Discussion:Ensemble bien ordonné

la question des contre exemples

Je viens ici parce que si on continue à discuter par commentaire de modif interposés, ça va finir par avoir l'air d'une guerre d'édition. La raison pour laquelle j'insiste sur la nuance entre les ensembles qui sont d'extension infinie à gauche et ceux qui sont dense, c'est que pour le non mathématicien, c'est loin d'être immédiat. même pour celui qui a une bonne base en maths, nous n'avons pas l'habitude de jongler tous les jours avec ces concepts et clairement, c'est pas parce qu'une fois qu'on le sait, c'est évident, que pour autant, ça ne fait pas du bien de l'avoir vu d'abord.

Camion (d) 11 juin 2010 à 22:21 (CEST)

Je ne comprends pas bien ce que tu désignes par "d'extension infinie à gauche" ou par "dense" mais comme ensembles ordonnés, $\mathbb {R}$ et $]0,1[$ sont isomorphes. Je comprends que certains lecteurs peuvent penser plus naturellement à compléter le second par 0 et 1 que le premier par $-\infty$ et $+\infty$, mais ce ne me semble pas une bonne idée de les maintenir dans l'erreur naïve de voir des différences entre deux exemples identiques (même si j'ai, par esprit de compromis, cédé un peu en mentionnant $\mathbb {R} ^{+*}$, sans être convaincu que c'est une très bonne idée). Touriste (d) 11 juin 2010 à 22:29 (CEST)

Entièrement d'accord avec toi, Touriste (et t'encourage à supprimer ta "concession", pour exactement la même raison : $\mathbb {R} ^{+*}\simeq \mathbb {R}$). Anne Bauval (d) 11 juin 2010 à 22:44 (CEST)

Oui mais non, justement, c'est là l'erreur : Il ne s'agit pas de $]0,1[$ mais de $[0,1]$ (par exemple). =>Parce que $]0.25,0.75[$ est un sous ensemble de $[0,1]$. Voir la définition : Il faut que tous les sous ensemble aient un minimum et ce n'est jamais je cas des sous ensembles ouverts. C'est pour ça que l'exemple des entiers et de l'intervalle ne sont pas du tout équivalents. Camion (d) 11 juin 2010 à 22:47 (CEST)

« ce n'est jamais je cas des sous ensembles ouverts ». Des ensembles ouverts de $\mathbb {R}$ non, en effet, mais des ensembles ouverts de $\mathbb {N}$ oui. L'idée de faire intervenir le mot « ouvert » dans cet article me semble surprenante. Touriste (d) 11 juin 2010 à 22:50 (CEST)

Euh... C'est quoi, un ouvert sur $\mathbb {N}$ ??? Il me semble que pour pouvoir faire un nuance entre un ouvert et un fermé, il faut être dense, non ? La raison de faire intervenir la notion d'ouvert, c'est typiquement parceque l'infimum d'un ouvert (à gauche) ne fait pas partie de l'ouvert. (accessoirement, le fait que ça semble surprenant est la preuve que cet exemple mérite d'être explicitement mentionné. d'autant qu'au premier abord, ça m'avait échappé aussi.) Camion (d) 11 juin 2010 à 23:08 (CEST)

Un ouvert sur $\mathbb {N}$ pour la topologie la plus usuelle, qui se trouve être exactement comme pour $\mathbb {R}$ la topologie de l'ordre (qui est aussi la topologie discrète, et qui est aussi la topologie induite pour l'inclusion $\mathbb {N} \subset \mathbb {R}$). Je ne peux pas répondre à votre question : « Il me semble que pour pouvoir faire un nuance entre un ouvert et un fermé, il faut être dense, non ? » faute de la comprendre - je crois être capable de faire la nuance entre ouverts et fermés, et ne sais pas trop si je suis dense ou non (en quel sens de "dense" ?). « l'infimum d'un ouvert (à gauche) ne fait pas partie de l'ouvert » : c'est vrai dans $\mathbb {R}$ mais pas dans n'importe quel ensemble ordonné - et ce n'est pas propre aux ouverts de $\mathbb {R}$, des tas de parties plus ou moins biscornues ont cette propriété, pourquoi vous focaliser ainsi sur les ouverts ? Enfin dans votre dernière phrase je n'ai pas compris ce que le pronom « ça » désignait. Excusez-moi d'être un peu abrupt, mais la communication n'est pas très facile dans la mesure où vous n'utilisez pas un vocabulaire très précis, et utilisez un vocabulaire qui vous paraît intuitif mais ne l'est pas tant que ça. La difficulté que j'ai à vous comprendre en page de discussion me pousse, même si ce n'est pas très amène, à vous suggérer de vous mettre _d'abord_ au point sur les thèmes des articles sur lesquels vous souhaitez intervenir, puis d'intervenir _ultérieurement_ sur ces articles. Touriste (d) 11 juin 2010 à 23:15 (CEST)

Bon... (grmbl)

• Si je prends la définition de l'article sur les ouverts : un ensemble ouvert, aussi appelé une partie ouverte ou, plus fréquemment, un ouvert, est un sous-ensemble d'un espace topologique qui ne contient aucun point de sa frontière. Je ne vois pas comment faire pour qu'un intervalle sur les naturels soit spécifiquement ouvert ou fermé.
• Si je peux définir un ouvert sur $\mathbb {R}$ ou sur $\mathbb {Q}$, c'est parceque ces deux ensembles ont une propriété de densité qui fait que je peux m'approcher aussi près que je veux d'un nombre x, avec un nombre y différent de x qui appartient aussi à l'ensemble. ça n'est pas vrai dans N et suis étonné que cette propriété vous soit étrangère.
• Je ne me focalise pas sur les ouverts, mais si je reprends la définition dans l'article : Un ensemble ordonné ( E, ≤ ) est bien ordonné et la relation ≤ est un bon ordre si toute partie non vide de E possède un plus petit élément. cela implique de façon immédiate qu'un ensemble bien ordonné ne peut pas contenir d'ouverts vu qu'un ouvert (à gauche) est un ensemble qui ne possède pas de plus petit élément. C'est donc le cas de n'importe quel segment sur $\mathbb {R}$ ou sur $\mathbb {Q}$, qu'il soit ouvert ou fermé, puisque de toute façon, il contiendra des ouverts. alors que sur les entier, pour avoir cette propriété, il faut aller jusqu'à $-\infty$
• Le "ça" dans ma phrase "Le fait que ça semble surprenant (...)" faisait référence à "L'idée de faire intervenir le mot « ouvert » dans cet article" dans votre phrase "L'idée de faire intervenir le mot « ouvert » dans cet article me parait surprenante".
• Votre remarque sur la question du langage est certainement pertinente vu que je ne suis pas mathématicien de profession et que le langage hermétique m'ennuie, mais à cet égard, je pourrais vous la retourner. Wikipedia n'étant pas réservé à l'usage des mathématiciens, il serait bon que les personnes qui écrivent soient également capable d'exprimer et de comprendre les concepts dans des termes accessibles aux non-mathématiciens.

Camion (d) 12 juin 2010 à 00:08 (CEST)

• Ce n'est pas la définition que vous citez là mais une explication de celle-ci au résumé introductif (je ne suis pas convaincu qu'elle soit très judicieusement choisie d'ailleurs, mais ne partons pas tous azimuths). La définition est plus bas dans l'article : « Par définition, un ensemble $U$ est un ouvert de $(X,T)$ si et seulement si $U$ est un élément de $T$ ».
• Non, ce que vous affirmez là est faux. On peut définir un "ouvert" sur n'importe quel ensemble, même en l'absence de distance (dans des contextes où « aussi près » n'a simplement aucun sens).
• « un ouvert (à gauche) est un ensemble qui ne possède pas de plus petit élément ». Non. Même pour la topologie de l'ordre un ouvert peut avoir un plus petit élément. Dans $\mathbb {N}$ le plus petit élément de l'ouvert $]0,3[$ est $1$.
• Je remonte donc à votre phrase initiale : « le fait que ça semble surprenant est la preuve que cet exemple mérite d'être explicitement mentionné ». Je ne vois pas en quoi le fait que j'ai pu être surpris prouve quoi que ce soit.
• « Wikipedia n'étant pas réservé à l'usage des mathématiciens, il serait bon que les personnes qui écrivent soient également capable d'exprimer et de comprendre les concepts dans des termes accessibles aux non-mathématiciens. » Ce serait peut-être bon, mais je pense que pour certains articles c'est impossible (du moins si on entend par « non-mathématiciens » les personnes n'ayant pas de bagage mathématique adapté au niveau de difficulté d'un concept).
• Cette discussion s'éloigne de l'objectif de cette page : participer à la rédaction de l'article Ensemble bien ordonné. Ne soyez donc pas surpris si je ne réponds pas forcément à toutes les questions que vous pourriez poser en retour. Touriste (d) 12 juin 2010 à 08:53 (CEST)

C'est vrai, la discussion s'éloigne, mais il me semble que ce n'est pas moi qui ait choisi ça. Pour recentrer, je disais donc que $[0,1]$ sur $\mathbb {R}$ ou sur $\mathbb {Q}$ n'est pas isomorphe à $\mathbb {R}$ ou à $\mathbb {Q}$ et que par conséquent il est utile de le mentionner dans les contre-exemples parce que ce n'est pas si trivial que ça.Camion (d) 12 juin 2010 à 14:30 (CEST)

Là ma réponse n'est pas « hors de question », mais quand même ça s'obtient en rapprochant les deux derniers items de la liste d'exemples ([0,1] contient ]0,1[, qui n'est lui-même pas bien ordonné) -> en d'autres termes ça n'apporte du nouveau qu'infinitésimalement par rapport à ce que contient déjà l'article ; une collection d'exemples a quand même parmi ses qualités possibles à être raisonnablement courte et diversifiée. Par ailleurs multiplier les exemples négatifs n'est pas très passionnant : les ensembles bien ordonnés sont assez exceptionnels (en un sens tout à fait informel) parmi les ensembles ordonnés, donc les exemples d'ensembles pas bien ordonnés ne sont ni très surprenants ni très instructifs. Pour toutes ces raisons, je pense que ce n'est pas une très bonne idée de mentionner cet exemple. Touriste (d) 12 juin 2010 à 14:35 (CEST)

Pas du tout d'accord : les exemples négatifs sont ce qui permet de comprendre les limites des exemples positifs. C'est un élément fondamental de la compréhension !!! Tels que formulés actuellement les exemples laissent penser que c'est parce que ces deux ensembles ne contiennent pas leur infimum qu'ils sont mal ordonnée. ce n'est pas le cas de [0,1] Camion (d) 12 juin 2010 à 17:48 (CEST)

Je n'ai pas grand chose à ajouter : mon point de vue n'a pas changé (ne multiplions pas les exemples négatifs qui _ici_ ne sont pas éclairants - je ne nie pas que sur maints sujets les exemples négatifs peuvent être très éclairants, c'est-à-dire surtout lorsque la raison pour laquelle une définition n'est pas vérifiée est un peu cachée). Le vôtre non plus ; je vous concède qu'il n'est pas aberrant : rajouter cet exemple ne déséquilibrerait pas lourdement l'article, c'est sûr. Je continue donc à suggérer de ne pas, sans argument nouveau, et sans insister trop lourdement ce n'est pas bien important à mon sens. Touriste (d) 12 juin 2010 à 19:25 (CEST)

Si j'insiste sur cet exemple, c'est précisément parce que je me suis rendu compte à la lecture d'autre articles, que cet aspect des choses m'avait échappé. Par conséquent, en tant que lecteur, j'aurais été heureux de trouver cette information et je pense que si c'est mon cas, ça peut également être celui d'autres personnes. Comme je l'ai déjà mentionné, La formule actuelle laisse penser que les deux exemple ne sont pas bien ordonnés parce qu'ils n'ont pas de plus petit élément, ce qui est faux.Camion (d) 12 juin 2010 à 19:47 (CEST)

Euh ? La formule actuelle est juste, je ne vois pas ce qui est faux dans l'état actuel de l'article. Ce que l'article ne dit pas en effet, c'est qu'il existe des exemples d'ensembles totalement ordonnés, sans plus petit élément, non vides, et pourtant pas bien ordonnés. Il me semble qu'on se passe de tels exemples : cet aspect des choses qui vous avait échappé n'est pas particulièrement à mettre en relief, il n'éclaire pas spécialement. Touriste (d) 12 juin 2010 à 19:50 (CEST)

Je n'ai pas dit qu'elle était fausse, j'ai seulement dit qu'en ne présentant que cet aspect là, sans faire référence au fait qu'il suffit qu'un sous ensemble ait la propriété de ne pas contenir son infimum, ça laisse penser que justement [0,1] pourrait être bien ordonné parce qu'il a un minimum. Par ailleurs, je trouve que c'est vraiment pas mal de montrer la différence entre ce qui se passe d'un coté dans $\mathbb {Z}$ et de l'autre dans $\mathbb {R}$ et $\mathbb {Q}$. C'est pourquoi j'aimerais beaucoup qu'on laisse cette nuance que j'ai proposé. Camion (d) 12 juin 2010 à 21:57 (CEST)

Le mot "sous-ensemble" souligné m'inquiète un peu, ainsi que le mot infimum : certes si un ensemble ordonné A est un sous-ensemble d'un ensemble ordonné E et si A possède une borne inférieure dans E qui n'est pas élément de A, on fournit une façon contournée de prouver que A n'a pas de plus petit élément - mais je ne vois pas d'exemple où ça serait autre chose que d'allonger la sauce de la vérification directe. Le concept d'infimum est franchement hors sujet ici et embrouillerait le lecteur. Touriste (d) 12 juin 2010 à 22:10 (CEST)

Une partie non vide, si vous préférez... Pour le concept d'infimum, je ne l'avais pas utilisé dans l'article mais seulement ici en discussion. Ceci dit, je ne vois pas en quoi il est hors sujet. Il me semble qu'il est équivalent de dire qu'une partie non vide de $\mathbb {R}$ ou de $\mathbb {Q}$

• est un ouvert à gauche,
• ne contient pas son infimum
• n'a pas de plus petit élément

Et par ailleurs, il me semble aussi que chacune de ces 3 propriétés impliquent automatiquement ma partie non vide soit dense dans $\mathbb {R}$ ou $\mathbb {Q}$, au moins dans un voisinage de l'infimum.

Ceci dit, pour l'article, moi, si on ajoute simplement que l'intervalle [0,1] sur $\mathbb {R}$ ou sur $\mathbb {Q}$ n'est pas non plus bien ordonné parce qu'il contient ]0,1] qui n'a pas de minimum, je suis content.

Camion (d) 13 juin 2010 à 02:24 (CEST)

Pour conclure :

• je n'ai toujours pas changé d'avis sur l'opportunité de cet exemple ;
• mais ce n'est pas un point sur lequel je suis absolument certain d'être dans le Vrai, et mon contradicteur dans l'Erreur : si tu modifies l'article pour ajouter l'exemple, pas de revert à craindre (de ma part), je ferai avec ;
• merci au passage pour avoir pris tant de temps au dialogue avant d'agir, rien de tel pour apaiser les tensions. Je te suggère d'attendre deux ou trois jours pour modifier l'article si tu y tiens, histoire de laisser les autres personnes qui voudraient dire leur mot le dire _avant_ ton intervention dans le texte, c'est certainement plus productif en terme d'ambiance ;

J'arrête pour ma part la discussion ici : je crois n'avoir rien à ajouter. Bonne continuation ! (Enfin je garde la page en suivi, je peux donner mon avis sur autre chose si besoin est ultérieurement). Touriste (d) 13 juin 2010 à 08:23 (CEST)

Ok, pas de problème. Camion (d) 13 juin 2010 à 16:24 (CEST)

Je suis d'accord avec Touriste sur ses nombreux arguments pour ne pas rajouter de contre-exemple et sur le fait que Camion n'a produit aucun contre-argument convaincant (et aussi sur le fait qu'ici, on n'en fera pas une jaunisse). Je peux me tromper, mais il me semble à moi aussi que parler de topologie ou d' « infimum » n'est pas pertinent ici et ne ferait qu'embrouiller le lecteur (et en cas de doute, c'est à l'ajouteur de sourcer une telle pertinence : le fait qu'en première lecture telle ou telle chose lui ait, personnellement, échappé, et son cheminement intuitif personnel, ici comme ailleurs, n'est pas probant). Oublions alors ces à-côtés : le contre-exemple proposé est un ensemble qui est mal ordonné parce qu'il possède une partie n'ayant pas d'élément minimum. La belle affaire ! C'est la définition. Elle est suffisamment claire pour qu'on laisse le lecteur choisir (en paix, et activement) ses propres contre-exemples. Quant aux styles des articles de maths sur WP, ils sont multiples en fonction du sujet, et lorsque le sujet s'y prête, multiples au sein d'un même article. Ils supportent très bien la comparaison avec l'Encyclopédie Universalis (qui n'est pas, elle non plus, réservée aux matheux, mais qui, pour les notions "hard", donne des explications indispensablement précises donc "hard", sans se substituer aux ouvrages de vulgarisation, par ailleurs écrits par des pros).

Anne Bauval (d) 13 juin 2010 à 20:57 (CEST)

1. Oui, c'est votre position : En paix et activement, Elle est adéquate pour un cours où on cherche à former la pensée mathématique, mais pas pour une encyclopédie qui doit permettre avant tout de trouver l'information sans y mettre comme condition une épreuve de force avec la connaissance. Personellement, quand je fais une recherche dans un dictionnaire ou une encyclopédie, j'aime que cette recherche alimente ma réflexion, mais pas qu'elle nécessite des heures de réflexion approfondie et recherche supplémentaire, tortueuse et labyrinthique comme nécessité préalable à la compréhension du sujet qui m'avait amené à faire la recherche. (enfin, si possible)
   Les gens qui font une recherche ne sont pas forcément des étudiants, mais sont parfois des gens déjà très éduqués qui ont déjà formé leur esprit mais n'ont simplement pas forcément fait tous les liens. Ces gens souvent attende d'une recherche dans une encyclopédie, qu'elle leur fasse gagner du temps. Contrairement à celui qui doit former son esprit, celui qui l'a déjà fait, va voir l'information qui lui manque et se dire : "bon sang, mais c'est bien sûr, comment n'y ai-je pas pensé plus tôt ?". Je ne pense pas que ce soit l'objet d'une encyclopédie de le priver de cette information et de le forcer à réfléchir 3 jours pour se dire finalement : "Il est possible que quelque chose m'ait échappé".
2. Ensuite, comme je l'ai fait remarquer, corrigez moi si je me trompe, mais il me semble qu'il est équivalent de dire qu'une partie non vide de $\mathbb {R}$ ou de $\mathbb {Q}$
     -  est un ouvert à gauche,
     -  ne contient pas son infimum
     -  n'a pas de plus petit élément
   Et par ailleurs, il me semble aussi que chacune de ces 3 propriétés impliquent automatiquement ma partie non vide soit dense dans $\mathbb {R}$ ou $\mathbb {Q}$, au moins dans un voisinage de l'infimum. Donc, si ces trois notions sont équivalentes, je dirais qu'elles sont pertinentes, cependant, je conçois bien que la multiplications des sujets soit un élément perturbateur et comme je l'ai également fait remarquer, dans ma dernière proposition, il n'était nullement question de les mentionner dans le texte. J'ai gardé ça pour la discussion.
3. En ce qui concerne la vulgarisation et les professionnels, c'est un sujet donc on pourrait discuter très longuement. Vous êtes sûrement tous très compétents dans le domaine des mathématiques, mais par contre, j'ai un doute (alimenté par pas mal de recherches d'informations mathématiques sur wikipédia depuis plusieurs années) en ce qui concerne votre perception de ce qui devrait ou non être évident/trivial pour les non-mathématiciens. Je suis un éternel étudiant, j'adore revenir régulièrement faire un tour sur les bancs d'université dans des domaines très variés. J'ai vu des professeurs d'universités qui étaient loin d'être des professionnels de la pédagogie; j'ai vu des professionnels de la pédagogie être très controversés sur le terrain; et j'ai vu des ouvrages de vulgarisation faits par des pros, qui faisaient largement l'impasse sur la question de l'exactitude mathématique (en particulier des cours pour le secondaire), alors excusez moi mais tout cela m'impressionne assez peu. par contre, je n'ai pas vu l'encyclopédia universalis, mais je ne pense pas qu'elle doive servir de master à wikipedia. Le gros avantage de l'encyclopedie en ligne, c'est qu'elle a énormément plus de contributeurs (même occasionnels), qu'on peut suivre les informations en cliquant sur un lien et que ce n'est pas parce qu'on y ajoute des pages que les volumes pèseront plus lourd, donc, je ne vois pas trop de raisons valables de faire l'impasse sur la compéhensibilité.

Camion (d) 14 juin 2010 à 00:41 (CEST)

Sur les points 1 et 3, qui s'écartent de l'objet de cette PdD, j'ai pesé chaque mot donc je ne polémiquerai pas plus. Sur le point 2, consensus avec Touriste : "si ces trois notions sont équivalentes, je dirais qu'elles sont pertinentes" : pertinence (pour cet article ! ) à sourcer. Et l'ajout de contre-exemples (même sans mention de ces considérations) ne ferait qu'alourdir le texte sans éclairer cette définition. Anne Bauval (d) 14 juin 2010 à 01:35 (CEST)

Euh sur le "2" puisque Anne Bauval me cite, je n'y avais pas répondu parce que je n'y comprenais rien : le mot "ouvert à gauche" n'a pas de définition standardisée (que veut-ce dire pour vous ?). Sur ce que je comprends, c'est au moins partiellement peu clair puisque vous parlez de "son infimum" qui n'existe pas forcément pour une partie non vide, si elle n'est pas minorée. Touriste (d) 14 juin 2010 à 08:32 (CEST)

J'avais remarqué tout ça mais à quoi bon ... (lassitude ! ) Je ne prétendais pas que tu avais un avis là-dessus (ni moi), mais seulement sur la pertinence de parler de topologie dans cet article, ou sur le fait qu'ajouter des contre-exemples soit plus bénéfique que nocif. Anne Bauval (d) 14 juin 2010 à 09:28 (CEST)