Dérivée totale

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

En analyse, la dérivée totale d'une fonction est une généralisation du nombre dérivé pour les fonctions à plusieurs variables. Cette notion est utilisée dans divers domaines de la physique et tout particulièrement en mécanique des milieux continus et en mécanique des fluides dans lesquels les grandeurs dépendent à la fois du temps et de la position.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit f(x1,x2,...,xn) une fonction à plusieurs variables et x1 = x1(t), x2 = x2(t), ... , xn = xn(t), n fonctions de t. Si elle existe, la dérivée totale[1],[2],[3] par rapport à t de la fonction composée f(x1(t),x2(t),...,xn(t)) s'exprime à partir de l'expression de la différentielle :

.

Elle est notée et ne doit pas être confondue avec la dérivée partielle notée .

Dérivée particulaire[modifier | modifier le code]

Dans le cas où la fonction dépend directement du temps en plus de la position, la dérivée totale s'écrit :

,
,

est l'opérateur advection.

En mécanique des fluides, la première partie correspond à la variation locale tandis que la deuxième partie correspond à la variation liée au déplacement de la particule fluide (contribution dite advective ou convective). Parfois notée , la dérivée totale par rapport au temps est également qualifiée de dérivée particulaire[4], de dérivée convective[1], de dérivée substantielle, de dérivée matérielle ou de dérivée suivant le mouvement.

Annexes[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. a et b Pascal Febvre, Richard Taillet et Loïc Villain, Dictionnaire de physique, Bruxelles, De Boeck Superieur, , 899 p. (ISBN 978-2-8041-7554-2, lire en ligne)
  2. Thierry Alhalel, Laurent Chancogne et Florent Arnal, Mathématiques IUT 2e année : L'essentiel du cours, exercices avec corrigés détaillés, Dunod, , 240 p. (ISBN 978-2-10-059756-7, lire en ligne)
  3. Heinrich Matzinger, Aide-mémoire d'analyse, PPUR presses polytechniques, , 181 p. (ISBN 978-2-88074-444-1, lire en ligne)
  4. José-Philippe Pérez et Olivier Pujol, Mécanique : fondements et applications - 7e édition : Avec 320 exercices et problèmes résolus, Dunod, , 800 p. (ISBN 978-2-10-072189-4, lire en ligne)