Différentielle exacte

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En analyse, une forme différentielle est dite exacte s'il existe une forme différentielle dont elle est la dérivée extérieure, c'est-à-dire s'il est possible de l'intégrer. En résumé, une forme différentielle ω est exacte s'il existe une forme Q telle que

, indépendamment du chemin d'intégration de i à f.

D'après le théorème de Schwarz, toute forme exacte de classe C1 est fermée. Le lemme de Poincaré fournit une réciproque partielle.

Cas des 1-formes[modifier | modifier le code]

Une 1-forme ω définie sur un ouvert U est exacte s'il existe une fonction F différentiable sur U telle que ω = dF autrement dit : si le champ de vecteurs par lequel ω est le produit scalaire est un champ de gradient.

En thermodynamique, quand une 1-forme différentielle ω est exacte, donc de la forme dF, la fonction F est une fonction d'état du système. Les fonctions thermodynamiques énergie interne U, entropie S, enthalpie H, énergie libre F ou A et enthalpie libre G sont des fonctions d'état. Généralement ni le travail W, ni la chaleur Q ne sont des fonctions d'état.

D'après le lemme de Poincaré, sur un ouvert simplement connexe, une 1-forme différentielle de classe C1 est exacte si (et seulement si) elle est fermée.

Références[modifier | modifier le code]

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Exact differential » (voir la liste des auteurs).
  • (en) P. Perrot, A to Z of Thermodynamics, New York, Oxford University Press, 1998
  • (en) D. Zill, A First Course in Differential Equations, 5e éd., Boston, PWS-Kent Publishing, 1993

Liens externes[modifier | modifier le code]