Discussion:Divergence

Divergence en optique vs. divergence en mathématiques

Cet article contient une erreur grossière : assimilation de la divergence en optique à la divergence des séries en math : dans l'article la phrase La divergence infrarouge et la divergence ultraviolette en sont deux exemples. se rapportait aux séries

je supprime la partie concernant l'optique (on ne peut pas laisser des choses pareilles) mais je ne vois pas trop comment bien rédiger la partie optique, indispensable dans une page d'homonomie. Jaclaf (discuter) 27 avril 2016 à 21:09 (CEST)

En fait la divergence infrarouge et la divergence ultraviolette ne concernent pas l'optique, quoiqu'en laissent paraître leurs dénominations. Il s'agit de divergences d'intégrales. Ce n'était donc pas aussi idiot qu'il y paraissait. Mais bon, une intégrale n'est pas une série... — Ariel (discuter) 28 avril 2016 à 13:59 (CEST)

Ok mais il faudrait éviter les termes trop techniques dans une telle page. Et il reste vrai qu'il manque la bonne vieille divergence des systèmes optiques Jaclaf (discuter) 28 avril 2016 à 16:02 (CEST)

Divergence d'un champ de vecteurs

La phrase « la divergence d'un champ de vecteurs mesure la variation du volume sous l'action du flot de ce champ » est idiote. Mais je ne sais pas bien par quoi la remplacer, sauf à évoquer explicitement le théorème de Stokes. — Ariel (discuter) 28 avril 2016 à 14:09 (CEST)

Cette phrase veut dire en termes "imagés" (avec les inconvénients de ce type de langage, mais qui a place dans une encyclopédie que la dérivée de Lie de la forme volume par rapport au champ vaut (divergence)xforme volume). Cela est explicité dans l'article divergence analyse vectorielle mais ne me semblait pas indispensable dans une page d'homonymie où il faut éviter la technnique. On n'a absolument pas besoin de la formule de Stokes, et de toute façon ce ne serait peut-être pas très judicieux de parler de la formule de Stokes dans cette page. Bien cordialement, de la part de l'idiot de service Jaclaf (discuter) 28 avril 2016 à 15:55 (CEST)

Désolé de mon insolence si la phrase incriminée est de toi... Pour en revenir au sujet : quelle est donc la variation de volume (quel volume, d'ailleurs ?) que mesure la divergence du flux de chaleur, ou celle du champ électrostatique, ou celle du champ de gravité, pour prendre n'importe quels exemples classiques de champs de vecteurs ? — Ariel (discuter) 28 avril 2016 à 17:53 (CEST)

Voir divergence au tout début de l'article Jaclaf (discuter) 28 avril 2016 à 20:07 (CEST)

Ouh là là ! Merci de m'avoir signalé cette intro de l'article divergence (analyse vectorielle). C'est une belle connerie, si vous me passez l'expression. L'article anglais correspondant Divergence dit «  the divergence represents the volume density of the outward flux of a vector field from an infinitesimal volume around a given point », ce qui est exact et ne veux pas du tout, mais alors pas du tout, dire la même chose. La volume density (densité volumique) d'un flux n'a rien à voir avec le volume lui-même, sauf précisément, comme l'indique la suite de l'article en anglais, quand le champ de vecteurs considéré est le champ de vitesse... — Ariel (discuter) 29 avril 2016 à 09:22 (CEST)

Je vous passe volontiers l'expression, Monsieur le Professeur émérite. Vous voulez donc dire que la formule qui se trouve au début de l'article est fausse. Alors cherchez l'erreur dans la démonstration, beaucoup de membres de la communauté scientifique vous en seront reconnaissants.

Ça y est, j'ai compris d'où vient ce résumé ahurissant : il s'agit du "volume" dans un espace où le vecteur X représente un point (ses composantes sont les coordonnées cartésiennes dans cet espace). Je maintiens qu'une première phrase du genre « En géométrie, la divergence d'un champ de vecteurs mesure le défaut de conservation du volume sous l'action du flot de ce champ » est ahurissante, si l'on ne précise pas qu'on parle ici de vecteurs spatiaux, alors que dans cet espace de la géométrie ordinaire on fait de la physique et qu'on considère bien d'autres types de vecteurs. Pensez à tous les scientifiques qui s'intéressent à la divergence d'un champ de vecteurs et ne considèrent pas que le volume soit sous-entendu comme calculé dans un espace où les distances s'expriment en V/m, en m/s², en W/m², etc. !

Plus sérieusement. Cette affirmation n'est nullement contradictoire avec l'interpretation en termes de flux que vous citez et qui d'ailleurs est mentionnée et justifiée plus loin dans l'article. Un même concept peut avoir plusieurs interprétations ce n'est pas parce que vous ignorez celle-là qu'elle est fausse (pourtant la divergence s'exprime comme la trace d'une matrice, la trace s'interprète souvent comme la dérivée d'un déterminant, le déterminant lui-même s'interprète souvent comme un volume, vous avez du voir ça dans vos études...)

Vous me faites peur. (1) « la divergence s'exprime comme la trace d'une matrice » : d'accord, mais (au regard de la suite) la trace d'une matrice dont les éléments sont eux-mêmes des dérivées (spatiales, d'ailleurs, pas n'importe quelles dérivées). (2) « la trace s'interprète souvent comme la dérivée d'un déterminant » : mais jamais de la vie, Bon Dieu ! La trace d'une matrice (carrée) est la somme de ses valeurs propres, son déterminant en est le produit. Il faut se lever de bonne heure pour comparer une trace à la dérivée (par rapport à quoi, d'ailleurs ?) d'un déterminant. (3) « le déterminant lui-même s'interprète souvent comme un volume » : quand ses éléments sont les composantes de trois vecteurs spatiaux de l'espace euclidien ordinaire, d'accord. Personne je crois ne parle de volume quand ces éléments sont les composantes de vecteurs vitesse, champ électrique, gravité, champ magnétique, flux de chaleur, etc.

Flux et flot(flux et flow si vous tenez à l'anglais) sont deux choses DIFFERENTES.

Jaclaf (discuter) 29 avril 2016 à 11:30 (CEST)

Là vous avez raison, mais j'ai une excuse : pendant mes études et longtemps après encore on utilisait en français le mot flux pour deux notions différentes, l'une vectorielle (l'actuel flot) et l'autre scalaire (l'actuel flux). On parlait ainsi du « flux du vecteur (= du champ de vecteurs) flux de chaleur à travers telle ou telle surface ». Je reconnais que c'est bien d'avoir levé l'ambiguïté. Désolé si je suis un peu moyenâgeux... — Ariel (discuter) 29 avril 2016 à 14:21 (CEST)

un vecteur n'est jamais un point.

Où ai-je dit cela ? Je n'ai même pas utilisé le mot "point" dans mes propos.

Lisez la suite de l'article. pour une notion aussi polyvalente que celle de divergence, il n'est peut être pas mauvais de commencer par un espace "mathématique". L'un des auteurs du livre que j'ai cité sur votre page est l'un des meilleurs spécialistes mondiaux en systèmes dynamiques, désolé pour l'argument d'autorité, mais il vaut mieux que l'autorité d'un article de wp fût-il anglo-saxon.

Oui j'ai vu votre contribution à ma PdD, j'y répondrai là-bas.

oui, la dérivée d'un déterminant "est" une trace, formule lapidaire d'accord mais

a) cela se trouve en filigrane dans la démonstration de la formule ahurissante de l'article

J'ai beau regarder de près, je ne vois pas ce filigrane...

b) au second ordre près, comme disent souvent - et souvent avec raison - les physiciens, $det(I+\epsilon A)=1+\epsilon tr(A)$

et il y a plein de formules de même genre.

Jaclaf (discuter) 29 avril 2016 à 15:29 (CEST)

« oui, la dérivée d'un déterminant "est" une trace », en me donnant comme exemple $det(I+\epsilon A)=1+\epsilon tr(A)$ (ce qui n'est vrai, bien sûr, que quand ε est un infiniment petit). Là je trouve que vous frisez la mauvaise foi. (1) Où donc est dans votre exemple la dérivée d'un déterminant ? (2) Prenez A diagonale et vous verrez que vous être en train de me dire que la dérivée d'un produit est une somme, en me donnant comme exemple que $(1+\epsilon _{1})(1+\epsilon _{2})(1+\epsilon _{3})=1+(\epsilon _{1}+\epsilon _{2}+\epsilon _{3})$ au second ordre près (quand les ε sont des infiniments petits d'ordre 1, bien sûr) ! — Ariel (discuter) 29 avril 2016 à 16:20 (CEST)

du danger des discussions informelles. J'ai dit "au second ordre près" ce qui signifie que $det(I+\epsilon A)=1+\epsilon tr(A)+o(\epsilon )$ pour n'importe quelle matrice A, où $o(\epsilon )$ tend vers zéro plus vite que $\epsilon$ (notation dite de Landau) et illustre le fait bien connu que l'application linéaire tangent -autrement dit la différentielle - en l'élément neutre à l'application déterminant est la trace. Voir par ex. Rouvière, Petit guide de calcul différentiel, ed. Cassini.

quant au rapport entre déterminant et volume, j'ai écrit "souvent" ce qui ne veut pas dire toujours. Le calcul d'un volume en coordonnées "curvilignes" par ex. polaires ou sphériques fait intervenir ce que l'on appelait autrefois le déterminant fonctionnel (voir sur wp l'article Intégrale multiple même si ce terme n'y est pas employé. Autre exemple (mais ils sont foule) : l'élément de volume d'un espace de Riemann fait intervenir le déterminant (en fait sa racine carrée) par rapport aux coefficients $g_{ij}$ de la métrique. Vos souvenirs mathématiques semblent lointains (témoin la terminologie "flot d'un champ de vecteurs" qui existe depuis plus de 40 ans, mais que vous ignoriez), alors pourquoi ne pas réfléchir un peu avant de répondre aussi péremptoirement ?. Jaclaf (discuter) 29 avril 2016 à 20:59 (CEST)

Je réponds mais c'est la dernière fois, vous ne lisez que ce qui vous plaît et surtout vous employez un ton désagréable qui n'est pas de mise sur Wikipédia (pour ma part j'ai eu le malheur de qualifier d'idiote une phrase, ou de connerie une autre phrase, mais sans savoir qui en était l'auteur et je me suis déjà excusé).

1. Merci, je sais encore ce qu'est un développement limité et un ordre d'infiniment petit. Je répête : vous dites « la dérivée d'un déterminant "est" une trace » en citant un exemple où le déterminant n'a pas été dérivé, et où la matrice est infiniment proche (au sens des D.L.) de l'identité.
2. Vous répétez que « le déterminant lui-même s'interprète souvent comme un volume ». Souvent, quand ça n'arrive que quand les colonnes (ou lignes) de la matrice sont des vecteurs spatiaux de l'espace ordinaire (voire de Rⁿ, si vous voulez), c.-à-d. un epsilon parmi l'usage des déterminants (croyez-moi, j'en ai utilisé quelques-uns en physique et géophysique) ?
3. Pour en revenir au débat de fond : la divergence d'un champ de vecteurs n'a de rapport avec le volume (au moins celui des utilisateurs ordinaires de l'analyse vectorielle) que quand il s'agit de vecteurs spatiaux ou de leurs dérivées temporelles (le seul exemple utile en pratique étant la divergence du champ des vitesses d'un fluide). La divergence du champ électrostatique, par exemple, est égale (à un facteur constant près) à la densité volumique de charge. Dans tous les exemples pratiques que je connais (à part celui des vitesses) la divergence correspond à la densité volumique de quelque chose, comme le dit très bien l'article en anglais auquel je me référais, pas au volume ni à sa conservation.
4. Je n'ignore pas le flot (mathématiques), mais les anciennes notations me reviennent spontanément, désolé...

— Ariel (discuter) 30 avril 2016 à 11:39 (CEST)