Discussion:Espace dual
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Dual topologique[modifier le code]
Dans le cas d'un espace hilbertien E, il serait probablement indiqué d'introduire le dual topologique de E (espace des formes linéaires continues, et sous-espace de E*) et de signaler que ce dual topologique est canoniquement isomorphe à E.
Vivarés 31 octobre 2005 à 16:44 (CET)
Version anglophone[modifier le code]
De ce qu'il reste dans mes souvenirs, il me semble qu'il serait bon, comme base de cette article, de reprendre une bonne partie de la version anglophone, de meilleure facture à mon goût (extensivité, qualité, précision…). --Moala 31 janvier 2006 à 01:09
Bidual[modifier le code]
Je pense qu'il faudrait dire un mot de l'espace bidual dans cet article. --Tomates Mozzarella (d) 28 novembre 2008 à 22:24
Orthogonal[modifier le code]
D'où viennent ces notations différentes pour l'orthogonal, suivant que l'on se trouve dans E ou dans son dual ? Cela ne me semble ni usuel, ni judicieux, vu la similitude des rôles l'espace et de son dualJaclaf (d) 20 juillet 2011 à 13:40
Exemple : cas d'un espace préhilbertien réel, plongement dans le dual[modifier le code]
Wikinaute très occasionnel here, Dans la version actuelle au 22/02/2016 je cite "Si l'espace vectoriel E est un espace préhilbertien réel [...] on a un moyen naturel de « plonger » E dans E*". C'est vraiment fâcheux comme exemple. Car on a l'impression que c'est le fait d'être préhilbertien qui permet de plonger (et donc qu'il y aurait un argument topologique derrière alors que c'est purement algèbrique) La réalité des choses c'est que premièrement on a toujours un plongement d'un module libre dans son dual complètement canonique ; par ailleurs injectif. En deuxième lieu on peut généraliser légèrement ce plongement canonique et on a accès à toute une classe de nouveaux plongements, dès lors qu'on se donne des formes bilinéaires symétriques. Ces plongements sont effectivement "naturels" connaissant la donnée de la forme bilinéaire symétrique. Ils sont injectifs si la forme bilinéaire est non dégénérée (c'est une définition). Par ailleurs dans le cas d'une FBS positive, être non dégénérée est exactement équivalent à être définie positive, ceci utilise l'inégalité de Cauchy-Schwartz et est sûrement détaillé dans l'article sur les espaces préhilbertiens.
Proposition de changement minimaliste : expliquer juste avant dans "Définitions" qu'un module libre (ou disons 1 ev) se plonge toujours canoniquement (et injectivement) dans son dual.
— Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 2a01:e35:8acb:e0e0:9c3:47e5:cf94:a484 (discuter), le 22 février 2016 à 16:47.
- oui, un module libre ou un ev se plonge dans son dual mais ce plongement n'est pas CANONIQUE.
- Sinon on aurait un isomorphisme canonique entre un ev et son dual, ce qui est "notoirement" faux
- Jaclaf (discuter) 22 février 2016 à 19:58
Bonjour ami wikinaute, précision : ici le qualificatif "canonique", signifie simplement "naturel" au sens informel, attention ! Dans quel autre sens l'avez-vous compris ? Je pense qu'il peut effectivement y avoir ambiguïté : qu'appelez vous canonique dans ce contexte ? Cdt --2A01:E35:8ACB:E0E0:9C3:47E5:CF94:A484 (discuter) 23 février 2016 à 03:47 (CET)
Bonjour. C'est vrai, il faut se méfier du mot canonique. Je, préfèrerais dire par ex. : "la donnée d'une base fournit un plongement de E dans son dual". Il n'y a pas d'isomorphisme canonique entre un ev et son dual : "évident" en dimension infinie puiqu'ils ne sont même pas isomorphes. En dim finie cela signifie qu'il n'y a pas d'isomorphisme ne dépendant que de la structure linéaire, càd équivariant par rapport aux applications linéaries,ouf ! Cdt Jaclaf (discuter) 23 février 2016 à 09:58 (CET)
Transposition[modifier le code]
Sans augmenter excessivement la longueur, on pourrait remarquer, au paragraphe Transposition que le foncteur "transposition" vérifie aussi tid = id et t0 = 0. Comme la somme directe est caractérisée par des égalités purement catégoriques, le foncteur contravariant "transposition" est additif...
D'ailleurs, dans cet ordre d'idées, on pourrait utiliser le même symbole pour la dualité et la transposition. JC.Raoult (discuter) 23 octobre 2017 à 12:01 (CEST)