Discussion:Entier quadratique

Motivation de l'enrichissement

La théorie de Kummer, ainsi que celle des anneaux d'entiers algébriques est vaste et parfois complexe. La dimension deux est un exemple introductif simple. Il me semble un bon tremplin vers le cas général. L'objectif est de donner les résultats principaux de la théorie ainsi que de montrer comment fonctionnent les outils de base comme le discriminant ou la forme trace et enfin de donner les premières petites applications. Jean-Luc W (d) 21 février 2008 à 11:30 (CET)

Vers un traitement plus structuré d'une partie de l'arithmétique algébrique sur WP

Diverses remarques

Deux contributeurs mettent à jour un choix éditorial douteux pour l'article (février 2008) :

Position de Salle

... je te signale dès maintenant un souci que je vois dans la direction que tu fais prendre à l'article corps quadratique. Il y a des sections (propriétés et outils fondamentaux, groupe des idéaux fractionnaires) où tu repasses la théorie générale, parfois sans même particulariser (typiquement, il y a une boîte déroulante avec en projet la démo de un idéal principal possède un inverse dans le groupe des idéaux fractionnaires). Tu sais que je suis toujours un peu réticent sur les articles trop orientés exemple d'une notion plus générale, mais j'ai vraiment du mal ici à voir où le texte est plus accessible que si tu écrivais directement dans groupe des classes, anneau de Dedekind, etc. ? Ne penses-tu pas plus cohérent de transférer le matériel que tu es en train de mettre en place dans les articles plus spécifiques sur chaque notion ? Remarques de Salle

Position de Cgolds

Je trouve vraiment triste de faire porter à de jolis articles des choses lourdes qui seraient bien mieux ailleurs (en plus, cela me semble un peu contradictoire avec ta demande de garder aux articles l'accessibilité maximale). Faire un bon article 'corps quadratique' est une très bonne idée, mais amha, il faudrait plutôt en profiter pour illustrer divers phénomènes comme le suggère Salle et rejeter au cas général des corps de nombres (ou anneau de Dedekind, etc) tous les trucs qui y marchent. Remarques de Cgolds

Réponse

Je suis totalement d'accord, en revanche WP n'a pas à mon avis encore suffisamment réfléchi sur une structure convenable pour l'arithmétique algébrique, l'objectif serait donc de se mettre d'accord sur un plan multi-articles qui tienne la route.

Eléments de réponses

Difficultés

Introduire l'arithmétique algébrique dans WP représente plusieurs difficultés de nature bien différentes :

1. Didactique : Dès que les questions ne sont plus totalement élémentaires, il existe un vaste attirail à mettre en place. En caricaturant, on commence par 50 pages sur les anneaux de Noether, puis 50 sur ceux de Dedekind, puis 50 sur la théorie de Galois, puis 50 sur les corps finis Wedderburn etc... puis 50 sur les subtilités des idéaux, ramifiés de Jacobson et à la fin on résoud une toute petite équation diophantienne. Pendant 250 pages on a pas vu l'ombre d'un rapport avec les entiers naturels.
2. Historique : L'histoire est parfois à l'inverse d'une approche didactique, pour une version simple, il faudrait Noether en 1800 avec ses anneaux, Dedekind en 1820 avec ses anneaux, Kummer 1840 avec des idéaux et enfin Gauss avec ses formes quadratiques. Hélas, l'ordre est inverse. Les ruptures historiques ne sont donc pas toujours au service d'une didactique naturelle.
3. Mathématiques : Les différents concepts s'emboîtent et s'interconnectent. Pour l'instant, pour comprendre la structure de Dedekind il faut maitriser les corps locaux, pour comprendre le groupe des classes il faut avoir compris la ramification, le serpent se mord souvent la queue, n'offrant pas de point d'entrée simple.
4. Etat actuel de WP : Certains articles sont bien faits et comportent de nombreuses informations bien présentées et pertinentes, ne pas s'appuyer sur l'existant serait une erreur.

Tentatives

Le premier niveau contient maintenant des éléments de réponses, il concerne les techniques élémentaires souvent fondées sur la structure des anneaux euclidiens et des groupes cycliques : On y trouve pour le fond idéal premier, idéal principal, anneau euclidien, anneau Z/nZ, Groupe abélien fini, Analyse harmonique sur un groupe abélien fini, Loi de réciprocité quadratique ... pour les synthèses arithmétique modulaire, Théorème des deux carrés de Fermat, pour les exemples Petit théorème de Fermat, Démonstrations du dernier théorème de Fermat, Théorème de Wilson, entier de Gauss, entier d'Eisenstein, Entier de Dirichlet ...

L'objectif à mes yeux est de traiter l'étape d'après, couvrant par exemple l'équation de Pell, x² + n.y² = p si n est plus petit que 10, grand théorème de Fermat avec Kummer, quelques lois de réciprocité... Comment découper ? quels démonstrations mettre en double (une version simple et une plus riche)? Je ne sais pas. Je tente un premier article indépendant. Il devrait permettre de mettre en évidence le deuxième niveau d'articles à enrichir avec une orientation didactique clair et les différents exemples (souvent des équations diophantiennes et des formes quadratiques).

Reste à faire

1. J'ai envie de finir l'article dans la même direction, sachant pertinemment que ce n'est qu'une ébauche. Elle est utile pour y voir plus clair, sauf si quelqu'un propose une meilleure idée.
2. Définir le périmètre avec ses articles de fond et son ordre sous-jacent (ramification après factorisation etc...), ceux plus synthétiques, et ses exemples (comme les démonstrations du dernier théorème de Fermat).
3. Cgolds propose des critères pour savoir si une démonstration reste dans l'article corps quadratique si le gain dans la simplification de la démonstration est suffisant, si la démonstration est plus général, elle migre vers l'article concernée, si le gain est trop faible, elle saute.

Remarques sur l'histoire

Deux stratégies sont possibles. Soit les forces et les compétences de WP sont considérablement renforcées, on peut alors envisager de véritables articles de fonds sur le sujet, soit on reste dans l'état actuel. Si on reste dans l'état actuel, je pense que deux articles (sur une quinzaine envisagé) auront un traitement historique conséquent. Pour l'instant mes idées proviennent de l'évolution du théorème du genre de Gauss sur la classification des formes quadratiques qui se terminerait sur la montée en puissance de la géométrie et les idées développées dans the shaping of arithmetics after Gauss. Jean-Luc W (d) 23 février 2008 à 17:20 (CET)

Entier quadratique ?

Une question peut-être naïve : pourquoi appelle-t-on "entier" quadratique un nombre qui visiblement n'est pas entier ? Une explication sur cette appellation, dès le premier paragraphe, est à mon sens nécessaire. Par ailleurs, l'article me paraît entrer rapidement dans des considérations difficilement accessibles à tous.--Arrakis (d) 25 mai 2008 à 16:53 (CEST)

La réponse provient de la structure d'ensemble. Un ensemble d'entiers quadratiques ressemble à l'ensemble des entiers relatifs. Il existe une addition et une multiplication commutative. L'analogie ne s'arrête pas là : si a.b est différent de 0, alors a et b sont différents de 0, et à part quelques exceptions comme 1 ou -1, les éléments n'ont pas d'inverse pour la multiplication. Plus profondément, il existe un concept qui ressemble à celui des nombres premiers, clé de la structure des entiers relatifs. Je réfléchis à quelque chose d'accessible et te proposerais quelque chose demain pour répondre aux deux points. Ils méritent une réponse pas nécessairement simple à rédiger. Jean-Luc W (d) 25 mai 2008 à 17:24 (CEST)

Merci bcp de ta réponse. Puis-je soumettre un point à ta réflexion en cours : il n'existe pas de page WP consacrée à Nombre quadratique (sauf erreur de ma part, ou à moins que cette notion ne se justifie pas du tout). On est naturellement amené (après recherches) à la page entier quadratique. Ce qui explique ma question initiale. A bientôt.--Arrakis (d) 26 mai 2008 à 08:49 (CEST)

La question que tu poses, à mon sens ne peut être résolue que par une association de deux personnes. Un client qui cherche à comprendre quelque chose à la théorie algébrique des nombres et un sachant qui connait des éléments de réponse. Le client a du mal à y arriver seul car il ne connait pas la réponse, le sachant a autant de mal car il perd de vue que le public n'est pas forcément au courant de toute les subtilités, par d'exemple d'un anneau de Dedekind.

Un théoricien des nombres, si tu lui parles de √5 comme un nombre quadratique, pense dans un premier temps à a + b√5, avec a et b entiers (la majorité des théorèmes portent sur les entiers). Cette structure le satisfait peu, elle n'est pas euclidienne et ne dispose pas de bonnes propriétés. Il pensera alors à l'ensemble a + b√5 avec a et b rationnels, mais pas longtemps. Il considère rapidement aux entiers quadratiques de cette structure, c'est à dire les valeurs a et b rationnels tel que a + b√5 est solution d'une équation du type x^{2 + p.x + q avec p et q entiers relatifs. Cet ensemble, qu'il appelle clôture intégrale contient tout les entiers de la forme a + b.φ ou φ désigne le nombre d'or. Il sait qu'un tel ensemble est un anneau euclidien, il est content car il dispose de nombreux théorèmes pour démontrer des tas de choses. Il pense alors à √5 comme -1 + 2.φ, un sympathique entier quadratique élément d'un anneau convivial.}

En fait, sa logique n'est pas très intuitive. Pour lui le concept n'est pas celui de nombre au sens d'une valeur, mais au sens d'un élément d'une structure algébrique. Dans l'exemple précédent √5, fait partie de trois structures distinctes dont deux seulement sont riches. Comme l'essentiel des théorèmes s'appliquent aux anneaux et que le bon anneau se construit à l'aide du corps des fractions, il considère les deux simultanément.

Comme le fait remarquer Salle, il existe aussi une propriété forte sur le corps des rationnels quadratiques. la valeur √5 est aussi élément du corps Q[χ₅] où χ₅ désigne une racine cinquième primitive de l'unité. Cette extension algébrique est particulière car elle est dite abélienne, on parle ici d'extension cyclotomique. Cette propriété est importante, par exemple dans le cadre de la résolution d'équation algébrique. Cet aspect est encore absent de WP. Une fois encore, ce sont les propriétés structurelles de Q[χ₅] qui sont à l'œuvre. Mais cela devient très subtil et pour moi doit faire l'objet d'un enrichissement de l'article extension quadratique.

En conclusion, dis moi si j'arrive à m'élever à une présentation didactique accessible pour le public de WP. Si tu ne comprend pas, fais moi signe, je tenterais alors une nouvelle version à simplifiant les difficultés que tu pointes. Jean-Luc W (d) 26 mai 2008 à 11:10 (CEST)

PS : J'ai tenté une première réponse dans la refonte de l'introduction et le paragraphe motivation. Jean-Luc W (d) 26 mai 2008 à 11:26 (CEST)

Innovation terminologique ?

Toutes les sources que j'ai pu trouver via internet imposent, dans la définition d'un irrationnel quadratique, qu'il soit réel (de même qu'un nombre irrationnel est par définition réel), donc je crois qu'il faut remplacer partout dans cet article "irrationnel quadratique" par "nombre algébrique de degré 2". Anne Bauval (d) 24 juin 2011 à 03:02 (CEST)

En outre, la place de ces nombres, et des corps associés, est plutôt dans Extension quadratique#Cas des rationnels. Anne (d) 7 juin 2012 à 22:07 (CEST)

L'article contient (actuellement…) un autre terme apparemment inventé aussi : "rationnel quadratique". Anne (d) 12 juin 2012 à 19:38 (CEST)

Anne (d) 2 juillet 2012 à 15:53 (CEST)

divers commentaires

Dans "En mathématiques, un entier quadratique est un nombre complexe, racine d'un polynôme unitaire du second degré à coefficients entiers." est-il raisonnable de ne pas supposer le polynôme irréductible? Sinon les entiers rationnels sont quadratiques, cubiques etc bien que de degré 1. A mieux expliquer.

Dans "p décomposé si d est un résidu quadratique non nul modulo p," on peut faire remarquer que les 2 idéaux au-dessus de p sont explicites comme Z-modules de la forme pZ + (√d-r)Z, où r est solution de la congruence d=r^2 mod p (au moins pour p > 2). Ceci permet des calculs explicites (de produits) entre idéaux premiers décomposés non nécessairement principaux... tout idéal entier étant de cette forme (2 générateurs pour les anneaux d'entiers: Dedekind).

En outre il y a confusion entre "décompositions en facteurs premiers" et "décompositions en facteurs irréductibles" dans l'exemple

$2\times 3=(1+\mathrm {i} {\sqrt {5}})(1-\mathrm {i} {\sqrt {5}}).~$

En effet ces nombres sont en effet irréductibles mais non premiers au sens des idéaux. Actuellement, la théorie des anneaux parle d'éléments irréductibles (notion très générale) et pratiquement jamais de nombres premiers, sauf si l'anneau est principal (car alors il y a équivalence entre p irréductible et idéal (p) premier.

La mention :"La majorité (des déaux premiers) consiste en idéaux principaux et quelques autres ne le sont pas. Un deuxième théorème précise : Il n'existe qu'un nombre fini d'idéaux premiers non principaux dans l'anneau des entiers d'un corps quadratique" , est totalement fausse !!! puisque le théorème de Chebotarev, valable dans tout corps de nombres, dit que toute classe d'idéaux contient une infinité d'idéaux premiers, avec une densité non nulle explicite (la notion de classe d'idéaux peut être introduite par la relation d'équivalence modulo le sous-groupe des idéaux principaux mais ceci oblige à introduire le groupe des idéaux fractionnaire de l'anneau. Ou alors dire (pour des idéaux I et J) que I \sim J si et seulement si il existe a, b dans l'anneau tels que (a) I = (b) J ).

D'une manière générale il y aurait bien des précisions à apporter dans cet article.Oisans (d) 9 avril 2013 à 10:27 (CEST)

Au sujet du passage : Dans le cas des entiers d positifs, les anneaux principaux sont beaucoup plus nombreux. En 2008, il est conjecturé^{[précision nécessaire]} qu'il en existe une infinité. Voir l'article Wikipédia Problème du nombre de classes pour les corps quadratiques imaginaires où il est dit La conjecture de Gauss selon laquelle il existerait une infinité de corps quadratiques réels dont le nombre de classes vaut 1 n'est toujours pas résolue. C'est bien Gauss qui a prévu cette conjecture.Oisans (d)

De fait je ne vois pas à quoi la référence à 2008 fait allusion ; sans doute à supprimer, je ne connais pas d'avancée récente sur cette conjecture très difficile. Par contre, la théorie des genres (liée à celle des formes quadratiques évoquée dans l'article) montre que si d est produit de 3 nombres premiers ou plus, le nombre de classes est divisible par une puissance de 2 proportionnelle.Oisans (d)

QUESTION DE NOTATION: En général, le corps K engendré sur k par un (ou plusieurs) élément a se note k(a) et non k[a]. En effet on a k[a] = k(a) si et seulement si a est algébrique sur k, et les résultats de l'article sont exacts, mais cela peut troubler (e.g. k(X) est le corps des fractions rationnelles et k[X] l'anneau des polynômes). Ensuite d'autres articles utilisent bien k(a) pour les extensions de corps. Enfin la notation k[a] est relative à la seule structure d'anneau et signifie l'anneau engendré par k et a ; d'où le fait que j'ai rajouté le calcul de l'inverse d'un élément d'un corps quadratique (par ailleurs nécessaire et typique des extensions algébriques). Merci de donner un avis et le cas échéant de modifier. D'ailleurs, sur un plan visuel, la distinction k[a] vs k(a) est plus agréable, surtout pour les anneaux d'entiers (mais on peut signaler le phénomène car l'égalité k(a) = k[a] est indispensable en pratique des calculs en nombres algébriques).Oisans (d)

"Encore" / "unitaire" ? = Ambiguïté pour le Néophyte que je suis

" Elle correspond encore à un nombre complexe, racine d'un polynôme du second degré à coefficients rationnels. " Du fait du "encore", je m'attendais plutôt à : " Elle correspond encore à un nombre complexe, racine d'un polynôme [unitaire] du second degré à coefficients rationnels. " Est-ce une Erreur ou vraiment on passe à 2 Niveaux de Plus Grande Généralités d'un coup ? S'il vous plaît Khwartz (discuter) 9 août 2022 à 23:17 (CEST)

Non, en divisant par le coefficient dominant, on se ramène à un polynôme unitaire ; cette manœuvre ne fonctionne pas dans le cas entier, car le quotient de deux entiers n’est pas entier en général, alors que le quotient de deux rationnels est rationnel. Dfeldmann (discuter) 10 août 2022 à 00:30 (CEST)