Discussion:Fonction de répartition

Comment détermine-t-on concrètement une fonction de répartition (exemple???) Merci

Sur les variables aléatoires continues.

Une variable aléatoire réelle X est dite continue si sa fonction de répartition est continue sur $R$. Dans les applications, les exemples les plus courants de variables aléatoires réelles continues sont les variables aléatoires à densité. Cependant il y a des exemples de variables aléatoires réelles continues qui ne sont pas à densité. L'escalier de Cantor est un exemple de fonction de répartition continue mais dont la dérivée est presque partout nulle. Ainsi, la formule

$F_{X}(x)=\int _{-\infty }^{x}f_{X}(t)\,dt.$

ne vaut pas pour les variables aléatoires réelles continues dont la fonction de répartition est l'escalier de Cantor : bien que la loi de probabilité associée soit continue, cette loi ne possède pas de densité. Ainsi la formulation précédente de l'article fonction de répartition, stipulant que la formule ci-dessus vaut pour toutes les variables aléatoires réelles continues, était inexacte. --Chassaing 29 juin 2008 à 17:44 (CEST)

en fait, concernant les variables aléatoires, continue semble avoir une signification qui varie selon les auteurs. Je continue à préférer la définition ci-dessus, mais ce qui compte, ce n'est pas ce que je préfère. Il faut que je fasse une enquête pour déterminer s'il y a un consensus, par exemple, qu'enseigne-t-on usuellement dans nos universités (parisiennes, par exemple) ...--Chassaing 2 août 2008 à 11:08 (CEST)

Améliorations possibles et-ou nécessaires

1. La classification des v.a. en fonction des propriétés de la fonction de répartition est à développer-préciser.
2. En particulier, le lien à densité-diffus et le statut de l'escalier de Cantor comme contrexemple ne sont pas aussi clairs que possible.
3. La terminologie diffuse-sans atome est à vérifier : c'est utilisé mais peut-être pas de manière complètement généralisée.
4. La démonstration des formules de type $P[X<x]=F_{X}(x_{-})$ est à faire, et il faut insérer les autres formules classiques pour les intervalles ouverts, fermés, semi-ouverts etc ...
5. Il faudrait donner la construction explicite de la v.a. ayant pour fonction de répartition une fonction $F$ quelconque satisfaisant les point 1 à 4. Et regarder si il y a lien à insérer vers une page Monte-Carlo, simulation, ou apparentée.
6. Il faudrait insérer le graphe de la fonction de répartition d'une binomiale (avec peut-être la fonction de répartition de la gaussienne en filigrane, de manière à illustrer par avance la convergence en loi). De même le graphe de la fonction de répartition de la loi uniforme sur une progression arithmétique (avec peut-être la fonction de répartition associée à une densité uniforme en filigrane, de manière à illustrer par avance la convergence en loi). Et le graphe de l'escalier de Cantor, tant qu'on y est.
7. Un paragraphe sur la caractérisation de la convergence en loi via les fonctions de répartitions serait utile. Le lemme de représentation de Skorohod y serait bienvenu.

c'est fait sauf que le lien avec le lemme de représentation de Skorohod n'est pas explicité.--Chassaing 14 septembre 2008 à 11:50 (CEST)

1. Un autre sur la caractérisation de l'ordre stochastique via les fonctions de répartitions serait utile.

--Chassaing 20 juillet 2008 à 10:30 (CEST)

Salut Chassain, tu dois te sentir seul sur cet article donc je viens juste y mettre quelques encouragements et quelques ajouts de faible niveau

• Sur les variables discrètes où S est bien ordonné, j'ai trouvé ta définition juste mais bien compliquée pour une notion relativement simple (on rencontre assez tôt des fonctions de répartition dans le cas où S est fini. J'en ai donc proposé une version plus simple

c'est bien mieux comme ça, en effet.--Chassaing 22 juillet 2008 à 09:39 (CEST)

• Sur les variables dont la fonction de répartition est continue, j'ai vu utiliser le terme de "sans atomes" plutôt que diffus.

j'ai vu "diffus" plus souvent, ce qui doit vouloir dire que la terminologie n'est pas encore fixée.--Chassaing 22 juillet 2008 à 09:39 (CEST)

• Suivant ton désir, j'ai précisé la relation entre une fonction de répartition et les probabilités de chaque type d'intervalle et ajouté une démonstration sur l'intervalle le plus problématique.

merci.--Chassaing 22 juillet 2008 à 09:39 (CEST)

• Je n'ai aucune référence sur le fait que toute fonction monotone, continue à droite, ayant comme limite en -oo et +oo respectivement 0 et 1 est toujours une fonction de répartition (je suppose que c'est ce que tu veux dire avec ta création d'une variable aléatoire associée à F) Construire la probabilité de chaque intervalle n'est pas le plus dur, vérifier que l'objet créé vérifie les axiomes de probabilité est plus problématique

en fait, on exhibe la variable aléatoire, et comme elle possède une loi et comme cette loi convient, la verification des axiomes n'est pas nécessaire. Ce théorème est incroyablement commode par son côté constructif, c'est le point sur lequel je reviendrai en premier. --Chassaing 22 juillet 2008 à 09:39 (CEST)

• En fouillant dans mes notes de leçons d'agreg, je tombe sur un théorème de décomposition qui indique que toute fonction de répartition est combinaison linéaire d'une fonction de répartition atomique (uniquement composée d'atome) et une fonction de répartition continue. C'est une vague note, sans démonstration mais avec une référence qui me semble un incontournable An Introduction to Probability Theory and Its Applications de William Feller, ouvrage qui m'est hélas inaccessible (physiquement et intellectuellement). Je pense que si tu peux le consulter tu pourrais enrichir l'article avec des sources.

c'est un théorème important, mais qui repose sur le théorème de Borel selon lequel toute fonction monotone est dérivable presque partout, théorème dont la démonstration me semble ardue, de prime abord.--Chassaing 22 juillet 2008 à 09:39 (CEST)

• Ce serait d'ailleurs intéressant de compléter l'article par une bibliographie

OK--Chassaing 22 juillet 2008 à 09:39 (CEST)

• Dernier point : dans certains ouvrages un peu anciens, la fonction de répartition est définie avec une inégalité stricte, la fonction de répartition est alors continue à gauche. Ne faudrait-il pas signaler le problème au moins sous forme de note ?

sûrement (même si la convention semble fixée universellement maintenant).--Chassaing 22 juillet 2008 à 09:39 (CEST)

Ps : j'ai pris tes commentaires pour un appel à contributions mais s'il s'agit seulement d'un pense-bête pour toi, n'hésite pas à effacer ma contribution et bon courage pour ton travail en solitaire

HB (d) 21 juillet 2008 à 16:40 (CEST)

C'était un pense bête mais avec un mince espoir de trouver un interlocuteur, je suis donc agréablement surpris, d'autant que l'article me semble bien amélioré. Pour ma part, je vois ces pages comme un outil de travail accessible et bon marché pour mes étudiants de 3eme année de licence en Mathématiques, donc je planifie de développer encore. Je trouve que c'est un travail de romain, mais ça doit en valoir la peine. Pour ce qui est de la discussion sur le contenu et de la question des références, quand on commence on s'arrête plus, donc j'y reviendrai volontiers, mais vers mi-Aout, car là je dois préparer mon voyage vers les pays de l'Est, sinon c'est le divorce.

A propos, les images créées par Oleg Alexandrov à l'aide de Matlab sont bien plus lisibles: j'aurais aimé obtenir un résultat de ce genre.--Chassaing 22 juillet 2008 à 09:39 (CEST)

Théorème de la réciproque

• N'ayant pas mes livres sous la main, et souffrant de l'infirmité qui consiste à ne pas se souvenir des auteurs des théorèmes, seulement dans de rares cas du contenu des théorèmes, je ne suis pas sûr du nom de ce théorème, ce qui est génant. Je suis par contre sûr de l'importance de ce théorème ... Un travail de bibliographie reste donc à faire.

appellation correcte, semble-t-il--Chassaing 14 septembre 2008 à 11:55 (CEST)

• Je n'aime pas la typographie des exemples de simulation de loi. Il faudrait rajouter à chaque exemple de simulation une ligne de pseudocode, pour donner un look plus appliqué, plus technique, quoi ...

mis sous forme de table, fait--Chassaing 14 septembre 2008 à 11:55 (CEST)

• Il faudrait développer les autres applications.
• Probablement des liens vers d'autres articles manquent.

quelques liens ont été insérés--Chassaing 14 septembre 2008 à 11:55 (CEST)

• Les images créées par Oleg Alexandrov ont disparu ... (puis réapparu)
• Finalement, le tout n'est pas très mûr, mais je n'ai pas d'application permettant de visualiser offline le LaTeX sauce wikipedia. Quelqu'un sait-il si ça existe pour MacOs X Intel ??--Chassaing 31 juillet 2008 à 10:05 (CEST)

Convergence en loi et fonction de répartition

Dans Billingsley, Convergence of probability measures, la convergence en loi n'est pas définie pour les variables aléatoires à valeurs dans un espace métrique $\scriptstyle \ (S,d)\$ parfaitement général. Préciser les propriétés requises. --Chassaing 15 septembre 2008 à 00:33 (CEST)

en fait, si, mais des propriétés genre "séparable" sont requises pour certains théorèmes bien commodes--Chassaing 16 septembre 2008 à 16:17 (CEST)

Orientation

Cet article est trop académique pour une encyclopédie. Deux objections :

• "les auteurs ont les mains pures car ils n'ont pas de mains".... et tant pis pour le curieux voulant s'instruire
• "ne crée nulle entité non strictement nécessaire"

Pour prévenir ce genre d'objections, préciser en quoi le concept

• est utile DANS LA VIE COURANTE : ex : résumer les offres d'un marché ;
• est fertile : médiane ? quantile ?

--Lf69100 (discuter) 19 février 2015 à 11:33 (CET)

Je crois que tu fais la confusion entre cet article, qui parle de probabilité, et un article hélas inexistant en français, traitant de statistique et montrant l'intérêt de l'étude des fréquences cumulées. J'aurais bien proposé l'article anglais en:Cumulative frequency analysis mais il est fortement critiqué pour son titre et son contenu. Un article peu ambitieux, sur la notion de fréquence cumulée et son intérêt pourrait peut-être répondre à ton attente mais les critiques virulentes sur en:Cumulative frequency analysis me font un peu hésiter. D'autres avis ? HB (discuter) 19 février 2015 à 12:01 (CET)