Densité d'états électroniques

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Densité (homonymie).

En physique du solide, la densité d'états électroniques, en anglais Density of States ou DOS, quantifie le nombre d'états électroniques possédant une énergie donnée dans le matériau considéré. Elle est généralement notée par l'une des lettres g, ρ, D, n ou N. Plus précisément, on définit la densité d'états N(E) par le fait que N(E) dE est le nombre d'états électroniques d'énergie comprise entre E et E + dE par unité de volume du solide ou, plus fréquemment, par maille élémentaire du cristal étudié. Il est possible de calculer la densité d'états des photons ou des phonons aussi, dépendamment du système quantique étudié.

La densité d'états est égale à l'intégrale de la fonction spectrale sur la première zone de Brillouin :

.

Cette quantité est d'une grande utilité en physique expérimentale puisque directement mesurable, contrairement à la fonction d'onde qui elle n'est pas mesurable ou calculable pour des structures de grosse taille. Il existe des algorithmes permettant d'obtenir une valeur de la Densité d'états électroniques, comme VASP ou PHONONS. Ils permettent de faire des simulations sous différentes pressions, température, etc. Les programmes de simulation numérique utilisent généralement la Théorie de la fonctionnelle de la densité (Density Functional Theory, DFT, en anglais).

Introduction[modifier | modifier le code]

Les particules d'un système quantique peuvent occuper des états dont la longueur d'onde et la direction de propagation dépendent dudit système. En général, seuls certains états spécifiques sont permis : la structure cristalline d'un matériau impose des conditions sur les directions de propagation autorisées tandis que dans certains systèmes la distance interatomique ou la charge atomique peuvent dicter les longueurs d'onde admissibles. Il peut donc arriver qu'il y ait un grand nombre d'états disponibles à une certaine énergie tandis qu'aucun ne le soit à une autre énergie.

Dans un semi-conducteur, la densité d'états électroniques présente une discontinuité qui marque la séparation entre la bande de valence et la bande de conduction. Il n'y a donc aucun état disponible dans ce gap. Une augmentation d'énergie pour un électron dans la bande de conduction conduit à une augmentation des états disponibles, mais pour accéder à la bande de valence celui-ci doit perdre au moins l'énergie de gap du matériau.

La densité d'états électroniques peut tout aussi bien être exprimée en fonction de l'énergie que du vecteur d'onde . Pour effectuer la conversion de l'une à l'autre il est nécessaire de connaître la relation de dispersion du système.

En général, les propriétés topologiques du système ont un impact majeur sur les propriétés de la densité d'états. Les systèmes comme le neutronium dans les étoiles à neutrons ou le gaz d'électrons libres dans les métaux (ce sont des exemples de matière dégénérée et de gaz de Fermi) ont une topologie Euclidienne tridimensionnelle. Les systèmes moins communs comme le gaz d'électrons bidimensionnel dans le graphène et l'effet de Hall quantique dans les MOSFET ont une topologie Euclidienne bidimensionnelle. Des systèmes encore moins familiers comme les nanotubes de carbone et les "quantum wires" et "Luttinger liquids" ont de leur côté une topologie Euclidienne à une dimension.


Symétrie et densité d'états[modifier | modifier le code]

Première zone de Brillouin du réseau Cubique à faces centrées : Un octahèdre tronqué.

La densité d'états électronique peut se calculer pour une grande variété de systèmes.

Certains systèmes quantiques possèdent une symétrie due à sa structure cristalline qui simplifie le calcul de la DOS. Pour les systèmes à symétrie sphérique, l'intégrale de la fonction spectrale est unidimensionnelle car celle-ci ne dépend plus que du paramètre radial de la relation de dispersion. Les fluides ou les matériaux amorphes sont des exemples de systèmes à symétrie sphérique.


Octahèdre.

Les mesures sur des échantillons poudreux ou polycristallins requièrent le calcul d'intégrales sur tout le domaine, le plus souvent une zone de Brillouin, des relations de dispersion du système. Quand le système possède des symétries, le calcul est réduit au domaine fondamental induit par celles-ci[1].

La zone de Brillouin d'un réseau cubique face-centrées (CFC) a une symétrie appartenant au groupe holoèdre Oh du groupe ponctuel de symétrie. Cela implique que l'intégration sur toute la zone de Brillouin peut se réduire a un 48e de celle-ci. Comme le montre le tableau périodique des éléments il y a beaucoup de matériaux qui possèdent la symétrie CFC dans l'espace réel (et donc la symétrie correspondante dans l'espace réciproque), comme le Silicium, le Diamant et le Platine.


Il est en général plus facile de calculer la densité d'états lorsque la symétrie du système est grande et lorsque la dimension topologique de la relation de dispersion est faible. La densité d'états pour des relations de dispersion avec une symétrie de rotation peut souvent se calculer analytiquement, ce qui est d'un grand intérêt pratique puisque beaucoup de matériaux d'intérêt comme l'acier pour le silicium possèdent une grande symétrie.




Gaz d'électrons libres[modifier | modifier le code]

L'énergie cinétique d'un électron dépend en général du module et de l'orientation du vecteur d'onde , des propriétés de la particule et de l'environnement dans lequel elle se meut. Dans l'approximation du gaz d'électrons libres, on considère que les électrons forment un gaz non-interagissant, ce qui constitue une première approximation pour décrire les propriétés électroniques des métaux.


Relation de Dispersion[modifier | modifier le code]

La relation de dispersion des électrons dans un solide est donnée par sa structure de bande.

L'énergie cinétique d'un électron dans un gaz de Fermi est donnée par : est la masse de l'électron et la constante de Planck réduite. La relation de dispersion est une parabole croissante et monotone possédant une symétrie sphérique, ce qui facilite le calcul de la densité d'états électronique. En effet, sous ces conditions il est possible de calculer la densité d'états électroniques en différenciant le volume de l'hypersphère dans l'espace réciproque à dimensions de rayon par rapport à .

Calcul de la densité d'états électroniques[modifier | modifier le code]

La densité d'états électroniques dépend de la dimensionnalité du problème. En effet, pour des électrons libres la densité d'états électroniques est donnée par :

.

En inversant la relation de dispersion, on obtient une expression pour le module du vecteur d'onde en termes de l'énergie cinétique : Si le volume d'une hypersphère de rayon est donné par est le volume d'une n-boule de rayon unitaire on obtient

La dérivée de ce volume par rapport à l'énergie donne l'expression de la densité d'états électroniques pour un gaz d'électrons libres en dimensions:


Si sont respectivement le volume, la surface et la longueur d'une n-boule de rayon unitaire, les densités d'états les plus communes s'expriment comme :

  • En trois dimensions, la densité d'états est donnée par

  • En deux dimensions, la densité d'états est donnée par

  • En une dimension, la densité d'états est donnée par

Références[modifier | modifier le code]

  1. Walter Ashley Harrison, Electronic Structure and the Properties of Solids, Dover Publications, (ISBN 0-486-66021-4, lire en ligne)