Discussion:Groupe abélien

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Tentative de restructuration[modifier le code]

En repompant des éléments de l'article anglais Schtong 16 mars 2007 à 17:20 (CET)

Rang[modifier le code]

Il faudrait clarifier ce que veut dire la notion d'indépendance linéaire, quand on est dans un groupe, et pas dans un espace vectoriel. Ensuite, je peux imaginer pourquoi le groupe des entiers est de rang 1, mais pour les rationnels, je ne vois pas. Une démonstration? PierreL (d) 11 janvier 2008 à 11:38 (CET)

Si x=p/b et y=q/b sont deux rationnels, écrits avec même dénominateur, alors ils admettent la relation de dépendance linéaire qx-py=0. Cela dit, je n'interviens pas sur l'article, n'étant pas très sûr des terminologies pour les groupes de type infini. Salle (d) 11 janvier 2008 à 13:04 (CET)
Je n'ai jamais vu un auteur employr cette terminologie et cette notion du fait de son ambiguité. Si par exemple l'on prend Z/6Z d'après l'article le rang est de deux. Mais certains objecteraient que la famille {1} est une base au même titre que {2,3} et que dire que c'est celle de cardinal maximal qui compte, c'est quelquechose de trop subjectif. Je pense que l'on devrait retirer cette section ou l'agrémenter de bcp de remarques pour les raison su-citées. Noky (d) 11 janvier 2008 à 14:07 (CET)
Z/6Z est de torsion : aucune famille n'est libre, et il est de rang 0. Plus généralement, dans le cadre des groupes abéliens de type fini, le rang est bien défini, et : c'est le plus grand entier r tel que Z^r s'injecte dans le groupe. Salle (d) 11 janvier 2008 à 14:24 (CET)
On n'a pas la même définition de libre, mais bon ce n'est pas grave. Ok maintenant je comprends ce qu'il veut dire par rang. Il parle de rang pour les groupes libres et dans ce cas là oui ça me rappelle des choses. Mais peut-être peut-on faire le lien avec le rang du groupe en tant que -module. Noky (d) 11 janvier 2008 à 17:24 (CET)
Oui, c'est ça : le rang d'un groupe abélien, c'est le rang en tant que Z-module (au moins en type fini). Salle (d) 11 janvier 2008 à 17:35 (CET)

« Informatique »[modifier le code]

Fschwarzentruber a ajouté ceci, dans une nouvelle section intitulée « Informatique » : « Szmielew (1955), étudiant de Tarski, a démontré que la théorie du premier ordre des groupes abéliens est décidable (contrairement à la théorie du premier ordre des groupes)[1] ».

  1. Wanda Szmielew, « Elementary properties of Abelian groups », Fundamenta Mathematicae, vol. 41, {{Article}} : paramètre « date » manquant (ISSN 0016-2736, lire en ligne)

Le titre « Informatique » convient-il à ce contenu ? Ne vaudrait-il pas mieux mettre « Théorie de la décidabilité » ? (Et accessoirement, Wanda ne serait-elle pas une étudiante plutôt qu'un étudiant ?) Marvoir (discuter) 5 mai 2016 à 09:32 (CEST)

Merci à toi.
  • Le titre que tu proposes est bien (plutôt "Décidabilité").
  • Selon [[1]], il s'agit bien d'une étudiantE. :)
Bonne journée.
--Fschwarzentruber (discuter) 5 mai 2016 à 09:37 (CEST)

Guin & Hausberger : rôle de AC dans la "portabilité" de la structure ?[modifier le code]

Dans la série "exemples" j'ai cité cette source étayant que tout ensemble serait "groupisable" ; j'ai l'impression que cela suppose l'axiome du choix mais comme je ne le trouve pas dans la source .... Michel421 (d) 10 août 2018 à 00:13

J'ai trouvé sur MathOverflow la preuve (très jolie) et sa ref : (en) A. Hajnal et A. Kertész, « Some new algebraic equivalents of the axiom of choice », Publ. Math. Debrecen, vol. 19,‎ , p. 339-340 (lire en ligne) montrent (de) même que dans ZF, l'existence sur tout ensemble non vide d'une structure de demi-groupe simplifiable implique l'axiome du choix. Anne, 14 h 19
P.S. Mais je ne comprends pas la dernière ligne de cette ref : tout ensemble infini est « corps-commutatif-isable », mais comment un ensemble fini dont le cardinal n'est pas une puissance d'un nombre premier pourrait-il être un anneau unitaire intègre (donc un corps commutatif) ? 14 h 50

Merci pour la réponse, et la ref Hajnal-Kertész ; quant aux deux dernières questions, je ne saurais dire ... Cordialement Michel421 (d) 10 août 2018 à 21:30 (CEST)

Deux ? Une ! Anne, 11/8, 0 h 37