Discussion:Anneau intègre

Commutatif ou non?

Est-il vraiment nécessaire de définir l'intégrité en ajoutant la commutativité de la seconde loi ? Le cours des mathématiques. net ne le pense pas. D'autres ouvrages n'étudient l'intégrité que sur les anneau commutatifs unitaires. Certes, les seules propriétés intéressantes de l'intégrité sont liées à la commutativité de la seconde loi. Mais avec la définition actuellement donnée, un corps non commutatif n'est pas un anneau intègre. HB 2 avril 2006 à 14:34 (CEST)

Tu as parfaitement raison. Dommage que personne ne t'a lue depuis avril 2006. Ekto - Plastor 26 février 2007 à 14:12 (CET)

Bof bof, il faudrait consulter pas mal de sources, mais pour l'instant je remets en cause le choix actuel, que je crains maladroit. Je constate qu'il semble qu'il n'y ait qu'une minorité des interwikis qui soient corrects et pointent bien vers le concept « général ». De fait il me semble qu'il y a deux concepts différents qui ont des noms interchangeables en français alors qu'ils ont la chance d'avoir des noms différents en anglais, ce qui est plus pratique (cf. en:Domain (ring theory) et en:Integral domain). Comme on l'a fait pour les corps, il faudrait me semble-t-il couper l'article en deux, en réfléchissant aux noms à donner aux deux moitiés, et en privilégiant tout de même le cas commutatif. En l'attente d'une réflexion là-dessus (pas tout à la fois) je repars ailleurs en attendant les suggestions et sans l'intention d'agir dans les heures ni même les jours qui suivent immédiatement. Touriste (d) 20 janvier 2011 à 13:57 (CET)

Je reviens dix jours plus tard, en ayant été préoccupé plus généralement par l'articulation anneaux/anneaux commutatifs et maintenant anneaux intègres. Comme personne n'a protesté contre mon intervention précédente, je vais être audacieux et mettre "commutatif" dans la définition, ce qui nous assurera la cohérence avec tous les interwikis de langues un peu compréhensibles sauf l'espagnol - et oblige à couper deux exemples (quaternions, matrices) dont on se passera bien à mon sens. Touriste (d) 1 février 2011 à 13:31 (CET)

Je fais partie de la minorité (?) décidée pour qui "intègre" n'implique pas "commutatif". Un argument qui me paraît essentiel (au moins pédagogiquement) est de pouvoir dire que l'anneau des matrices n'est pas intègre. La définition "pas de diviseur de zéro" est parfaite à mon avis. manuDiTango (k) 30 juin 2014 à 11:31 (CET)

Propriété ou Définition ?

Pourquoi la définition de l'anneau intègre est-elle aussi citée comme propriété ? Léna 11 mai 2006 à 15:19 (CEST)

peut-être pour marquer le coup ? ;-) Subtile différence : dans la propriété, l'implication est devenue une équivalence. HB 11 mai 2006 à 17:50 (CEST)

J'opte pour la suppression. S'il fallait ajouter ce genre de subtilité que je juge inessentielle dans tous les articles, on n'a pas fini ! Beaucoup d'implications se trouvent être des équivalences. Ekto - Plastor 26 février 2007 à 14:16 (CET)

unitaire ?

Même si pour certains il est tellement évident que tout anneau est forcément unitaire, il ne ferait pas de mal de l'écrire explicitement (car en effet nombreux sont les auteurs tout à fait honorables et même français pour qui les anneaux ne sont pas unitaires a priori). Ceci dit, j'en connais beaucoup moins pour qui les anneaux intègres ne soient pas automatiquement commutatifs et unitaires. — MFH 15 décembre 2008 à 17:30 (CET)

Il semble que ce soit déjà le cas non? Je cite la définition de la première section « Un anneau $(A,+,\times )$ est dit intègre s'il est unitaire, s'il est non réduit à l'élément neutre et ne possède aucun diviseur de zéro,... » HB (d) 15 décembre 2008 à 18:00 (CET)

Texte dont je ne sais pas bien quoi faire

Recyclant les articles consacrés aux anneaux en général/anneaux commutatifs/anneaux intègres, je promène depuis trois jours d'article en article un bout de texte que je ne sais caser nulle part (voir l'historique d'Anneau pour attribution). Plutôt que de me casser la tête des siècles, je vais le déposer sur cette page de discussions où au moins il attendra à un endroit où il est publié. Je n'arrive pas à décider si ça a sa place sur l'article ou si c'est un peu trop spécialisé pour figurer dans un grand panorama (alors que dans Primalité dans un anneau c'est bien sûr très bien à sa place) -j'ai recyclé les « éléments irréductibles », qui sont liés aux anneaux factoriels, mais ne sais trop quoi d'autre devrait être réintégré dans l'article (et où dans le plan) et quoi d'autre est aussi bien en dehors. Touriste (d) 1 février 2011 à 22:10 (CET)

Voici le texte en question :

• Éléments associés : dans un anneau commutatif unitaire, deux éléments a et b sont associés si il existe un élément inversible u tel que a = u∙b, ce qui équivaut, si l'anneau est intègre, à : a divise b et b divise a.

• Élément irréductible : Dans un anneau commutatif unitaire, un élément a ∈ A non inversible est irréductible si et seulement si ses seuls diviseurs dans A sont les éléments inversibles u ou les éléments s'écrivant a∙u (éléments associés à u).

• Élément premier : Dans un anneau commutatif unitaire, un élément p ∈ A est dit premier si, pour tous éléments a et b de A, si p divise a∙b et si p ne divise pas a alors p divise b

Dans un anneau commutatif unitaire intègre, un élément premier est irréductible, mais la réciproque n'est pas toujours vraie.

• Élément extrémal : Dans un anneau commutatif unitaire, un élément non inversible p ∈ A est dit extrémal si tout élément a de A, non divisible par p, est étranger avec p, c'est-à-dire que il existe deux éléments de A : u et v, tels que au+pv=1. En termes d'idéaux (voir plus loin), cela signifie que l'idéal des multiples de p : (p) est un idéal maximal de A (ce qui équivaut à l'importante propriété : "A / (p) est un corps".)

Dans un anneau commutatif unitaire intègre, un élément maximal est premier, mais la réciproque n'est pas toujours vraie.

• Éléments premiers entre eux : dans un anneau commutatif unitaire intègre, deux éléments a et b sont premiers entre eux si et seulement si, pour tout d de A, si d divise a et d divise b alors d est un élément inversible.

Quelques remarques

La stricte définition d'un anneau intègre (anneau non nul, et ab=0 entraîne a=0 ou b=0) ne requiert évidemment pas la commutativité de la multiplication. Mais c'est dans le cas commutatif que cette notion est vraiment intéressante.

D'autre part, les derniers paragraphes du texte n'ont pas grand chose à voir avec la notion d'anneau intègre (même s'ils concernent des anneaux intègres), mais plutôt avec l'étude de la divisibilité (vu sous l'angle: étude du monoïde multiplicatif des éléments de l'anneau).

— Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 92.135.64.211 (discuter), le 28 mai 2011.