Discussion:Ensemble dénombrable

2005

Il semble intéressant de signaler dans le corps de l'article que si dénombrable implique infini, la réciproque est fausse, et de renvoyer à l'article sur l'argument de la diagonale, d'autant que c'est le même Cantor qui a le premier défini ce qu'est un ensemble dénombrable, et découvert l'existence d'ensembles infinis non dénombrables. Vivarés 6 novembre 2005

Amélioration ?

Dans l'article, on démontre que si f est définie de E vers F est surjective et E au plus dénombrable, alors F au plus dénombrable, en utilisant l'axiome du choix. Ne serait-il pas mieux de d'abord passer par $\mathbb {N}$, puis une composition de fonctions ?

La preuve serait alors :

Soit $f:E\mapsto F$ surjective, E au plus dénombrable. Clairement, si E est fini, alors f(E) = F est fini, (et card(F) inférieur ou égal à card(E). Soit E infini, alors il existe $g:E\mapsto \mathbb {N}$ bijective. Alors $h=g^{-1}\circ f:\mathbb {N} \mapsto F$ est surjective comme composée de surjections. On considère $A=\{n\in \mathbb {N} ,y\in F,n=\min(h^{-1}\{y\})\}$ Mq la restriction de h sur A est bijective. Cette restriction est clairement surjective (car $h(A)=h(\min(h^{-1}\{y\})_{y\in F})=h(h^{-1}\{y\}_{y\in F})=F$)

Par surjectivité de h, $\min(h^{-1}\{y\})\,$ n'est jamais vide, et cette ensemble étant inclus dans $\mathbb {N}$, $n$ est unique, dans h est injective.

Donc F est en bijection avec une partie de $\mathbb {N}$, et donc est au plus dénombrable. On évite le recours à l'axiome du choix par l'unicité du minimum d'une partie de N.

Cette preuve n'est pas forcément plus simple, mais évite le recours à l'axiome du choix. --Frédéric Perrin 18:57, 10 novembre 2005

Commentaire sur le rôle de l'axiome du choix

La remarque de Frédéric Perrin est judicieuse. On peut la reformuler ainsi :

• L'ensemble $\mathbb {N}$ est bien ordonné.
• Donc l'ensemble dénombrable E peut être lui-même muni d'un bon ordre, obtenu explicitement en transportant l'ordre de $\mathbb {N}$ au moyen d'une bijection $\varphi :E\to \mathbb {N}$ : pour a, b éléments de E, on posera $a\leq _{E}b$ ssi $\varphi (a)\leq \varphi (b)$ dans $\mathbb {N}$. En langage simple, les éléments de E étant numérotés (sans oubli ni répétition), on les ordonne par l'ordre de leurs numéros.
  La possibilité de définir un bon ordre sur un ensemble quelconque équivaut à l'axiome du choix, mais ici, on la prouve sans avoir besoin de cet axiome.
• Une fois E muni de ce bon ordre, et étant donnée $f:E\to F$ surjective, on définit une injection $i:F\to E$ en posant, pour tout $y\in F$, $\ i(y)=$ le plus petit des antécédents de y par f. Vivarés 17:04, 11 novembre 2005

OK, j'ai modifié en conséquence l'article. Frédéric Perrin 11 novembre 2005 à 21:44

Attention : le fait que le minimum soit unique est essentiel pour assurer que l'application g est bien définie. Mais cela n'a pas de rapport avec l'injectivité. Celle-ci résulte de ce que deux éléments différents n'ont aucun antécédent commun. Vivarés 12 novembre 2005 à 00:23

Partie de N

Il y a un problème avec la preuve de "Toute partie A de N est au plus dénombrable" : on ne peut pas prouver l'existence d'une suite par récurrence, éventuellement montrer qu'elle a la propriété souhaitée. L'existence résulte d'un autre théorème sur les définitions par récurrence (que je propose d'admettre dans cet article). Ce serait mieux de définir clairement fini. Proz 25 octobre 2007 à 19:33 J'ai corrigé la partie en question, en précisant les définitions, "au plus dénombrable" n'était pas la bonne expression dans ce contexte. Proz 27 octobre 2007

Reprise de l'article

J'ai l'intention de reprendre un peu plus sérieusement l'article. J'ai rédigé au brouillon quelque chose, qui devrait remplacer les § 1 2 et 3.5 actuels ici Utilisateur:Proz/Ensemble dénombrable. Je compte poursuivre ensuite directement sur l'article : déjà mieux séparer ce qui dépend de AC dans la suite, simplifier une ou deux démonstrations, compléter par quelques renvois sur des endroits où le dénombrable intervient. C'est volontairement que je ne reprend pas le terme "indénombrable", cité en intro, que je ne connais pas dans le sens de "infini non dénombrable". Proz (d) 5 janvier 2008 Je continue pour les paragraphes suivants. J'ai essayé d'éclaircir quelques présupposés (par ex. sur les ensembles finis et infinis), réorganisé, séparés du reste les résultats qui dépendent de l'axiome du choix. quelques démonstrations m'ont semblé trop détaillées (on peut encore en simplifier), d'autres sont un poil plus simples en se ramenant directement aux entiers. Enfin, j'ai évité le TeX dans le corps du texte, ce qui conduit à abandonner le "blackboard". Proz (d) 2 février 2008

Énumérable

L'article utilise souvent le verbe « énumérer », la confusion avec les ensembles (récursivement) énumérables est possible et est souvent faite, d'autant que les notion ne sont pas si éloignées. Je propose qu'une mise en garde avec un renvoi soit faite. Pierre de Lyon (d) 4 mars 2008 à 08:38

D'autant plus d'accord que pour tout dire j'y avais pensé également, on peut même développer un peu, puisque certains des procédés donnés sont effectifs et utilisés en récursivité. Je prévois un paragraphe sur les récursivement énumérables plutôt dans la dernière partie de l'article (à écrire), après quelques remarques sur la logique (le langage est dénombrable ...). Proz (d) 4 mars 2008 à 14:12

Apparition : sur Brouwer

N'y a-t-il pas une contradiction quand on dit que Brouwer conteste l'infini achevé et que pour lui l'infini dénombrable existe ? (il existe effectivement, dans sa Dissertation de 1907) ça n'est pas très évident pour le lecteur non familier de ces questions. --Michel421 (d) 1 novembre 2008 à 17:18

J'avoue ne pas être un grand connaisseur de la pensée de Brouwer. A priori on peu concevoir l'infini dénombrable comme un infini potentiel, c'est plus ou moins ce qui est dans dit dans l'article juste au dessus, ça ne me semble pas contradictoire. Est-ce que ça ne te semble pas correct ? Le but du passage est juste de mentionner rapidement que la notion d'infini a été débattue. On ne peut pas de toute façon trop s'étendre sur la pensée de Brouwer. Remarque que dans l'état actuel l'article Luitzen Egbertus Jan Brouwer me semble largement faux (quand j'arrive à comprendre). intuitionnisme redirige sur logique intuitionniste, ce qui est pour le moins réducteur. Proz (d) 1 novembre 2008 à 21:06

C'est juste que l'on parle d' ensemble dénombrable, et dans l'article "infini achevé" = existence d'un ensemble infini, par exemple :

Pour ceux-ci le fait de considérer une infinité d'objets comme un tout, par exemple tous les entiers naturels, c'est-à-dire la notion même d’ensemble infini, n'a pas de sens.

Donc il suffit peut-être de rajouter "dénombrable au sens de ..." --Michel421 (d) 1 novembre 2008 à 21:37

J'ai précisé, est-ce bien ça qui posait problème ? Proz (d) 1 novembre 2008 à 22:55

Avec la précision c'est OK. --Michel421 (d) 2 novembre 2008 à 00:14

Finalement je ne sais pas ; c'est bien ainsi que semblent l'entendre les constructivistes de nos jours, et ça lève la contradiction dans l'article, mais il y a la dissertation dans laquelle Brouwer dit que "l'infini actuel des cantoriens existe bien pourvu que nous le confinions à ce qui peut être intuitivement construit" - et c'est vrai qu'on ne peut pas trop gloser sur ces considérations, donc peut-être vaut-il mieux séparer Brouwer (sous forme de note en bas de page). Pour les constructivistes, c'est bien l'infini potentiel ça c'est sûr.--Michel421 (d) 2 novembre 2008 à 10:19

Je me suis appuyé sur Kneale and Kneale, pages citées, qui sont sans ambiguïté, tout en reconnaissant que Brouwer s'est peu exprimé sur le sujet. Dans l'article c'est forcément simplificateur. Il est possible et même probable qu'entre 1907 et 1912 la pensée de Brouwer ait évoluée, ou qu'elle se soit précisée, et qu'au moins il ne dise pas les choses de la même façon. Ceci dit dans ta citation, je comprends qu'il s'agit par exemple de manipuler des réels comme suites de rationnels que l'on peut intuitivement construire (plus que simplement des réels contructifs pour Brouwer si je ne me trompe pas). J'ai un peu de mal à comprendre la différence avec l'infini potentiel. Proz (d) 2 novembre 2008 à 21:03

La fonction de couplage

L'image peut se lire de deux façons, mais la formule ne va pas bien avec le sens des flèches, si la 1re coordonnée est p et la seconde est q, j'aurais tendance à dire que la formule est ((p+q)(p+q+1)/2)+p pour avoir 1 comme image du couple (0,1). --Michel421 (d) 17 avril 2009

1 est l'image du couple (1,0) ; à p+q constant, l'image du couple (p,q) croit avec q. Le dessin n'est pas terrible ce qui perturbe la lecture : les flèches rouges qui sont secondaires, devraient être discrètes. Proz (d) 21 avril 2009

Démonstration f strictement croissant, f(n) ≥ n

Dans "Partie d'un ensemble dénombrable / Entiers naturels", il est donné une démonstration qui dit ceci :

Pour la deuxième partie on remarque que, par une récurrence immédiate, une fonction f strictement croissante vérifie que pour tout entier n, f(n) ≥ n.

Quelqu'un aurait l'extrême gentillesse de m'expliquer cette phrase ? Est-ce qu'on dit que toutes les fonctions (f) (de A vers N ?) strictement croissantes sont telles que (implique) f(n) ≥ n ou est-ce qu'on dit qu'il existe une fonction strictement croissante telle que f(n) ≥ n ? Quelle est cette récurrence immédiate pour beaucoup mais pas pour moi ? — Le message qui précède, non signé, a été déposé par Orena Radrax (discuter), le 27 septembre 2011 à 12:00.

Bonjour, j'ai reformulé. Manque encore la récurrence « immédiate », mais je pense qu'il vaudrait mieux la mettre dans Suite (mathématiques)#Suites monotones ou dans Raisonnement par récurrence#Récurrence simple sur les entiers, et poser un lien d'ici vers là-bas (ou alors : pas de preuve, juste un lien vers ces deux sections d'articles). Autres avis ? Anne 27/9/2011 à 15 h 06

J'ai mis la récurrence en note ; ça suffit?--Dfeldmann (d) 27 septembre 2011 à 20:22

Rmq : de A, sous-ensemble qcq de N, vers N ce serait faux en général. Proz (d) 29 septembre 2011 à 20:19

Oui, complément de cette rmq A = ens des entiers pairs, f(n)= n/2. --Epsilon0 ε₀ 29 septembre 2011 à 20:22

Reverts d'une remarque sur l'étymologie

Discussion transférée le 29/9/14 à 8h18 de la pdd de Anne

Bonjour,

Suite à votre annulation de ma modification sur l'article « Ensemble dénombrable », je vous réponds. Je suis moi aussi un contributeur/rédacteur de wikipedia donc l'assertion : « ce n'est pas "choisi" (par les rédacteurs de WP) » est floue voire fausse. Vous semblez partir du principe qu'une décision a été prise collectivement. Je n'en vois nulle trace sur la page de discussion de l'article. Pourriez-vous m'orienter vers la page internet mentionnant que cette décision a été prise et par qui (log d'un chat IRC ou autre) ? Dans tous les cas, je n'ai pas été consulté et j'ai eu la courtoisie de répondre point par point à  Epsilon0 : sur sa page de discussion dans un premier temps (il n'avait tout d'abord pas compris ma remarque et donc je l'ai modifiée) puis de laisser un message sur la page de discussion de  Dfeldmann : (qui ne m'a pas encore répondu).

Concernant la deuxième partie du message lié à votre annulation : « et pour que l'opportunité d'une telle remarque ne soit pas un pov, il faut une source », pour quelle partie de ma remarque souhaitez-vous une source ? Si c'est le fait que « dénombrable » en français signifie « qui peut être dénombré », je peux vous citer le dictionnaire. Le petit Robert donne par exemple la définition « Qu'on peut dénombrer, compter. » et il mentionne aussi la définition mathématique choisie dans l'article. Je peux aussi ajouter la définition de « dénombrer » pour appuyer le fait qu'un ensemble fini peut être dénombré. J'espère sincèrement que c'est le « mieux-disant » qui l'emporte sur Wikipedia. Je pars du principe qu'expliciter toutes les divergences entre langage courant et langage mathématique est un service rendu au lecteur pour accélérer l'accession au savoir. J'ai humblement mis ma remarque entre parenthèses ce qui ne signifie pas qu'elle est inutile pour l'ensemble des lecteurs de Wikipedia. En l'absence de réponse concrète à mes questions, je remettrai ma remarque.

D'avance merci, cordialement, SectionFinale (discuter) 13 septembre 2014 à 19:12

Même rép. que Dfeldmann : j'adhère à sa remarque finale et les sources que vous mentionnez n'étayent pas l'opportunité de votre ajout. Anne 13/9/2014 à 20 h

Bonjour,

J'ai répondu aux arguments de  Dfeldmann :. Souhaitez-vous maintenir votre opposition à l'ajout de ma remarque ?

Cordialement,

SectionFinale (discuter) 27 septembre 2014 à 22:39

Bonjour, rien de neuf donc je maintiens (ce que vous lui avez répondu ne répond pas à notre argument). Cordialement Anne 27/9/14 à 22h50

Bonjour,

De quel argument parlez-vous ?

Cordialement,

SectionFinale (discuter) 28 septembre 2014 à 09:59

• Dfeldmann : « quand même vous auriez mille fois raison, vous devez vous appuyer sur des sources pertinentes (donc ici des ouvrages de théorie des ensembles, et non des dictionnaires de français) » ;
• moi : « les sources que vous mentionnez n'étayent pas l'opportunité de votre ajout. »

Anne 28/9/14

Bonjour,

Je pense que les deux phrases suivantes répondent parfaitement à cet argument : « Le dictionnaire reste une source pertinente quand il s'agit de faire une remarque d'étymologie. Je déplore que vous ayez une vision étriquée du monde et que cette contradiction ne vous interroge pas. »

Cordialement,

SectionFinale (discuter) 28 septembre 2014 à 11:52

Oui, j'ai bien vu que vous persistiez à croire ça, malgré les réponses détaillées de Dfeldmann. Je ne poursuivrai pas ce dialogue de sourds. Anne 28/9/14

Bonjour,

Effectivement, je persiste à penser que le dictionnaire est une source valable pour l'étymologie et que les différents champs du savoir n'ont pas à être séparés de manière absolue et qu'une mention à un domaine dans un article portant sur un autre domaine n'est pas une hérésie.

En définitive, je retiens l'absence de réponse à mes questions, la caricature de mes propos, l'opacité du processus de décision (le mot consensus est un peu vague, en l'occurrence il n'y a ni consensus pour l'ajout ni consensus pour le retrait). Peut-être que le terme "étriquée" est un peu fort mais le terme de "vision cloisonée" est lui parfaitement exacte.

Cordialement,

SectionFinale (discuter) 28 septembre 2014 à 17:30

... suite de la discussion ...

Je comprends très bien le rejet d'Epsilon0, Anne Bauval et Dfeldmann, concernant l'ajout de Section finale : insister pour dire que le choix de la définition est contraire à l'étymologie est un jugement de valeur.

En revanche je suis plus dubitative sur le traitement de la définition. Notre article fait un choix a priori qui privilégie une des deux définitions (équipotent à N) au détriment de l'autre. La neutralité de point de vue voudrait que l'on annonce d'entrée de jeu dans la section qu'il existe deux écoles et qu'aucune des deux n'a plus de légitimité que l'autre.

• l'une qui définit la dénombrabilité comme une équipotence à une partie de N ([1], [2], Bourbaki). On pourrait alors préciser le vocabulaire : (a) fini , (b)infini dénombrable (regroupable en dénombrable) et (c) non-dénombrable et remarquer que cette définition est proche de l'étymologie, un ensemble fini est, selon le sens courant, dénombrable.
• l'autre qui définit la dénombrabilité comme une équipotence à N [3]. Dire que l'on distingue alors les ensembles (a) finis, (b) dénombrable (regroupable en au plus dénombrable), et (c) infini non dénombrable.

Et ensuite seulement, on peut dire que le choix fait dans cet article est de prendre comme définition l'équipotence à N.

Perso, en cas d’ambiguïté, mon attitude est plutôt de préciser toujours les choses, plutôt que de privilégier une des définitions mais comme je n'ai pas le niveau pour contribuer à l'article, je laisse les concepteurs faire. HB (discuter) 29 septembre 2014 à 09:48

Une partie du débat est ici Discussion_utilisateur:SectionFinale#Ensemble_dénombrable (utile si on veut comprendre ce qui précède).

Quand j'avais repris l'article en 2008 et introduit la définition comprenant le fini, la présentation était plus équilibrée (pas complètement) plus dans le sens que propose HB (avec des défauts par ailleurs). Donc je suis a priori d'accord avec elle. Maintenant je constate que plusieurs contributeurs ont souhaité ensuite privilégier la def. "équipotent à N" (Il y a bien-sûr d'autres ref pour cette définition: Cori-Lascar par ex.), ce qui correspond peut-être à quelque chose, mais dans le doute mieux vaudrait rester équilibré. Pour ce qui est de l'"étymologie", il s'agit en fait du sens usuel, mais enfin si on va par là tous les ensembles finis ne sont pas dénombrables au sens usuel, et on ne se préoccupe pas d'infini (cf. argument DFeldman). Evidemment ça a un rapport quand même, mais je ne suis pas convaincu (sens usuel éventuellement, mais pas étymologie de toute façon, l'histoire du terme en mathématique éventuellement). Proz (discuter) 29 septembre 2014 à 11:05

Bonjour  Anne_Bauval :,

Merci d'avoir transféré notre discussion ici, il est en effet préférable de centraliser le débat en ce lieu. Vous voudrez sans doute corriger votre titre (« revers » s'écrit sans 't') ; vous devriez, à mon avis, revenir à un titre exprimant moins de suffisance de votre part comme « Débat autour d'une remarque étymologique » (Ça aurait pû être pire : « Le retour de la vengeance de la riposte de la contre-attaque contre une remarque étymologique » ou mieux si vous aviez complété votre titre avec « qui était pourtant sensée »).

Pour finir de référencer les autres lieux du débat, celui-ci a commencé sur cette page Discussion_utilisateur:Epsilon0#Modification annulée sur la page "Ensemble dénombrable" suite aux modifications https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Ensemble_d%C3%A9nombrable&diff=105186652&oldid=103030269 et https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Ensemble_d%C3%A9nombrable&diff=105188233&oldid=105186652 . J'ai ensuite remis une remarque modifiée pour lever toute ambiguïté dans la modification https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Ensemble_d%C3%A9nombrable&diff=107401723&oldid=107335735 qui a ensuite été annulée par deux fois : https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Ensemble_d%C3%A9nombrable&diff=107402016&oldid=107401723 puis https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Ensemble_d%C3%A9nombrable&diff=107410624&oldid=107407908 . J'avais entre temps remis ma remarque et laissé un message à Dfeldmann sur sa page de discussion : Discussion_utilisateur:Dfeldmann#Modification ensemble dénombrable. Puis j'en ai laissé un sur la page de discussion d'Anne Bauval (qui est le premier donné ci-dessus) et j'ai ensuite débattu avec Dfeldmann sur ma page de discussion comme mentionné par Proz (Discussion_utilisateur:SectionFinale#Ensemble_dénombrable) puis j'ai repris le débat sur la page d'Anne comme on peut le voir ci-dessus et enfin j'ai eu l'occasion aujourd'hui de débattre avec Proz sur ma page, avant de venir compléter le débat ici.

Cordialement,

SectionFinale (discuter) 4 octobre 2014 à 19:11

Suffisance, suffisance... Et si Anne voulait corriger son titre, elle utiliserait sans doute "rétractations", mais sûrement pas "revers" (qui désigne plutôt ce qui arrive à votre argumentation). Après, ça devient un peu lassant, et risque de finir en RA. Parce qu'appeler ça un débat, c'est une autre utilisation peu fréquente de ce terme, et que j'ignorais jusque-là...--Dfeldmann (discuter) 4 octobre 2014 à 19:54

Bonjour  HB :,

Merci de votre contribution constructive au débat. Je suis dans l'ensemble d'accord avec vos remarques : présenter d'abord les deux définitions en précisant que l'une des deux est plus proche du sens étymologique du terme, puis continuer en exprimant le choix fait pour la suite de la rédaction de l'article me semble une bonne chose.

Je n'adhère par contre pas du tout à « insister pour dire que le choix de la définition est contraire à l'étymologie est un jugement de valeur » car si insister pour qu'un fait objectif soit mentionné dans un article sur wikipedia est un jugement de valeur, on peut disqualifier sans grand effort toute amélioration à un article à la seule condition d'avoir trouvé un contradicteur. Je note que le problème est symétrique car si j'insiste pour qu'une remarque sur l'étymologie figure, d'autres insistent pour qu'une telle remarque ne figure pas. Enfin, étant question de jugement de valeur, que dire du titre « Reverts d'une remarque sur l'étymologie » retenu pour cette discussion ? Je peux comprendre que vous n'en fassiez aucun cas :).

Cordialement, SectionFinale (discuter) 4 octobre 2014 à 20:06

Bonjour  Dfeldmann :,

Je ne vois nulle rétractation, de plus je ne vois pas quel revers a subi mon argumentation, contrairement à celle de mes contradicteurs. J'ai répondu avec des arguments rationnels et logiques aux arguments qui m'étaient opposés. Je n'ai pas pour habitude de prendre des caricatures, des contre-sens et des déformations de propos comme un revers. Les méthodes de fuite comme « dialogue de sourd » ou les menaces de RA ne m'impressionnent guère et sont une preuve d'absence de volonté de débattre. Le terme de « suffisance » est venu à mon esprit lors de votre première réponse sur ma page de discussion et ce n'est sans doute pas pour rien si vous l'avez répété deux fois.

Vous n'avez pas apporté d'argument constructif pour faire avancer le débat. Je considère que vos exemples grotesques sont un bel exemple de rhétorique politicienne. Vous pouvez rester au niveau des anneaux sans trous et des isomorphismes qui ne sont pas égaux (dire que le terme isomorphe signifie de forme égale ou de même forme, qu'il vient de la cristallographie et expliciter le lien entre les deux isomorphismes en passant par la théorie des groupes est sans doute trop vous en demander). Effectivement, quand on abaisse le niveau avec des inepties, cela devient difficile de maintenir la barque du débat à flot. C'est néanmoins ce à quoi je me suis employé.

Cordialement,

SectionFinale (discuter) 4 octobre 2014 à 20:45

Vous n'entendrez plus parler de moi (sauf éventuellement en RA, si,si). Deux références pour conclure : de Schopenhauer, La Dialectique éristique (ou l'art d'avoir toujours raison) et, plus moderne, Don't feed the troll...--Dfeldmann (discuter) 4 octobre 2014 à 21:52

Bonjour  Dfeldmann :,

Merci pour votre renvoi à l’œuvre de Schopenhauer. Je constate que si Schopenhauer a choisi le titre « La Dialectique éristique », d'autres ont par la suite trouvé plus vendeur de le changer pour « L'art d'avoir toujours raison ». Il me semble nécessaire de rappeler une tautologie : « Pour avoir toujours raison, il faut et il suffit de systématiquement dire la vérité. » (dans le cadre d'un débat, dire la vérité et avoir raison sont synonymes). Ensuite, l'art d'avoir toujours faussement raison ou l'art d'avoir toujours le dernier mot, c'est autre chose. Si celui qui s'attache à dire la vérité lors d'un débat et qui a objectivement raison peut ensuite être attaqué en citant Schopenhauer au motif qu'il a toujours raison, effectivement nul débat n'est possible. Je vois là un bel exemple où une culture mal maîtrisée corrompt l'esprit au lieu de raffermir le jugement. Je lis dans l'article Wikipedia sur cet ouvrage « La dialectique éristique constituée de la dialectique et de la sophistique s'opposerait ainsi à la logique, l'analytique [...] ». Il me semble que j'ai patiemment analysé les arguments qui m'étaient opposés et que j'y ai répondu de manière logique. Je n'ai pas trouvé le même souci d'analyse et de citation de mes propos chez mes contradicteurs. Il me semble aussi pertinent de citer « Il est important de remarquer que le but de Schopenhauer n'a rien de cynique, puisque la dialectique est aussi, par nature, un art de repousser les attaques déloyales. L'apprentissage de la dialectique complète donc l'apprentissage de la logique, car il faut également se défendre quand on a raison. ». Si vous souhaitez me reprocher parfois des attaques personnelles « Argumentum ad personam (dernier argument, intitulé « Ultime stratagème ») », comprenez bien que vos exemples ne sont que des attaques personnelles sous une forme fourbe assez répandue et que mes attaques peuvent aussi décrire une vérité objective. De même quand vous qualifiez de « considérations étymologiques "personnelles" » mes propos, comprenez bien que je situe cela dans le domaine de la malhonnêteté intellectuelle décrite par l'article sur la dialectique éristique ; je peux difficilement faire plus universel et moins personnel qu'en m'appuyant sur le dictionnaire.

Je doute que mes propos s'apparentent à un troll. Le plus proche restera certainement votre exemple de l'anneau sans trou.

Je vais à présent discuter de vos arguments d'autorité et de vos menaces de RA à la lumière de la psychologie des groupes. On distingue quatre stades évolutifs au sein d'un groupe :

* le premier stade est dit fantasmatique (il correspond aux incertitudes qui caractérisent le début d'un groupe avec des angoisses de type schizo-paranoïde chez ses membres, c'est le cas par exemple d'un élève de CP le jour de la rentrée),

* le second stade est dit idéologique, c'est le moment où le groupe fait corps, les limites entre dedans et dehors sont accentuées. Une certaine pensée unique se met en place. Le groupe se solidifie par clivage dedans-dehors ;

* le troisième stade est dit figuratif transitionnel. Il est plus paisible avec la disparition de la méfiance et l'apparition du plaisir à travailler ensemble. Il permet le début de la symbolisation complexe ;

* enfin le dernier stade est dit mythopoétique. Il est l'aboutissement du travail de différenciation entamé précédemment et permet à chacun de ses membres de s'exprimer librement sans crainte de rétorsion.

Cette évolution n'est jamais définitive et si la perception des membres du groupe correspond globalement au stade d'évolution, les perceptions individuelles peuvent être sur des stades plus ou moins avancés.

De ce que j'ai observé, nous en sommes plutôt au deuxième stade en ce qui concerne le groupe des « rédacteurs de WP », au moins dans votre perception.

J'aimerais terminer sur une remarque constructive sur les bonnes pratiques qu'il serait souhaitable de mettre en place sur Wikipedia : dès lors qu'il ne s'agit pas de vandalisme pur et simple, toute annulation des modifications d'une personne devrait être accompagnée d'un transfert de la modification sur la page de discussion et d'un message bienveillant invitant l'auteur de la modification à venir justifier son point de vue sur la page de discussion.

Cordialement,

SectionFinale (discuter) 5 octobre 2014 à 10:47

Merci de m'avoir fait découvrir les analyses de René Kaës. Mais, tout aussi cordialement, j'insiste : --Dfeldmann (discuter) 5 octobre 2014 à 11:28

Bonjour  Dfeldmann :,

Je lis sur l'article wikipedia concernant les trolls que « Certaines personnes dénoncent les abus d’utilisation du terme « troll » qui pourrait parfois servir à couper court à toute discussion et débat. Ainsi, un intervenant à un débat pourrait utiliser ce terme afin de discréditer les personnes qui remettent en cause ses thèses, en les accusant de vouloir polémiquer. Le troll se détachant d’une simple opposition d’idées par l’aspect volontaire de la polémique, il est parfois extrêmement difficile à découvrir. Ainsi, parfois, ce peut être l’accusateur qui est en fait un troll (voir la méthode hypercritique). ».

Je n'ai tout d'abord pas compris votre remarque sur le terme rétractation. S'il s'agissait d'une traduction pour le terme anglais « revert », le dictionnaire à ma disposition ne donne que les sens : revenir, retourner. Dans le contexte de l'informatique, je n'ai jamais entendu d'autre traduction que « annuler » aussi bien pour les annulations de modification dans un wiki ou les annulations d'un « commit » dans un gestionnaire de sources (cvs, svn, git, etc.).

Je pense que ma dernière suggestion sur les bonnes pratiques à mettre en place n'a probablement pas vocation a être débattue ici. Je vous prie vous ou une autre personne qui serait amenée à lire ces lignes de m'orienter vers le lieu où cette proposition pourrait être débattue.

D'avance merci, cordialement,

SectionFinale (discuter) 5 octobre 2014 à 15:34

En effet, ce n'est guère le lieu, mais c'est une bonne idée... Le Bistro sera sans doute plus approprié, surtout si c'est présenté comme une suggestion, et non comme une critique hautaine des pratiques actuelles...--Dfeldmann (discuter) 5 octobre 2014 à 17:21

Bonjour  Dfeldmann :,

Merci pour votre message avec le lien vers le bistro. J'y ai fait ma proposition aujourd'hui.

Cordialement,

SectionFinale (discuter) 12 octobre 2014 à 17:15

Deux définitions possibles

J'ai modifié l'article de façon (j'espère) à ne pas laisser entendre qu'un des choix de définition est à privilégier (une contrainte est qu'il faut quand même que ça reste lisible). Proz (discuter) 13 octobre 2014 à 22:48

Ordonnabilité

Je ne comprends pas la pertinence de cet ajout. déjà c'est la définition même de dénombrable (en bijection avec N) qui permet d'ordonner totalement, il n'y a rien à "construire", donc la rédaction ne va pas. Ca pourrait se dire "Un ensemble dénombrable, c'est-à-dire en bijection avec les entiers naturels, est totalement ordonné en transportant l'ordre des entiers sur l'ensemble par cette bijection, mais un ensemble totalement ordonné n'est pas forcément dénombrable, comme le montre l'exemple des réels". Est-ce que vraiment c'est un résultat notable ? Proz (discuter) 6 mars 2016 à 00:47

Je viens de reverter cette section "Ordonnabilité" et ne découvre que maintenant cette section. Bon, mon avis est similaire à celui de Proz. --Epsilon0 ε₀ 6 mars 2016 à 02:09

Ordonnabilité et relation d'ordre

Je comprends un peu ce revert (diff) tout en le trouvant un peu violent : je n'ai rien trouvé de choquant ni de faux dans ce qui avait été écrit.

• Chercher une relation d'ordre sur un ensemble dénombrable est une préoccupation légitime dont on trouve trace dans des livres. Utiliser la bijection de l'ensemble dénombrable avec N pour exhiber une relation de bon ordre (et pas seulement d'ordre total) est souvent envisagée
• en revanche, la seconde phrase tendant à comparer la dénombrabilté et l'ordonnabilité ne me semble pas pertinente, car je crois bien qu'il est toujours possible, moyennant l'axiome du choix, de munir un ensemble d'une relation de bon ordre (donc d'ordre total)

Cependant, au delà de ces deux affirmations, Verdy me semble proposer une réflexion intéressante sur dénombrabilité et relation d'ordre. Je pense qu'il serait pertinent de présenter le bon ordre induit de celui de N. On pourrait aussi dire que tout ensemble dénombrable muni d'un bon ordre peut être plongé dans Q muni de sa relation d'ordre naturelle

On pourrait aussi évoquer le cas des ensembles dénombrables dans un ensemble ayant la puissance du continu et mini d'une relation de bon ordre.

• quelques sources : pour le plongement, pour les parties dénombrables dans un ensemble ayant la puissance du continu

HB (discuter) 6 mars 2016 à 10:24

Bien sûr Un paragraphe sur l'ordre serait utile. Si ma réaction n'a pas été de reverter immédiatement, j'ai été quant à moi choqué : quand même très mal écrit à la limite du compréhensible, mauvaise utilisation d'une définition d'où un délayage contourné, mise en avant arbitraire d'une trivialité. C'est là qu'on voit le petit miracle qui fait que certains articles arrivent quand même à tenir debout, mais ça ne tient pas à grand chose. Sinon, ta seconde propriété me paraît revenir à ce que l'on trouve ici Théorème de König (théorie des ensembles). On pourrait effectivement remarquer que la définition donne un bon ordre de type ω (bon ordre sans point limite, ou encore dont toute section propre est finie), qu'il y a d'autres bons ordres dénombrables, aleph_1 comme sup des ordinaux dénombrables .... Proz (discuter) 6 mars 2016 à 16:30

Je te laisse faire, tu t'y connais plus que moi. Concernant la révocation, finalement vu mes relations avec l'auteur, je me dis que c'était probablement ce qu'il fallait faire. HB (discuter) 6 mars 2016 à 17:29

Pour ces questions de plongement, allez voir Théorème de Cantor (théorie des ordres), qui donne tout ce qui est connu sur la question...--Dfeldmann (discuter) 7 mars 2016 à 19:35

Second commentaire sur le rôle de l'axiome du choix: la réunion dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable

J'ai un commentaire sous forme de question à faire sur la réunion dénombrable d'ensembles dénombrables. Je crois bien comprendre que l'axiome du choix dénombrable intervient dans la démonstration car A_i→f_i(0) fournit alors une fonction de choix sur la collection des A_i. Mais à ce sujet deux choses me laissent dans le doute:

1)Pourriez vous confirmer ou réfuter mon intuition que: s'il est possible d'expliciter par une ou des «formule(s)» ou «méthode(s) de construction» tous les f_i, alors la réunion des A_i est dénombrable sans avoir recours à l'axiome du choix.

2)Si je comprends que, malgré qu'on fasse l'hypothèse de l'existence des f_i, on doit invoquer l'axiome du choix, alors j'en viens à douter que l'on ait même le droit de parler de f₀. Comment peut-on être sûr qu'on ait pu définir f₀ sur A₀? J'imagine que c'est une hypothèse de travail, mais si c'est le cas, j'en reviens à penser qu'on peut admettre que f₀(0) est connu par hypothèse, de même que f_i(0) pour i quelconque, et que les hypothèses de travail présupposent déjà l'existence de la fonction de choix A_i→f_i(0), rien qu'à supposer l'existence des f_i. Finalement ma question est donc: pourquoi est ce que dans le texte, on invoque l'axiome du choix pour construire la suite des f_i, et on ne dit pas plus tôt que rien que de supposer l'existence d'un f_i pour tout i, on a quelque part déjà utilisé l'axiome du choix ? Je crois que j'ai du mal à différencier ∀i, ∃f_i, et ∃(f_i)_i∈ℕ. Où est mon erreur de raisonnement ?

Merci beaucoup d'avance pour votre aide.--ByteMe666 (discuter) 27 novembre 2017 à 14:13

1) Votre intuition est plutôt correcte, mais votre question étant (nécessairement) un peu floue, je ne peux pas vous assurer que ce sera vrai dans 100% des cas. Mais ça reste une intuition assez juste.

2) Le problème vient d'un abus de langage, qui est inoffensif lorsqu'on suppose l'axiome du choix, mais qui l'est moins autrement : ce sont les phrases du type "pour tout x, il existe y_x tel que ..." : ici, implicitement, on considère une fonction x -> y_x. On retrouve souvent cet abus pour insister sur le fait que y peut dépendre de x, qu'on ne peut pas choisir un y qui convient pour tout x (par exemple, on va avoir des théorèmes de la forme : "pour tout epsilon > 0, il existe une constante C_epsilon telle que ..."). En réalité, ça n'a pas de sens de mettre des indices/exposants/... qui varient sur une variable quantifiée. La forme correcte est "pour tout x, il existe y ...", "pour tout epsilon >0, il existe C ...".

Dans votre exemple, on a comme hypothèse que "∀i, ∃f telle que ..." (et non pas "∀i, ∃f_i telle que ...", qui n'a pas vraiment de sens). C'est l'axiome du choix qui permet d'en conclure "∃(f_i)_i∈ℕ ..."

TorkMattar (discuter) 27 novembre 2017 à 15:06

1) D'accord pour ce premier point. Je n'ai effectivement pas d'exemple explicite en tête pour étayer mon intuition, mais je crois que ce que je vais dire dans le point suivant va éclairer cela.

2) Je crois comprendre ce que vous venez d'expliquer. Si nous essayons de nous ramener très explicitement à l'axiome du choix dénombrable, afin de lever toute ambiguïté, pourrions nous dire que «∃(f_i)_i∈ℕ ...» signifie que l'on a une fonction de choix que je note g, sur la collection dénombrable des A_i^ℕ? Et donc, c'est ainsi qu'est invoqué l'axiome du choix dénombrable. Pour revenir sur le point 1 ci-dessus: s'il existe une «méthode» ou un critère, pour choisir un représentant de chaque A_i^ℕ, alors l'axiome du choix n'est plus nécessaire.--ByteMe666 (discuter) 27 novembre 2017 à 16:31

Juste une réponse rapide : on a besoin d'une fonction de choix sur l'ensemble image de :i->{f| f bijection de N sur A_i}, le fait qu'il existe une telle bijection pour chaque A_i est juste la définition de A_i dénombrable. Il s'avère que dans un certain nombre de cas particuliers on peut définir directement une suite (f_i)_{i ∈ N} de bijections de N sur A_i (c'ets peut-être ce qui correspnd à l'intuition du 1)), et donc se passer de l'axiome du choix qui est nécessaire pour le cas général. Si c'est obscur dans l'article on peut essayer d'améliorer (mais parfois en détaillant trop on obscurcit aussi). Proz (discuter) 27 novembre 2017 à 19:37

Votre réponse semble bien dire sous une autre forme ce que je disais dans mon dernier message, donc vous me rassurez sur le fait que j'ai bien compris la subtilité. Merci beaucoup. Je ne me prononce pas sur le besoin de modifier l'article, je suis un modeste mathématicien et mes questions sont peut-être un peu naïves, je ne sais pas exactement à quel public s'adresse l'article, et dans quel esprit il est rédigé. Si on me demande mon avis: je pense que d'expliciter en restant le plus près possible de l'énoncé exact de l'axiome du choix, avec une phrase du genre «D'après l'axiome du choix, il existe une fonction de choix sur la collection des A_i^ℕ permettant de construire (f_i)_i∈ℕ», permettrait de tenir la main aux néophytes tels que moi-même, mais je peux comprendre si les auteurs de l'article ont le sentiment que c'est excessif.--ByteMe666 (discuter) 27 novembre 2017 à 20:56

Oui effectivement, j'avais lu un peu vite (et il s'agit des bijections de N dans A_i). J'ai explicité. Proz (discuter) 27 novembre 2017 à 21:51

Très juste, ce sont les bijections (ou même les surjections pourraient aussi suffire, mais avec les définitions du reste de l'article, il me semble judicieux de s'en tenir aux bijections). Je me trompais donc en parlant seulement des fonctions de ℕ dans A_i. J'ai vu les modifications dans l'article ! Pour quelqu'un comme moi qui a du mal à discerner exactement où l'axiome du choix intervient car c'est une notion nouvelle, je trouve que cela aide. J'espère donc que cela aidera d'autres lecteurs. Merci beaucoup.--ByteMe666 (discuter) 27 novembre 2017 à 22:24

Je suis désolé de réveiller encore une fois le sujet, mais je crois avoir trouvé pour mon point 1 un exemple d'union dénombrable d'ensembles dénombrables qui ne nécessite pas l'axiome du choix: ∪_n∈ℕ(ℕⁿ). Chaque ℕⁿ est dénombrable comme produit fini d'ensembles dénombrables, et on peut construire explicitement par récurrence de la fonction du couplage de Cantor une bijection entre ℕ et ℕ^n-1×ℕ. En effet, on écrit la bijection entre ℕ et ℕ×ℕ, et pour un couple (n,m) de ℕ×ℕ, on obtient un couple de ℕ^n-1×ℕ en renvoyant l'image de n par la bijection dont on dispose entre ℕ et ℕ^n-1 par hypothèse de récurrence. Il est ensuite possible de mettre explicitement les éléments de ℕ^n-1×ℕ en bijection avec ℕⁿ. On a donc une suite (f_n)_n∈ℕ de bijections de ℕ sur ℕⁿ, qui n'a pas besoin de l'axiome du choix pour être obtenue. Le reste de la démonstration ne change pas, et on peut conclure, sans axiome du choix dénombrable que l'union dénombrable des ℕⁿ est dénombrable.--ByteMe666 (discuter) 27 novembre 2017 à 23:39 --ByteMe666 (discuter) 27 novembre 2017 à 23:40

Cet exemple est dans l'article (suites finies d'entiers) de même que d'autres analogues dans le paragraphe Exemples (sans AC), et commenté après le résultat sur la réunion dénombrable d'ensembles dénombrables. Proz (discuter) 28 novembre 2017 à 11:28

D'accord ! Je suis nouveau sur wikipedia, je vais voir s'il n'y a pas d'autres espaces pour discuter ces problèmes, car nombre de mes commentaires relèvent plutôt de mes questions personnelles sur les mathématiques que sur les façons d'améliorer l'article. Je ne voudrais pas spammer cet espace de discussion. Merci beaucoup.--ByteMe666 (discuter) 28 novembre 2017 à 14:14

§ Ensembles finis et infinis

Je suis tombée par hasard sur ceci :

[…] tout ensemble dénombrable est infini. On peut encore généraliser :

Proposition — Tout ensemble qui contient un ensemble dénombrable est infini.

En effet, soit E un tel ensemble et A une partie dénombrable de E. On a une bijection sur une partie propre de E en prenant l'identité sur E − A, et une bijection de A sur une partie propre de A.

Il est plus simple et plus général de dire :

Proposition — Tout ensemble qui contient un ensemble infini est infini.

En effet, tout sous-ensemble d'un ensemble fini est fini.

Anne, 7/1/18, 21 h 42

Oui ça n'était pas terrible, merci, j'ai modifié. Proz (discuter) 15 janvier 2018 à 19:22 (CET)

Décomposition des ouverts de ℝ

J'ai traîné les pieds pour passer en pdd mais je m'y résous car mes commentaire de diff ne sont pas clairs. Merci, Proz, pour tes efforts de conciliation. Ta dernière proposition me semble un bon compromis, donc m'exprimer ici me sert seulement à finir de « faire mon deuil » du lien vers Wikiversité que tu as supprimé. La preuve (tirée de ce bouquin, p. 10 et 286) y est décomposée de la même façon (décomposition en intervalles et dénombrabilité de la famille d'ouverts), c'est juste la preuve de dénombrabilité que je trouve plus élégante que la tienne : au lieu de dire « l'intersection avec Q de la réunion de ces ouverts est un ensemble dénombrable, et l'application qui à un élément de cet ensemble associe l'unique ouvert auquel il appartient est surjective », on dit : « l'application qui, à chacun de ces ouverts, associe son premier (numéro de) rationnel, est injective ». Anne (discuter) 29 mai 2018 à 08:06 (CEST)

Les miens non plus apparemment. Je pense que tu ne tiens pas compte du contexte de l'article, il n'y a pas de "preuve" (rédaction plutôt en l'occurrence) la meilleure ou la plus simple dans l'absolu. En déroulant l'argumentation donnée ici, c'est la même preuve (la réciproque à droite de la surjection est celle que tu donnes directement sur wikiversité). Dans le cadre de cet article ça vient naturellement comme un cas particulier de ce cas plus général. Je ne prétends pas du tout que c'est le cas dans un autre contexte. Il s'agit dans ces sections d'une part de faire fonctionner les définitions et résultats basiques en illustrant d'autre part d'ouvrir sur les domaines où intervient le dénombrable. De plus le détour par wikiversité que tu proposais, outre quelques clics, demande de savoir ce qu'est un espace séparable (normal dans le contexte d'un exercice de topologie). Dans le même ordre d'idée je ne suis pas sûr que la généralisation aux ouverts soit une amélioration (dans le contexte particulier de cet article évidemment) : la notion d'intervalle ouvert est plus élémentaire, c'est la seule utile pour suivre ici (ce serait tout à fait hors sujet de compléter la preuve sur la décomposition), et les liens (dont ceux que tu as ajouté) conduisent aux résultats plus généraux. Proz (discuter) 29 mai 2018 à 09:40 (CEST)