est du WP:TI
• Si c'est pour tenter de démontrer que N et R peuvent être bijectables, c'est évidement passionnant mais sans doute faux et clairement hors sujet sur wikipédia, toujours selon WP:TI.

Mais j'ai peut être loupé dans cette discussion les points précis qui permettraient d'améliorer l'article. Cordialement, --Epsilon0 (discuter) 16 avril 2018 à 23:05 (CEST)

Proposition d'anecdote pour la page d'accueil

Une anecdote fondée sur cet article a été proposée ici (une fois acceptée ou refusée, elle est archivée là). N'hésitez pas à apporter votre avis sur sa pertinence, sa formulation ou l'ajout de sources dans l'article.
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Hôtel à n-dimensions

La perception d'un hôtel linéaire est intéressante mais si en 1 dimension le client de la chambre x sera relogé dans la chambre 2x, dans un hôtel à deux dimensions où reloger de manière optimale le client de la chambre x +iy ? Idem si on monte à trois dimensions, où reloger de manière optimale le client de la chambre x + iy +jz ? Enfin si on a un hôtel à n-dimensions, n tendant vers l'infini, où reloger de manière optimale le client d'une de ses chambres ? Hoggan (discuter) 5 mars 2023 à 22:41 (CET)