Développement décimal périodique de l'inverse d'un nombre premier

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En mathématiques, la période du développement décimal périodique d’un nombre rationnel est le cycle composé d’une séquence finie de chiffres qui se répète à l’infini.

L'inverse d'un nombre premier, noté 1/p possède un développement décimal périodique dont la longueur de la période est notée δ(p)

Ceci exclut les nombres premiers 2 et 5 dont l'inverse ne possède pas de développement décimal périodique

Exemple :

1/7 = 0,142857 142857 142857...

δ(7) = 6

Classement des nombres premiers[modifier | modifier le code]

Le tableau ci-dessous propose un classement des nombres premiers en fonction de la longueur de la période de leurs inverses.

Tableau des nombres premiers dont δp <101[modifier | modifier le code]

Table des nombres premiers en fonction de la longueur de la période du développement décimal de leur inverse
Longueur de la période Nombres premiers
1 3
2 11
3 37
4 101
5 41, 271
6 7, 13
7 239, 4649
8 73, 137
9 333667
10 9091
11 21649, 513239
12 9901
13 53, 79, 265371653
14 909091
15 31, 2906161
16 17, 5882353
17 2071723, 5363222357
18 19, 52579
19 1111111111111111111
20 3541, 27961
21 43, 1933, 10838689
22 23, 4093, 8779
23 11111111111111111111111
24 99990001
25 21401, 25601, 182521213001
26 859, 1058313049
27 757, 440334654777631
28 29, 281, 121499449
29 3191, 16763, 43037, 62003, 77843839397
30 211, 241, 2161
31 2791, 6943319, 57336415063790604359
32 353, 449, 641, 1409, 69857
33 67, 1344628210313298373
34 103, 4013, 21993833369
35 71, 123551, 102598800232111471
36 999999000001
37 2028119, 247629013, 2212394296770203368013
38 909090909090909091
39 900900900900990990990991
40 1676321, 5964848081
41 83, 1231, 538987, 201763709900322803748657942361
42 127, 2689, 459691
43 173, 1527791, 1963506722254397, 2140992015395526641
44 89, 1052788969, 1056689261
45 238681, 4185502830133110721
46 47, 139, 2531, 549797184491917
47 35121409, 316362908763458525001406154038726382279
48 9999999900000001
49 505885997, 1976730144598190963568023014679333
50 251, 5051, 78875943472201
51 613, 210631, 52986961, 13168164561429877
52 521, 265371653, 1900381976777332243781
53 107, 1659431, 1325815267337711173, 47198858799491425660200071
54 70541929, 14175966169
55 1321, 62921, 83251631, 1300635692678058358830121
56 7841, 127522001020150503761
57 21319, 10749631, 3931123022305129377976519
58 59, 154083204930662557781201849
59 2559647034361, 4340876285657460212144534289928559826755746751
60 61, 4188901, 39526741
61 733, 4637, 329401 , 974293 , 1360682471 , 106007173861643 , 7061709990156159479
62 909090909090909090909090909091
63 10837, 23311, 45613, 45121231, 1921436048294281
64 19841, 976193, 6187457, 834427406578561
65 162503518711, 5538396997364024056286510640780600481
66 599144041, 183411838171
67 493121, 79863595778924342083, 28213380943176667001263153660999177245677
68 28559389, 1491383821, 2324557465671829
69 277, 203864078068831, 1595352086329224644348978893
70 4147571, 265212793249617641
71 241573142393627673576957439049, 45994811347886846310221728895223034301839
72 3169, 98641, 3199044596370769
73 12171337159 , 1855193842151350117, 49207341634646326934001739482502131487446637
74 7253, 422650073734453, 296557347313446299
75 151, 4201, 15763985553739191709164170940063151
76 722817036322379041, 1369778187490592461
77 5237, 42043, 29920507, 136614668576002329371496447555915740910181043
78 157, 6397, 216451, 388847808493
79 317, 6163, 10271, 307627, 49172195536083790769 , 3660574762725521461527140564875080461079917
80 5070721, 19721061166646717498359681
81 163, 9397, 2462401, 676421558270641, 130654897808007778425046117
82 2670502781396266997, 3404193829806058997303
83 3367147378267 , 9512538508624154373682136329, 346895716385857804544741137394505425384477
84 226549, 4458192223320340849
85 262533041, 8119594779271, 4222100119405530170179331190291488789678081
86 57009401, 2182600451, 7306116556571817748755241
87 4003, 72559, 310170251658029759045157793237339498342763245483
88 617, 16205834846012967584927082656402106953
89 497867, 103733951 , 104984505733 , 5078554966026315671444089 , 403513310222809053284932818475878953159
90 29611, 3762091, 8985695684401
91 547, 14197, 17837, 4262077, 43442141653, 316877365766624209 , 110742186470530054291318013
92 1289, 18371524594609 , 4181003300071669867932658901
93 900900900900900900900900900900990990990990990990990990990991
94 6299, 4855067598095567, 297262705009139006771611927
95 191, 59281, 63841, 1289981231950849543985493631, 965194617121640791456070347951751
96 97, 206209, 66554101249, 75118313082913
97 12004721, 846035731396919233767211537899097169, 109399846855370537540339266842070119107662296580348039
98 197, 5076141624365532994918781726395939035533
99 199, 397, 34849, 362853724342990469324766235474268869786311886053883
100 60101 , 7019801, 182521213001 , 14103673319201 , 1680588011350901

Factorisation de 1 + 10 + 102 + ... + 10k-1[modifier | modifier le code]

Le principe de cette classification est lié à la factorisation de 1 + 10 + 102 + ... + 10k-1. En effet, soit p un nombre premier dont la longueur de période est k, l'inverse de p a pour développement décimal En multipliant l'égalité par 10k - 1, on obtient le développement décimal de 10k - 1/p C'est un entier. Donc p divise 10k - 1. Comme 10k - 1 = 9 × (1 + 10 + 102 + ... + 10k-1), pour p différent de 3, p doit être un diviseur de 1 + 10 + 102 + ... + 10k-1.


Soit N1=1, N2=11, N3=111, ..., Nk= = 1 + 10 + 102 + 103 + ... + 10k-1 pour

La factorisation de Nk peut se décomposer comme le produit de P × K × F[1] ou

  • P : produit des nombres premiers p dont δp=k
  • K : produit des nombres premiers p dont δp est un diviseur de k
  • F : produits des nombres pq ou p est un nombre premier et q un exposant >0 tel que :
    • pq soit un diviseur de k
    • k ≥ δ p × p


  1. calculé pour k<101


Exemple pour k=6 :

Factorisation de 111111 (1+10+102+103+104+105)

  • P = 7 × 13
  • K = 11 × 37
  • F = 3

111111 = 7 × 13 × 11 × 37 × 3


Exemple pour k = 78 :

Factorisation de 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

  • P = 157 × 6397 × 216451 × 388847808493
  • K = 11x37x7x13x53x79x265371653x859x1058313049x900900900900990990990991
  • F = 3 × 13

Calcul des facteurs K et F[modifier | modifier le code]

k Diviseur de k Equivalent en nombre premier p (δ(p) est un diviseur de k) Coef. F
1
2
3 3
4 2 11
5
6 2-3 11x37 3
7
8 2-4 11x101
9 3 37 32
10 2-5 11x41x271
11
12 2-3-4-6 11x37x101x7x13 3
13
14 2-7 11x239x4649
15 3-5 37x41x271 3
16 2-4-8 11x101x73x137
17
18 2-3-6-9 11x37x7x13x333667 32
19
20 2-4-5-10 11x101x41x271x9091
21 3-7 37x239x4649 3
22 2-11 11x21649x513239 11
23
24 2-3-4-6-8-12 11x37x101x7x13 3
25 5 41x271
26 2-13 11x53x79x265371653
27 3-9 37x333667 33
28 2-4-7-14 11x101x239x4649x909091
29
30 2-3-5-6-10-15 11x37x41x271x7x13x9091x31x2906161 3
31
32 2-4-8-16 11x101x73x137x17x5882353
33 3-11 37x21649x513239 3
34 2-17 11x2071723x5363222357
35 5-7 41x271x239x4649
36 2-3-4-6-9-12-18 11x37x101x7x13x333667x9901x19x52579 32
37
38 2-19 11x1111111111111111111
39 3-13 37x53x79x265371653 3
40 2-4-5-8-10-20 11x101x41x271x73x137x9091x3541x27961
41
42 2-3-6-7-14-21 11x37x7x13x239x4649x909091x43x1933x10838689 3X7
43
44 2-4-11-22 11x101x21649x513239x23x4093x8779 11
45 3-5-9-15 37x41x271x333667x31x2906161 32
46 2-23 11x11111111111111111111111
47
48 2-3-4-6-8-12-16-24 11x37x101x7x13x73x137x9901x17x5882353x99990001 3
49 7 239x4649
50 2-5-10-25 11x41x271x9091x21401x25601x182521213001
51 3-17 37x2071723x5363222357 3
52 2-4-13-26 11x101x53x79x265371653x859x1058313049
53
54 2-3-9-27 11x37x333667x757x440334654777631 33
55 5-11 41x271x21649x513239
56 2-4-7-8-14-28 11x101x239x4649x73x137x909091x29x281x121499449
57 3-19 37x1111111111111111111 3
58 2-29 11x3191x16763x43037x62003x77843839397
59
60 2-3-4-5-6-10-12-15-20-30 11x37x101x41x271x7x13x9091x9901x31x2906161x3541x27961x211x241x2161 3
61
62 2-31 11x2791x6943319x57336415063790604359
63 3-7-9-21 37x239x4649x333667x43x1933x10838689 32
64 2-4-8-16-32 11x101x73x137x17x5882353x353x449x641x1409x69857
65 5-13 41x271x9901
66 2-3-6-11-22-33 11x37x7x13x21649x513239x23x4093x8779x67x1344628210313298373 3X11
67
68 2-4-17-34 11x101x207123x5363222357x103x4013x21993833369
69 3-23 37x11111111111111111111111 3
70 2-5-7-10-14-35 11x41x271x239x4649x9091x909091x71x123551x102598800232111471
71
72 2-3-4-6-8-9-12-18-24-36 11x37x101x7x13x73x137x333667x9901x19x52579x99990001x999999000001 32
73
74 2-37 1x2028119x247629013x2212394296770203368013
75 3-5-15-25 37X41X271X31X2906161X99990001 3
76 2-4-19-38 11x101x1111111111111111111x909090909090909091
77 7-11 239x4649x21649x513239
78 2-3-6-13-26-39 11x37x7x13x53x79x265371653x859x1058313049x900900900900990990990991 3X13
79
80 2-4-5-8-10-16-20-40 11X101X41X271X73X137X9091X17X5882353X3541X27961X1676321X5964848081
81 3-9-27 37x333667x757x440334654777631 34
82 2-41 11x83x1231x538987x201763709900322803748657942361
83
84 2-3-4-6-7-12-14-21-28-42 11x37x101x7x13x239x4649x9901x909091x43x1933x10838689x29x281x121499449x127x2689x459691 3*7
85 5-17 41x271x2071723x5363222357
86 2-43 11x173x1527791x1963506722254397x2140992015395526641
87 3-29 37x3191x16763x43037x62003x77843839397 3
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Références[modifier | modifier le code]

Decimal expansion sur MathWorld.