Description lagrangienne

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Description (homonymie) et lagrangien (homonymie).

En dynamique des fluides la description lagrangienne est l'une des deux techniques qui permettent de caractériser un écoulement. Elle consiste à suivre dans le temps les particules fluides[1] le long de leurs trajectoires : c'est une description intuitive de leur mouvement. Néanmoins la description eulérienne qui repose sur le champ des vitesses est souvent préférée.

Principe[modifier | modifier le code]

En représentation lagrangienne, la position M à l'instant t de la particule qui se trouvait en M_0 à l'instant 0 est donnée par une relation du type

M = f(M_0,t)\,.

Cela correspond à la description paramétrique de la trajectoire en coordonnées cartésiennes :

x = f_x(x_0,y_0,z_0,t)\,
y = f_y(x_0,y_0,z_0,t)\,
z = f_z(x_0,y_0,z_0,t)\,.

Dérivée particulaire[modifier | modifier le code]

Cette méthode présente un inconvénient : le référentiel se déplace avec le fluide. Il est donc difficile de connaître l'état du fluide en un point donné de l'espace et du temps.

La représentation d'Euler définit à tout instant la valeur d'une grandeur (par exemple une composante de la vitesse) associée à un point fixe de l'écoulement. La variation de cette grandeur au cours du temps est alors décrite par une dérivée partielle parfois appelée dérivée eulérienne.

La représentation de Lagrange suit une particule dans son mouvement. La variation précédente est alors représentée par la dérivée particulaire ou dérivée totale ou dérivée lagrangienne. Elle tient compte non seulement de la variation locale du paramètre au cours du temps mais aussi de la variation de celui-ci liée au déplacement de la particule.

Le lien entre la description lagrangienne et la description eulérienne est démontré ici pour un mouvement à une dimension. Pendant l'intervalle de temps dt, une particule située en x à l'instant t s'est déplacée à x+vdt. La variation de la grandeur f s'écrit donc :

 f(x+v \mathrm dt,t+\mathrm dt)-f(x,t) \simeq \left(\frac{\partial f}{\partial t} + v \frac{\partial f}{\partial x}\right) \mathrm dt = \mathrm df

Remarquons que le résultat obtenu peut être établi à l'aide d'un développement de Taylor bi-dimensionnel à l'ordre 1. Ici, df est en fait une approximation du premier ordre de ce développement de Taylor. En divisant par dt on obtient la dérivée particulaire qui s'écrit avec  Df/Dt comme notation la plus utilisée :

\frac{\mathrm D f}{\mathrm D t} = \frac{\partial f}{\partial t} + v \frac{\partial f}{\partial x}.

La formule se généralise à trois dimensions en introduisant le gradient de la grandeur f :

\frac{\mathrm D f}{\mathrm D t} = \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf {V}. \mathbf {grad} f.

L'opérateur \mathbf {V}. \mathbf {grad} est dénommé opérateur d'advection

Lien entre la description Lagrangienne et la description Eulérienne[modifier | modifier le code]

Soit les notations f_L et f_E désignant une même propriété d'un fluide, exprimée dans une description Lagrangienne (f_L ) ou Eulérienne (f_E). Considérons la particule p, ayant pour coordonnée spatiale x. On peut noter :

 \mathrm  f_L(p,t) =   \mathrm  f_E(x,t)

Dans le référentiel de la particule p, la propriété f_L(p,t) dépend uniquement du temps. Ainsi, on peut contracter l'écriture pour obtenir une expression de f_L(p,t) qui soit spécifique à la particule p :

 \mathrm  f_L(p,t) =   \mathrm  fp_L(t)

Au temps t +dt, la particule p possède la coordonnée spatiale x+dx. L'équivalence entre la description Lagrangienne et Eulérienne s'écrit alors de la manière qui suit:

 \mathrm  fp_L(t+dt) =   \mathrm  f_E(x+dx,t+dt)

Naturellement, l'expression suivante peut alors être établie :

 \mathrm  fp_L(t+dt) - fp_L(t)  =   \mathrm  f_E(x+dx,t+dt) - f_E(x,t)

Il est alors clair qu'un développement de Taylor permet d'établir le lien entre la dérivée particulaire d'ordre 1 de f_E et la dérivée temporelle de fp_L. Pour le membre de gauche, un développement limité donne :

 \mathrm  fp_L(t+dt) - fp_L(t)  =   \mathrm dt \frac{d fp_L}{dt} + \frac{dt^2}{2!} \frac{d^2 fp_L}{dt^2} + ... + o(dt^n)

Pour le membre de droite, un développement limité bi-dimensionnel donne :

 \mathrm \mathrm  f_E(x+dx,t+dt) - f_E(x,t)  =   \mathrm dt \frac{\partial f_E}{\partial t} + dx \frac{\partial f_E}{\partial x} + dx dt \frac{\partial^2 f_E}{\partial x \partial t} + \frac{dt^2}{2!} \frac{\partial^2 f_E}{\partial^2 t} + \frac{dx^2}{2!} \frac{\partial^2 f_E}{\partial^2 x} + ... + o(dt^n,dx^n)

En regroupant les termes de mêmes ordres, il vient d'abord pour l'ordre 1:

 \mathrm dt \frac{d fp_L}{dt} = \mathrm dt \frac{\partial f_E}{\partial t} + dx \frac{\partial f_E}{\partial x}

Et évidemment, avec D_t désignant la dérivée totale d'ordre 1 :

 \frac{d fp_L}{dt} = \frac{\partial f_E}{\partial t} + \frac{dx}{dt} \frac{\partial f_E}{\partial x} = D_t f_E

Il est intéressant de remarquer que la dérivée totale de f_E correspond en fait à la simple dérivée temporelle de fp_L. Cela peut en effet faciliter l'intégration d'équations aux dérivées partielles faisant intervenir la dérivée totale. Ainsi, la dérivée totale de f_E peut être remplacée par la dérivée temporelle de fp_L. Une éventuelle intégration suppose bien sûr d'être réalisée en substituant f_E par fp_L. Le résultat peut ensuite être re-converti en substituant, à l'inverse, fp_L par f_E dans la solution éventuelle.

Pour le second ordre, on peut introduire la notion de dérivée totale d'ordre 2, notée D_t^2 et en posant u = \frac{dx}{dt}:

 \frac{dt^2}{2} \frac{d^2 fp_L}{dt^2} =   dx dt \frac{\partial^2 f_E}{\partial x \partial t} + \frac{dt^2}{2} \frac{\partial^2 f_E}{\partial^2 t} + \frac{dx^2}{2} \frac{\partial^2 f_E}{\partial^2 x}

Vient alors l'expression qui suit :

  D_t^2 f_E =  \frac{d^2 fp_L}{dt^2} = \frac{\partial^2 f_E}{\partial^2 t} + u^2 \frac{\partial^2 f_E}{\partial^2 x} + 2 u \frac{\partial^2 f_E}{\partial x \partial t}

Remarques[modifier | modifier le code]

Dans le cadre de cette description, et \rho désignant la densité du fluide, \rho(\overrightarrow{x},t) désigne la densité du fluide qui, initialement (temps 0), était à la position \overrightarrow{x} et se trouve désormais (temps t) en \overrightarrow{X}(\overrightarrow{x},t)... mais cela peut bien sûr s'appliquer à n'importe quelle autre fonction décrivant une propriété locale du fluide.

Cette description donne une bonne idée de ce qui se passe dans le fluide, par exemple, si \frac{d\rho}{dt}<0, alors on peut affirmer que le fluide s'étend (la densité de la particule fluide baisse). En particulier, on peut faire un bilan des forces s'appliquant à la particule fluide que l'on suit, et appliquer la relation fondamentale de la dynamique en écrivant que la somme des forces vaut la masse de la particule fluide multipliée par son accélération, écrite comme \frac{d\overrightarrow{u}}{dt}\overrightarrow{u} = \frac{d\overrightarrow{X}}{dt} est la vitesse.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. éléments fluides assez petits pour autoriser l'utilisation des différentielles

Articles liés[modifier | modifier le code]