Discussion:Axiome du choix

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Euh, au fait, qu'est-ce qu'une « classe des parties d'un ensemble » ? Il me semblait que les parties d'un ensemble (poset) formaient un ensemble, et donc toute partie du poset est aussi un ensemble, donc en aucun cas une classe propre. Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ? --[[Utilisateur:Aldoo|Aldoo✉]] 7 déc 2004 à 19:45 (CET)

Je ne comprends pas pourquoi vous avez mis "poset" entre parenthèses lors de votre 1ère utilisation puisqu'il semble que votre raisonnement fasse de cette notion la clé de voûte de votre contre-exemple. Je veux dire : votre contre-exemple n'est-il pas uniquement valable si et seulement si on prend un poset ? :--Khwartz, le 27/1/2019 à 19 h 12

Aldoo (parti depuis longtemps) n'insistait pas sur poset. Il réagissait juste au mot « classe », introduit par erreur ce jour-là par Jobert (parti lui aussi), qui l'a aussitôt enlevé. Anne, 20 h 37

Merci pour les information et votre pont de vue mais je ne vois pas en quoi cela invalide le mienne, chère Anne, mais c'est pas grave ^_^ --Khwartz (discuter) 18 février 2021 à 19:47 (CET)

Erreur dans la définition

Il me semble que la première définition de l'axiome du choix est incorrecte. Remplacer par : il existe une fonction f de C dans E telle que pour tout X dans C, f(X) appartient à C (et non à E) (dans la définition donnée, il suffit de prendre une fonction constante égale à un élément de E)

Votre intervention me paraît incompréhensible, peut-être à cause de changements ultérieurs de la définition donnée dans cette page. Que sont C, E ? (Si vous aviez signé j'aurais pu vous contacter directement...)

--Hpa (discuter) 2 juillet 2015 à 14:50 (CEST)

Hmm...

Appartient à X plutôt... Hmmmm...

Hm-Hm !

Ben non, je dirais plutôt à E :
Déjà une fonction f de C dans E, ça donne un bon indice pour dire que l'image d'un élément de C par f sera dans E.
Il suffit d'un petit exemple pour s'en convaincre :
Soit E : {1,2,3}
On a donc P(E): {{Ø},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}
Et C est un sous-ensemble de P(E) (ne contenant pas {Ø}), par exemple {{1},{1,2,3},{1,3}}
La définition dit ceci :
C est une famille d'ensembles à chacun desquels ont peut associer une fonction qui lui associe un de ses éléments.
Par exemple, on peut imaginer une fonction qui à un ensemble associe le dernier de ses éléments : f({1}) = 1, f({1,2,3}) = 3, f({1,3}) = 3.
Vous voyez bien que les éléments des ensembles qui forment l'ensemble C sont des éléments de E !
--Lolo101 30 août 2005 à 15:29 (CEST)
Bon ok, en mettant X c'est plus précis. Mais dans la mesure où X est une partie de E, ça marche aussi bien avec E.
--Lolo101 8 septembre 2005 à 16:33 (CEST)

Erreur frequente

je reviens la dessus, parce que ya pas mal de gens qui font l'erreur et qui "corrigent" l'article. c'est bien $f(X)\in X$, puisque f est une fonction de choix, c'est à dire une fonction capable de choisir un élément de X. donc non, ca ne marche pas avec E, sinon il suffirait en effet de prendre une fonction constante. par contre, la fonction est bien a valeur dans E puisque on cherche une fonction qui marche pour tout X. par exemple : on prend $E=\mathbb {N}$, $C=P(\mathbb {N} )$, une fonction de choix pourrait etre la fonction "minimum". en effet, pour tout $X\in P(\mathbb {N} )$, $min(X)\in X$, mais min est bien a valeur dans $\mathbb {N}$.Jobert 18 avril 2006 à 21:59 (CEST)

un point à préciser

L'axiome de choix n'est nullement nécessaire pour écrire soit e élément de A (lorsque A est non vide) (quand bien même A est potentiellement un produit infini) ? C'est l'écriture de e en tant que produit infini qui requiert AC. Ainsi construire une surjection de B sur A à partir d'une injection de A sur B ne requiert pas AC ? La construction inverse ... ? (voir aussi Théorème de Cantor-Bernstein)   <STyx

Si A est non vide et f est une injection de A sur B alors il existe g (surjective) de B dans A telle que gof = Id_A, sans faire appel à l'axiome du choix.

L'énoncé (pour tous ensembles A et B et toute surjection g de B dans A, il existe f (injective) de A dans B telle que gof = Id_A) est une formulation de l'axiome du choix. --Spoirier 3 juillet 2007 à 23:12 (CEST)

Autre formulation

Bonjour

Quelqu'un saurait-il m'expliquer l'équivalence avec la phrase "le produit d'une famille d'ensembles non vides est non vide" ? merci :) Ripounet 24 août 2006 à 10:27 (CEST)

Une famille d'ensembles $(E_{i})_{i\in I}$ est par définition une application f de I dans $\bigcup _{i\in I}{E_{i}}$ telle que, pour tout $i\in I$, $f(i)\in E_{i}$.

• Si on suppose que tout produit d'ensemble non vide est non vide: soit E un ensemble non vide et considérons la famille des parties non vides de E, i.e. $(X)_{X\in P(E)\setminus \{\emptyset \}}$: un élément du produit de cette famille est une fonction de choix sur E.
• Si on suppose l'axiome du choix: considérons une famille $(E_{i})_{i\in I}$ d'ensemble non vides et posons $E=\bigcup _{i\in I}{E_{i}}$. Soit f une fonction de choix sur E et posons, pour $i\in I$, $g(i)=f(E_{i})$. Alors g est une application de I dans $\bigcup _{i\in I}{E_{i}}$ et, pour tout i, $g(i)\in E_{i}$, ce qui montre que $g\in \prod _{i\in I}{E_{i}}$ qui est donc non vide.

Mû 24 août 2006 à 12:09 (CEST)

ADC Dénombrable

Il existe de définir une fonction de choix pour une famille finie d'ensembles non vides. Il me semble qu'on peut déduire l'ADC dénombrable du principe de récurrence, non ?

Ekto - Plastor 21 février 2007 à 20:07 (CET)

Non, je ne vois pas. Pourrais-tu donner en détail la démonstration que tu proposes stp? Mû 23 février 2007 à 07:45 (CET)

Soit $n\in\mathbb{N}$. Supposons qu'il y ait une fonction de choix pour $n$ ensembles quelconques de la famille. etc...

Je pense aussi qu'Ekto a raison. Oxyde 23 février 2007 à 10:52 (CET)

Pour un ensemble non vide, par définition, il est non vide, donc il existe un élément à l'intérieur.

Si une fonction de choix existe pour n ensembles non vides, en ajoutant un n+1-ième ensemble non vide et en choisissant un élément à l'intérieur, on prolonge la fonction de choix.

Moyennant le principe de récurrence, l'axiome du choix dénombrable est vrai.

Attention, on ne peut pas faire de récurrence transfinie car sans l'axiome du choix, on n'a aucune notion de cardinalité autre que fini et dénombrable. Ekto - Plastor 23 février 2007 à 11:08 (CET)

Je ne suis pas d'accord. Pour formaliser correctement une construction par récurrence on utilise l'axiome du choix dépendant (autrement dit, tu démontres ainsi que l'axiome du choix dépendant entraîne l'axiome du choix dénombrable, c'est tout). Mû 23 février 2007 à 16:47 (CET)

Détails divers

Il y a plusieurs choses qui me chiffonnent dans l'article:

- Il y a une première formulation, puis soi-disant un énoncé équivalent avec les produits. En fait c'est rigoureusement la même chose: une fonction de choix c'est ni plus ni moins un élément du produit, donc dire qu'il y existe une fonction de choix c'est dire que leur ensemble est non vide. Pourquoi prétendre que c'est un autre énoncé ?

- Par contre, dans chacun des deux cas, la formule écrite en langage mathématique est un énoncé vraiment différent, bien qu'équivalent, de celui écrit en français qu'elle était sensée traduire. Pourquoi faire semblant que c'est le même énoncé ? En effet, la formule ne parle pas d'une famille d'ensembles, mais d'un ensemble d'ensembles. Ce n'est pas la même chose. Quand on a un énoncé sur les familles, on peut en déduire un énoncé sur les ensembles, en traduisant l'ensemble E (d'ensembles ou de n'importe quoi d'autre) par la famille Id_E. Inversement, le cas d'une famille peut se ramener au cas d'un ensemble en prenant l'ensemble image de cette famille, sauf que des fois ça risque de ne pas marcher si la famille n'est pas injective. Ici en l'occurence pour l'axiome du choix on a de la chance, l'équivalence des énoncés se montre facilement, mais ça mérite une petite démonstration, qui n'a pas à être sous-entendue.

- Ca ne sert à rien de se restreindre aux produits de familles non vides d'ensembles : trivialement, le produit de la famille vide est aussi non vide.

- La formule sous-entend que tout objet est automatiquement un ensemble d'ensembles. Ca a beau être la tradition en matière de formalisation de la théorie des ensembles, ça ne ressemble pas à la pratique normale des mathématiques, et je conteste la pertinence de cette tradition. Elle a déjà manifestement un effet pevers au vu des aberrations que je viens d'expliquer précédemment, à savoir qu'elle ne donne pas envie d'écrire des énoncés sur des familles d'ensembles alors même qu'au fond c'est de ça qu'on voulait parler, mais fait passer pour simplificateur leur remplacement formel par des énoncés sur des ensembles d'ensembles, qui sont pourtant hors sujet. Voir mon approche de la théorie des ensembles ici.--Spoirier 3 juillet 2007 à 20:30 (CEST)

D'accord avec les premiers constats, il faut peut être d'ailleurs se retenir d'écrire une formule quand ça n'ajoute rien. Mais je ne crois pas que ce soit si important que tout objet soit un ensemble pour ces énoncés. Ils restent les mêmes, et historiquement, Zermelo énonce l'axiome du choix avant sa théorie des ensembles, qui de toute façon a des atomes. Il serait par ailleurs utile de montrer qu'une forme de l'axiome s'énonce dans le langage de ZF, mais ça n'a pas besoin d'être dans le paragraphe d'introduction. Proz 10 juillet 2007 à 19:53 (CEST)

exemples

Il serait intéressant amha d'avoir quelques exemples de propositions qu'on démontre avec l'axiome du choix, et pas sans. Voir même d'illustrer en détaillant l'intervention de laxiome dans la démonstration. patapiou (Discuter) 25 juillet 2007 à 16:14 (CEST)

Je suis tombé sur l'article avec 'un article au hasard'...hasard? choix?...utile? Utilisateur:Graboune/Signature 22 juin 2009 à 18:19 (CEST)

fonction de choix

J'ai remis le lien vers l'article fonction de choix car la définition de la fonction de choix me paraît importante pour la compréhension de l'article "axiome de choix". Si j'ai mis un article différent (j'aurais pu l'intégrer à l'article) , c'est qu'il s'agit d'un vocable distinct correspondant à un mot que l'on va trouver dans un dictionnaire mathématique et que le débutant en mathématiques va chercher à connaître.--Tv 28 septembre 2007 à 14:24 (CEST)

Pour être plus clair, l'article fonction de choix est actuellement ou incompréhensible pour de simples raisons de syntaxe (1ere phrase) ou faux (2nde), les 3 mots de l'article présent sur le sujet sont au moins corrects et plus à même de donner une idée de ce qu'est une fonction de choix. Je persiste à penser que ce lien est mal venu. Proz 28 septembre 2007 à 15:04 (CEST)

J'ai essayé de clarifier un peu l'article en question. C'est un peu lourdingue, mais j'ai fait ce que j'ai pu, avis aux amateurs :) Jobert 28 septembre 2007 à 19:27 (CEST)

La définition de fonction de choix donnée dans le présent article axiome du choix est plus claire que la version donnée dans fonction de choix. Je suis donc de l'avis de Proz. L'article fonction de choix me paraît superflu. Il suffit de rapatrier dans axiome du choix les exemples qui y figurent, avec qqs corrections. Theon 29 septembre 2007 à 08:42 (CEST)

redirect fait : on pourra ainsi accéder à l'article par fonction de choix, avec une définition accessible (répond à l'objection de Tv). Risque sinon de voir se développer un doublon, vu la proximité des deux sujets. Proz 30 septembre 2007 à 17:45 (CEST)

"cas où l'axiome du choix est nécessaire" : étranges formulations

Qu'est ce que ça veut dire "un ensemble fini au sens de Dedekind est un ensemble fini"? Je pense que le rédacteur a voulu dire que sans l'axiome du choix un ensemble fini au sens de Dedekind - pas de bijection avec l'un de ses sous-ensembles propres - ne serait pas nécessairement fini au sens usuel - bijection avec un entier ou bijection avec une section commençante de N ou présence dans toute famille non vide de parties de E d'un élément minimal pour l'inclusion. Mais cela mérite d'être explicité.

D'autre part en quoi les décompositions de Banach sont-elles "étranges" d'autant plus que c'est AC (ici supposé "nécessaire") qui les rend "étranges" ? Cela me parait beaucoup moins "étrange" que la possible existence d'ensembles finis selon une définition et infinis selon une autre définition (cf au-dessus) ou que la négation ou l'indécidabilité du théorème de Steinitz selon lequel tout corps peut être plongé dans un corps algébriquement clos (cf théorie axiomatique des ensembles).

A propos de théorie axiomatique des ensembles il y a un assez long § "axiome du choix" qui fait un peu doublon avec cet article. Donc je n'interviens pas ici, je vous laisse décider de l'organisation à adopter.--Michel421 (d) 16 mars 2008 à 15:42 (CET)

L'article présent est mal organisé, incomplet, il mérite certainement d'être réécrit quasiment de zéro. Maintenant il ne contient pas non plus d'erreur manifeste, ce qui est déjà quelquechose (cf.ci-dessus). Proz (d) 16 mars 2008 à 16:32 (CET)

Je supprime quand même la référence à la notion d'algorithme pour l'exemple de Russell (il n'y a pas de rapport direct), et je déplace ici une référence qui aurait probablement un intérêt si l'article était beaucoup plus développé sur les versions faibles de l'axiome du choix. Mais là elle me semble citée à tort (l'axiome du choix dénombrable pour des ensembles ayant deux éléments ne se démontre pas dans ZF).

(en)[PDF]Peter G. Doyle, John Horton Conway, « Division by three », 1994 (consulté le 12 juin 2007)

Proz (d) 16 mars 2008 à 16:43 (CET)

en:Dedekind-infinite set#Relation to AC and ACω : l'axiome du choix dénombrable est (dans ZF) une condition suffisante mais non nécessaire pour que tout ensemble Dedekind-fini soit fini. Anne Bauval (d) 16 juin 2010 à 01:14 (CEST)

Question

Je me permet de laisser un petit mot ici pour signaler que j'ai été d'abord très surpris en découvrant cet article. En effet je cherchais un article sur... "l'axiome du choix". Vous allez que c'est ce que j'ai trouvé... sauf qu'en fait c'est pas du tout ce que je cherchais. En fait je viens de me rendre compte que ça fait des années que j'appelle un axiome de la logique classique "axiome du choix" de la façon la plus naturelle qui soit sans jamais ne m'être rendu compte de rien (ça fait un peu tâche vu que je suis par formation spécialisé dans les systèmes de logiques formelles) alors qu'en fait la formulation qui semble la plus employée est "Principe du tiers exclu". Bref, je vais pas vous racontez ma vie pendant des heures, mais du coup je me pose deux questions:

• d'abord je me dis que ça doit pas être sans raison que je fais cette confusion, donc est-ce qu'il y a un lien entre l'axiome du choix et le principe du tiers exclu
• d'autre part le principe du tiers exclu a créé une scission dans les mathématiques: certains sont pour d'autres sont contre. Pour faire simple, la "logique classique" utilise le tiers exclu alors que la "logique intuitionniste (ou constructiviste)" n'admet pas cet axiome dans ses principes. La conséquence est qu'en logique intuitionniste, contrairement à la logique classique, "non non A" n'est pas nécessairement équivalent à "A", et, autre conséquence, la logique intuitionniste ne permet pas d'affirmer l'existence de "quelque chose" si on est pas capable de construire cette "chose" - alors qu'en logique classique on peut démontrer l'existence de "choses" qu'il est totalement impossible de construire (typiquement si vous avez un entier x et que vous prouvez qu'un ensemble D n'est pas vide (il existe un élément dans D) quand x=0, et que par ailleurs vous prouvez que D n'est pas non plus vide quand x≠0, en logique classique - grâce au tiers exclu - on peut dire que D n'est jamais vide, alors qu'en logique intuitionniste on ne peut rien affirmer). Bref, je me demandais s'il existait une telle scission dans la théorie des ensembles entre certains qui admettraient l'axiome du choix et d'autres non. D'ailleurs le tout début de l'article parle de LA théorie des ensembles, alors que j'avais cru comprendre qu'il y avait plusieurs théories des ensembles.

Je me pose d'autant plus la question que j'utilise la théorie des ensembles en logique du premier ordre pour faire de "l'ordre supérieur sans y goûter". Je m'explique: par exemple pour faire une preuve par récurrence il faut avoir prouver le théorème associé (donc, par exemple sur les entiers, quelque chose qui ressemble à "Pour tout prédicat P, si 'P(0)' est prouvé et si 'pour tout entier n . P(n)=>P(n+1)' est prouvé alors 'pour tout entier n . P(n)' est prouvé". Sauf que cette formulation fait une quantification sur des prédicats ("Pour tout prédicat P"), ce qui est de logique d'ordre supérieur et qui n'est pas syntaxiquement possible d'écrire en logique du premier ordre. Mais on s'en tire en utilisant la logique du premier car là on peut quantifier sur des ensembles, du coup on transforme le prédicat P(n) en un sous-ensemble P de N (qui est l'ensemble des éléments n pour lesquels le prédicat P(n) est prouvé) et on obtient directement la formulation du théorème de récurrence dans la théorie des ensembles qui ressemble à quelque chose comme "pour tout ensemble P partie de N, si '0 est élément de P' est prouvé' et si 'l'image de P par la fonction `successeur` est une partie de P' est prouvé alors 'N est une partie de P' est prouvé" (du coup comme P est une partie de N et que N est une partie de P, on P=N), formulation qui passe très bien en logique du premier ordre. Du coup on arrive à faire des preuves par récurrence en logique du premier ordre.

Pour la récurrence en logique du premier ordre on peut aussi (ex. arithmétique de Peano) utiliser un schéma d'axiomes (ce n'est pas du second ordre, ça revient à une infinité d'axiomes). Le tiers-exclu c'est de la logique pure, l'axiome du choix la théorie des ensembles. En théorie des ensembles intuitionniste, l'axiome du choix permet de démontrer le tiers-exclu, voir théorème de Diaconescu (ou peut-être plutôt en:théorème de Diaconescu), mais c'est un peu artificiel car la théorie des ensembles intuitionniste (ZF en logique intuitionniste en gros) est un peu une "fausse" théorie intuitionniste, l'égalité extensionnelle n'est pas décidable. Pour l'axiome du choix, il y a eu des controverses, mais ça n'exite plus grand monde (on précise quand on l'utilise en général). Enfin parler de la théorie des ensembles ne veut pas dire nécessairement qu'il y n'y a qu'une théorie au sens logique. pour la lisibilité, mieux vaut signer vos interventions au fait. Proz (d) 24 avril 2009 à 02:30 (CEST)

Suggestion

Au passage j'ai quelques remarques sur la façon dont vous écrivez vos formules logiques, j'imagine que ça doit correspondre à la façon habituelle de les écrire dans le monde de la théorie des ensembles, mais d'un point de vue formel c'est pas du tout comme ça qu'on écrit les choses. Donc juste pour information, je vous fais quelques remarques dont vous ferez bien ce que vous voudrez.

Prenons la première formule:

$(\forall X)\;\left[X\neq \emptyset \wedge (\emptyset \notin X)\right]\Longrightarrow \left[\exists f:X\rightarrow \bigcup _{Y\in X}Y,\;\forall x\in X,\;f(x)\in x\right]\;$.

• on n'écrit pas les quantifications entre parenthèse $(\forall X)$
• les crochets n'existent pas dans le langage de la logique, cela dit on comprend bien que c'est une facilité typographique (qui en l'occurrence de sert pas à grand chose dans la façon dont la formule est présentée: dans le premier crochet les parenthèses ne servent à rien donc peuvent être enlevées, et dans le deuxième crochet il n'y a pas de parenthèse du tout).
• A quoi servent les parenthèses dans $(\emptyset \notin X)$ ?
• on ne "type" pas un identificateur quantifié directement dans la quantification $\exists f:X\rightarrow ...$ ou $\forall x\in X...$
• les virgules... Je dois dire que j'ai mis un peu de temps à comprendre ce qu'elles voulaient dire ici. J'ai d'abord cru à une liste A,B,C dont je me demandais bien ce que ça voulait dire. Et puis, j'ai supposé que la première virgule se rapportait au "il existe f" et correspondait plus ou moins à ce qu'on écrirait "tel que" en français; et que la deuxième virgule se rapportait au "pour tout x" et correspondait plus ou moins à ce qu'on écrirait "on a" en français.
• que fait ce point en fin de formule? ce n'est pas une phrase ! Si la formule était intégrée à une phrase oui mais là elle est sur une ligne à part, centrée... bref il faut plus la considérée comme une figure, une illustration (à laquelle on pourrait très bien attribué un numéro si on avait besoin de s'y référer dans la suite du document)

Du coup, si je me suis pas trompé dans mon interprétation, j'écrirais plutôt:

$\forall X\cdot {\bigg (}X\neq \emptyset \wedge \emptyset \notin X\Longrightarrow \exists f\cdot {\Big (}f:X\rightarrow \bigcup _{Y\in X}Y\wedge \forall x\cdot (x\in X\Longrightarrow f(x)\in x){\Big )}{\bigg )}$

Je ne peux pas m'empêcher de remarquer que X n'est pas "typé", j'imagine que dans la théorie des ensembles tout est "ensemble" donc pas la peine de le préciser (d'ailleurs est-ce que ce serait possible formellement: c'est quoi cette histoire d'ensemble de tous les ensembles?). De toute façon la logique de base n'impose en rien qu'on "type" les identificateurs, donc pas de problème d'un point de vu purement formel.

J'ai pas osé écrire y (minuscule) au lieu de Y (majuscule), mais vu que c'est un élément de X, je l'aurait bien mis en minuscule. Vous me direz que Y est un ensemble lui-même (vu qu'on fait l'union des Y, et puis forcément: TOUT est ensemble), mais après on écrit bien $f(x)\in x$ !

Explications:

• la quantification universelle s'écrit dans sa forme générale $\forall k\cdot (H\Longrightarrow Q)$, où H sont les hypothèses, en particulier les hypothèses sur k (on y mettra en particulier le "typage" de k si l'environnement dans lequel on se trouve requiert une telle information); et Q sont des choses qu'on affirme pour pour tout k. Par exemple si on veut dire "pour tout élément x de E on a 'x est un élément de F'", on écrira $\forall x\cdot (x\in E\Longrightarrow x\in F)$. Les parenthèses servent à indiquer la portée de l'élément qui est quantifié. S'il n'y a vraiment aucune hypothèse on pourra écrire $\forall k\cdot (Q)$
• Même principe pour la quantification existentielle, mais sa forme générale est $\exists k\cdot (H\wedge Q)$. Pareil, H sont les hypothèses (dont le "typage") et Q ce qu'on affirme sur k.
• On remarque donc bien qu'on n'écrit pas une quantification universelle de la même façon qu'une quantification existentielle. Par exemple, dans la quant. universelle le "typage" est une hypothèse faite sur l'élément (et peut être qu'il n'existe pas d'élément correspondant à ce "typage") alors que la quant. existentielle affirme qu'il existe un élément correspondant au "typage" (et au reste de la propriété). C'est pourquoi il me semble important de ne pas "typer" directement dans la quantification car ça n'a pas du tout la même signification (et donc pas les mêmes conséquences) dans un cas ou dans un autre.
• Je sais c'est chiant le formalisme mais ça a été inventé en autres choses pour avoir un langage qui ne souffre pas d'ambiguïtés.
• Le point n'est pas un simple point mais un point qui se situe plus ou moins au milieu de la ligne (\cdot en LaTex et sur ce wiki)
• On voit bien sur ma formulation que ce qui était au départ exprimé par les virgules n'est pas du tout transcrit de la même façon dans les deux cas, normal elles n'avaient pas la même signification.
• Quand on veut quantifier plusieurs identificateurs en même temps, avec le même quantificateur, au lieu de les imbriquer les uns dans les autres $\forall x\cdot (\forall y\cdot (...))$, on peut écrire $\forall x,y\cdot (...)$ ou $\forall (x,y)\cdot (...)$, mais ce n'est qu'une facilité d'écriture.

Bref, comme j'imagine que vous avez l'habitude de votre façon d'écrire les choses et pas vraiment l'habitude de la manière formelle (d'ailleurs vous trouverez sans problème d'autres personnes qui utilisent des formalismes un peu différent) je me doute que vous n'allez pas remplacer votre formulation par la mienne juste parce que moi je trouve ça mieux. C'est pourquoi je me suis pas permis de modifier l'article lui-même.

Cela-dit, vous devriez quand même régler ce problème avec les virgules, parce que c'est vraiment pas clair (surtout que les deux virgules n'ont pas la même signification)

D'accord que c'est à réécrire, en particulier les "," (au moins le début de l'article est entièrement à réécrire également), mais pour les conventions ... il n'y en a pas d'universelles. Celle que vous proposez (point + parenthésage) est quand-même redondante. Le fait d'avoir deux signes pour les parenthèses ( () [] ) ne pose pas de réel problème du point de vue formel, Les quantifications bornées se comprennent spontanément (elles sont bornées au moins à des ensembles de références dans l'usage mathématique courant), même si la traduction est différente pour l'existentielle et l'universelle), elle existe, donc pas d'ambiguïté. On peut se demander quand les énoncés formels sont vraiment utiles (en théorie des ensembles, au début au moins pour convaincre qu'on ne "triche" pas, on exprime bien les choses dans le langage convenu). Proz (d) 24 avril 2009 à 02:06 (CEST)

Phrase obscure dans le § Axiome du choix dépendant

Je ne comprends pas la phrase : il [AD] est par exemple utilisé dans l'axiome de fondation et plus généralement relation bien fondée pour établir l'équivalence de deux définitions., la modif récente ne me semble pas plus claire. Il semble y avoir une intention de dire quelque chose de précis mais en l'état c'est, me semble t-il, quasi incompréhensible :

• En quoi AD est utilisé dans l'axiome de fondation ?
• Equivalence de deux définition : Késako ?

--Epsilon0 ε₀ 29 avril 2010 à 16:06 (CEST)

Bon, n'ayant pas eu de réponse à mon interrogation après une semaine je me suis permis de supprimer cette phrase de l'article ; phrase, qui était autant obscure sur le fond que sur la forme. Cette suppression me semble non problématique car si éventuellement quelqu'un comprend les éventuelles idées sous-jacentes et voit manière à expliciter/développer cette phrase, ben, trace en est laissée par cette présente section ;-). --Epsilon0 ε₀ 7 mai 2010 à 19:12 (CEST)

bête question

Bonjour. On parle du théorème de Zermelo comme étant équivalent à l'axiome du choix, du lemme de Zorn, ... Mais les deux vocables théorème et lemme suppose une démonstration. La question est donc la suivante: dans quel(s) cadre(s) furent-ils démontrés pour la première fois ?Claudeh5 (d) 19 juin 2010 à 08:35 (CEST)

J'hésite à te répondre. Mais on va admettre que c'est un cas de personnalité multiple. L'article original de Zermelo admet une forme "intuitive" de AC : par récurrence transfinie, on choisit comme "alpha +1"-ème élément de l'ensemble à bien ordonner un élément quelconque de l'ensemble complémentaire des alpha premiers éléments déjà classés si cet ensemble n'est pas vide. Plus généralement, à cette époque, AC paraissait "évident", donc... (comme on le sait, AC est évidemment vrai, le théorème de Zermelo est évidemment faux, et le lemme de Zorn est un article de foi...) --Dfeldmann (d) 24 juin 2010 à 20:22 (CEST)

Équivalents

Le paragraphe en:Axiom of choice#Equivalents est très riche (mais manque de sources). L'article en:Lagrange's theorem (group theory) mentionne que l'équation de Lagrange |G| = [G : H] · |H| est, elle aussi, équivalente à AC (?) Anne Bauval (d) 24 juin 2010 à 19:59 (CEST)

Ben oui, c'est d'emblée assez probable, vu que la construction d'un quotient repose en général sur AC. Pour le montrer proprement, il faut utiliser un groupe libre engendré par un cardinal alpha, puis quotienter par une relation d'équivalence bien choisie (et conclure par forcing). Mais bon, j'ai pas le courage de vérifier. Cela dit, vu la nécessité de sourcer, tu peux dans un premier temps aller voir ici : http://groupprops.subwiki.org/wiki/Coset_representatives_and_the_axiom_of_choice, puis remarquer, par exemple, que si le résultat est vrai pour R et Q (en tant que groupe additifs), on en déduit que R/Q est non vide, d'où l'existence d'un ensemble non Lebesque-mesurable, ce qui d'après Solovay implique l'axiome du choix dénombrable.--Dfeldmann (d) 24 juin 2010 à 20:16 (CEST)

ACF

Dans en:Nielsen–Schreier theorem il est écrit que ce théorème impliquerait l'« axiome du choix pour les ensembles finis » : une forme faible à rajouter peut-être un jour dans la section ad hoc, en précisant ses liens éventuels avec les autres formes faibles (et avec la note) ? Anne (d) 8 février 2012 à 21:00 (CET)

iota

L'opérateur iota de Russell c'est me semble-t-il celui de description définie, et ça n'a justement pas de rapport avec l'axiome du choix (sujet de l'article). Proz (d) 15 mai 2012 à 22:19 (CEST)

éclaircissement de la définition

La définition actuelle :

« Étant donné un ensemble X d'ensembles non vides, il existe une fonction définie sur X, appelée fonction de choix, qui à chacun d'entre eux associe un de ses éléments. »

est-elle équivalente à

« Étant donné un ensemble X d'ensembles non vides, il existe une fonction définie sur X, appelée fonction de choix, qui à chacun élément x de X associe un des éléments de x. »

Merci d'avance.

--Hpa (discuter) 2 juillet 2015 à 14:44 (CEST)

Oui (avec chaque pour chacun). Proz (discuter) 27 décembre 2015 à 14:40 (CET)

début de l'article

Bonsoir à tous, mais surtout bonsoir à Anne Bauval, ː)

J'ai initié une modification du début de l'article qui a été annulée. Ma modification n'était pas finie mais comme elle a été annulée, je m'explique.

• Le résumé introductif est trop sec. L'énoncé de l'axiome du choix peut être dans l'en-tête. Je pense que c'est mieux pour le lecteur car il n'est pas obligé d'aller naviguer dans l'article pour le trouver. Là, l'article ressemble trop à un "cours".
• Les anecdotes (par exemple le cas où on peut définir une fonction de choix sans l'axiome du choix etc.) peuvent être regroupés dans une section où on discute des restrictions (en particulier, une section sur les "chaussettes" de Russell en reparle)
• Sinon, je suis d'accord ː il ne faut pas mélanger les reformulations "triviales" et les théorème de Zorn et Zermelo.

Je vous laisse faire si vous êtes d'accord car vous semblez plus familière que moi avec wikipedia. Bonne soirée à vous ǃ

--Fschwarzentruber (discuter) 17 avril 2016 à 22:23

J'ai remodifié.

• Je pense que le mathématicien est conscient quand il applique l'axiome du choix (enfin, j'espère pour lui qu'il ne dort pas en appliquant l'axiome du choix ;) ). Donc j'ai préféré supprimer "inconsciemment".
• Ensuite, j'ai mis l'énoncé (0) dans le paragraphe introductif car je le trouve plus clair/concis que l'énoncé avec des propriétés etc.
• Ensuite, j'ai remis la formalisation dans la section "énoncé".

Ça ressemble plus à l'article anglais. Bonne journée.

--Fschwarzentruber (discuter) 18 avril 2016 à 09:34

J'ai rectifié l'énoncé formel introduit en 2007 puis masqué, et que tu avais démasqué. Mais dans les sources je ne le trouve pas donc je pense qu'il vaut mieux le virer et ne garder que l'énoncé informel (qui, lui, est très facilement sourçable) donc (si l'on veut conserver un § Énoncé) remettre cet énoncé informel à sa place antérieure (dans ce §) plutôt que dans le résumé introductif. Anne 23/11/2016

1) Je ne suis pas d'accord. Là, la première phrase de l'article est TERRIBLEMENT AMBIGUË ː "En mathématiques, l'axiome du choix, abrégé en « AC », est un axiome de la théorie des ensembles qui peut être accepté ou rejeté, selon la théorie axiomatique des ensembles choisie.". On a l'impression que dès qu'un axiome de la théorie des ensembles peut être accepté ou rejeté... alors c'est un axiome du choix. Je préférais la version antérieure qui donnait un énoncé de l'axiome du choix dans l'introduction (ou alors la version anglaise). Le fait que cet axiome peut être rejeté ou accepté peut être dit plus tard dans l'article ː ce n'est pas la définition de l'axiome du choix. Je ne veux pas annuler tes modifications car certaines sont sans doute pertinentes. Mais je veux préfèrerai largement revenir sur une introduction qui définit l'axiome du choix.

2) L'énoncé formel peut apparaître dans l'article mais plus tard. La première section n'est pas la bonne place, en effet. Par contre, un énoncé formel dans le langage du premier ordre de la théorie des ensembles est souhaitable et avec une source (je pourrai m'en occuper... un jour ;) ).

Bonne journée. --Fschwarzentruber (discuter) 23 novembre 2016 à 11:28 (CET)

Manque-t-il un "tel que" dans l'énoncé formel de l'axiome?

Je lis

$\forall X\left[\varnothing \notin X\Longrightarrow \exists f:X\rightarrow \bigcup X\;\forall A\in X\;(f(A)\in A)\right]$

, et il m'a fallu du temps à comprendre parce que j'espérais

$\forall X\left[\varnothing \notin X\Longrightarrow \exists f:X\rightarrow \bigcup X\ /\ \forall A\in X,\ (f(A)\in A)\right]$

.. le symbole "tel que" et la ponctuation sont-ils optionnels ? Ou est-ce un oubli ?

Me trompe-je quelque part ?

--Iago-lito (discuter) 20 avril 2018 à 11:16 (CEST)

Bonjour, en langage formel, il n'y a ni « symbole "tel que" », ni « ponctuation » : voir Calcul des prédicats. Anne, 11 h 21

P.S. Voir aussi la référence fournie pour cette formule (note 3).

Super. C'est ce qu'il me manquait. Merci :) --Iago-lito (discuter) 20 avril 2018 à 12:02 (CEST)