Dérivée totale

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En analyse, la dérivée totale d'une fonction est une généralisation du nombre dérivé pour les fonctions à plusieurs variables. Cette notion est utilisée dans divers domaines de la physique et tout particulièrement en mécanique des milieux continus et en mécanique des fluides dans lesquels les grandeurs dépendent à la fois du temps et de la position.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit f(x1,x2,...,xn) une fonction à plusieurs variables et x1 = x1(t), x2 = x2(t), ... , xn = xn(t), n fonctions de t. Si elle existe, la dérivée totale[1],[2],[3] par rapport à t de la fonction composée f(x1(t),x2(t),...,xn(t)) s'exprime à partir de l'expression de la différentielle ː

.

Elle est notée et ne doit pas être confondue avec la dérivée partielle notée .

Dérivée particulaire[modifier | modifier le code]

Dans le cas où la fonction dépend directement du temps en plus de la position, la dérivée totale s'écrit ː

,
,

est l'opérateur advection.

En mécanique des fluides, la première partie correspond à la variation locale tandis que la deuxième partie correspond à la variation liée au déplacement de la particule fluide (contribution dite advective ou convective) ː on parle alors de dérivée particulaire[4] ou dérivée convective[1] parfois notée .

Annexes[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. a et b Pascal Febvre, Richard Taillet et Loïc Villain, Dictionnaire de physique, De Boeck Superieur, (ISBN 9782804175542, lire en ligne)
  2. Thierry Alhalel, Laurent Chancogne et Florent Arnal, Mathématiques IUT 2e année: L'essentiel du cours, exercices avec corrigés détaillés, Dunod, (ISBN 9782100597567, lire en ligne)
  3. Heinrich Matzinger, Aide-mémoire d'analyse, PPUR presses polytechniques, (ISBN 9782880744441, lire en ligne)
  4. José-Philippe Pérez et Olivier Pujol, Mécanique : fondements et applications - 7e édition: Avec 320 exercices et problèmes résolus, Dunod, (ISBN 9782100721894, lire en ligne)