Discussion:Corps réel clos

Bonjour.

Le premier axiome donné pour les corps réels clos fait référence à la page corps ordonné. Je cite :

Il existe un ordre sur F en faisant un corps ordonné tel que, pour cet ordre, tout élément positif de F est un carré dans F, et tout polynôme de degré impair à coefficients dans F admet au moins une racine dans F.

La page à laquelle il est fait référence fait la distinction entre corps ordonné et corps totalement ordonné. Mais ici, c'est d'un corps totalement ordonné qu'on a besoin.

Preuve : Se placer dans $\mathbb {C}$, muni de la relation d'ordre des parties réelles citée en exemple 2 de la page corps ordonné. Cette relation est compatible et fait de $\mathbb {C}$ un corps ordonné. Tout polynôme de degré impair à coefficients dans $\mathbb {C}$ admet au moins une racine dans $\mathbb {C}$. Pourtant, le corps $\mathbb {C}$ n'est pas réel clos, puisqu'il est algébriquement clos.

On peut remplacer la référence par quelque chose comme ça : corps totalement ordonné.

Le risque, c'est que quelqu'un modifie par la suite la définition des corps ordonnés (par exemple, en appelant corps ordonné ce qui est appelé pour l'instant corps totalement ordonné).

Je ne connais pas assez Wikipedia pour savoir s'il y a un moyen d'éviter ce type de problème futur, ou au moins d'être alerté si quelqu'un modifie la page référencée. C'est le cas ?

--Taar (d) 19 janvier 2008 à 14:11 (CET)

Le corps des algébriques comme un corps réels clos

Le corps des algébriques contient au moins 1, -1, i et -i et n'est pas ordonné. Ne voudrait-on pas parler du corps de nombres algébriques réels? --Pierre de Lyon (d) 7 mai 2010 à 08:56 (CEST)

Après vérification, c'est bien du corps des réels algébriques que l'on parle. Je change donc le texte de l'article. --Pierre de Lyon (d) 7 mai 2010 à 10:00 (CEST)

Réels algébriques

La notion de réel algébrique n'est pas définie dans nombre algébrique, d'où la définition que j'avais "rappelée" (et tirée de Lang, Algebra). Soit on retire la référence aux réels algébriques dans l'article, soit on dit de quoi on parle.--Otto Cyber (discuter) 4 juillet 2014 à 09:52 (CEST)

Effectivement, dans la nouvelle formulation c'est plus clair. Il y a coïncidence entre deux notions : le « corps des réels algébriques » est, par définition, la clôture réelle de $\mathbb {Q}$. C'est aussi le sous-corps de $\mathbb {R}$ constitué des nombres qui sont algébriques. L'identité des deux notions est un théorème d'Artin et Schreier.--Otto Cyber (discuter) 4 juillet 2014 à 16:01 (CEST)

Néanmoins, « réel » a ici deux sens différents. Le corps des réels algébriques, à savoir l'extension de corps $\mathbb {Q} ^{c}\subset \mathbb {Q} ^{a}$ de ℚ (unique à un isomorphisme près), où $\mathbb {Q} ^{a}$ désigne le corps des nombres algébriques, tel que le degré $[\mathbb {Q} ^{a}:\mathbb {Q} ^{c}]$ est fini, coïncide avec le corps des ${\mathfrak {r{\acute {e}}els}}$ algébriques (suivant la notation de la traduction de l'article d'Artin et Schreier en référence), à savoir $\mathbb {R} \cap \mathbb {Q} ^{a}$. Il y a tout de même un glissement de sens dangereux. Est-il raisonnable de le passer sous silence?--Otto Cyber (discuter) 4 juillet 2014 à 17:33 (CEST)

Tout ça ne me semble poser aucun problème et figurait déjà implicitement dans l'article (y compris la « nouvelle » formulation). Je l'ai juste ajouté sous forme d'une remarque, mieux placée qu'en première section et formulée de façon plus légère. Y donner plus d'importance serait à mon avis un biais. Au fait, où exactement dans Algebra Lang donne-t-il ta « définition » ? Anne (discuter) 4 juillet 2014 à 22:16 (CEST)

p. 457, Example. Cela dit, je ne tiens pas à compliquer inutilement les choses...--Otto Cyber (discuter) 5 juillet 2014 à 11:25 (CEST)

Merci, je vais ajouter ta réf. Ouf, elle prétendait donc pas (re-) « définir » de façon si tordue les nombres réels algébriques. Anne (discuter) 5 juillet 2014 à 14:03 (CEST)