Discussion:Groupe de Prüfer

Suite ascendante

Est-ce que ce ne serait pas "plus parlant" de dire : G est la limite inductive du système (indexé par $\mathbf {N}$) des $\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z}$, muni des morphismes (injectifs) $\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} \to \mathbf {Z} /p^{m}\mathbf {Z} ,{\overline {k}}\mapsto {\overline {p^{m-n}k}}$ pour $n\leq m$ ? Il est vrai que c'est moins fort, mais seulement en apparence. Anne Bauval (d) 2 décembre 2010 à 19:24 (CET)

Je trouve ta question à l'instant, alors que je suis au bureau. (Je ne suis pas resté à mon PC très tard hier.) Je regarderai ça ce soir, avec mes manuels à portée de main pour chercher une source événtuelle. Marvoir (d) 3 décembre 2010 à 12:06 (CET)

J'ai cherché des références, mais je n'ai rien trouvé. Ni Rotman, ni Scott, ni Calais, ni Rose ne parlent des limites inductives. Lang et Bourbaki en parlent, mais, si j'ai bien cherché, ne font pas le lien entre p-groupe de Prüfer et limite inductive. La Wikipedia anglaise fait le lien entre p-groupe de Prüfer et limite inductive, mais ne donne pas de référence précise à ce sujet. La notion de limite inductive me semble déjà fort élaborée. Il me semble qu'une description d'un groupe comme réunion d'une suite croissante de sous-groupes d'un certain type risque moins d'effaroucher certains lecteurs qu'une description comme limite inductive. Je laisserais donc la description comme réunion d'une suite ascendante, quitte à parler aussi de limite inductive. Marvoir (d) 3 décembre 2010 à 19:26 (CET)

Merci pour cette recherche et ok pour ton argument de "moins effaroucher". Perso j'étais à l'aise avec la notion de lim inductive mais en première lecture j'avais mis un peu de temps à me convaincre qu'il n'y avait en fait (à iso près) qu'une seule "suite ascendante" possible : peut-être peux-tu (sans nécessairement parler de lim ind) le préciser, d'une manière ou d'une autre ? Anne Bauval (d) 3 décembre 2010 à 22:42 (CET)

Et puis non finalement : si aucun de tes bouquins n'est plus explicite sur la façon de construire ce groupe "de l'intérieur", en vertu de quoi insisterais-je pour parasiter ton article par des informations non sourcées ? le lecteur "profitera" mieux en réfléchissant. Anne Bauval (d) 4 décembre 2010 à 08:24 (CET)

Ce n'est pas "mon" article, je ne prétends à aucun droit de propriété dessus ! Tu n'es pas la seule à trouver naturel de voir le p-groupe de Prüfer comme limite inductive, puisque la Wikipédia anglaise le fait aussi. Donc.

Si je comprends bien, tu voudrais qu'on prouve (ou qu'on dise ?) que deux p-groupes dont chacun est réunion d'une suite ascendante de sous-groupes cycliques d'ordres p⁰, p¹ etc. sont isomorphes. D'une certaine façon, c'est dit, puisqu'il est dit qu'un groupe est réunion d'une telle suite ascendante si et seulement si c'est un p-groupe de Prüfer.

Baumslag et Chandler (référence donnée dans l'article) le prouvent en montrant qu'un groupe qui est réunion d'une telle suite ascendante est isomorphe à Z[1/p]/Z (où Z[1/p] désigne le groupe additif des nombres rationnels de la forme a/p^r, avec a entier relatif et r naturel). La démonstration n'est pas difficile mais longuette et un peu technique.

J'ai d'ailleurs l'impression qu'on pourrait aussi utiliser le théorème d'après lequel tout homomorphisme f de groupes abéliens qui arrive dans un groupe divisible peut se prolonger à tout groupe abélien qui contient le groupe de départ de f. (Rotman 1999, théor. 10.23, p. 320.) Si G est réunion d'une suite ascendante C₀, C₁, ... du type en question, considérer un homomorphisme injectif f de C₁ (groupe d'ordre p) dans le p-groupe de Prüfer. Un tel homomorphisme, qui existe évidemment, peut donc se prolonger en un homomorphisme de G tout entier dans le p-groupe de Prüfer. C₁ est le seul sous-groupe d'ordre p de G. (En effet, deux tels sous-groupes sont contenus dans un même C_r, or ce C_r, étant cyclique, n'a qu'un sous-groupe d'ordre p.) Tout élément non nul x de G a donc un "multiple" non nul dans C₁, donc g(x) a un "multiple" non nul et n'est donc pas nul, ce qui prouve que g est injectif. D'autre part, si x est un élément d'ordre p^r de G, avec $r\geq 1$, alors p^r-1x est un élément non nul de C₁, donc p^r-1g(x) est un élément d'ordre p du p-groupe de Prüfer, donc g(x) est d'ordre p^r. Comme le p-groupe de Prüfer comprend exactement (p-1)p^r-1 éléments d'ordre p^r (voir par exemple sa version en nombres complexes), g est surjectif et est finalement un isomorphisme. Mais je n'ai pas de référence pour cette démonstration... Marvoir (d) 4 décembre 2010 à 10:08 (CET)

P.S. Ce que tu souhaites, c'est peut-être qu'on note que si un groupe G est réunion d'un suite ascendante C₀, C₁, ..., où, pour chaque n, C_n est cyclique d'ordre pⁿ, cette suite est unique. Cela se prouve par un raisonnement que j'ai tenu plus haut : C_n est le seul sous-groupe d'ordre pⁿ de G, car deux tels sous-groupes doivent être contenus dans un même C_r et ce C_r, étant cyclique, n'a qu'un sous-groupe d'ordre pⁿ. Marvoir (d) 4 décembre 2010 à 12:53 (CET)

Bien vu, le retour à l'envoyeur de WP:NHP  ! Pas "ton" article, autant pour moi (à propos, tu as fait un lapsus ici sur la graphie de Genevoix, mais je n'ai pas osé rectifier). Je n'ai pas les idées claires sur ce que je souhaitais et il faut que je te relise, mais en gros c'était plutôt dans le sens de ton P.S., en un peu plus "constructif" . Anne Bauval (d) 5 décembre 2010 à 21:00 (CET)

Merci de m'avoir signalé mon lapsus, j'ai corrigé. Pour la limite inductive, je te laisse faire à ton idée. (Je dois avouer que je n'ai guère pratiqué les limites inductives.) Marvoir (d) 5 décembre 2010 à 21:55 (CET)